朱光玉，胡 松，肖前輝 ，銀勇平

(1.中南林業(yè)科技大學(xué) 林學(xué)院，湖南 長沙 410004；2.國家林業(yè)局 中南林業(yè)調(diào)查規(guī)劃設(shè)計(jì)院，湖南 長沙 410014)

形數(shù)是樹干材積與等底、同高的比較圓柱體體積之比。不僅是反映樹干飽滿程度的重要干形指標(biāo)，也是計(jì)算立木材積及林分蓄積量的重要因子[1-3]。早在19世紀(jì)初，德國林學(xué)家在計(jì)算樹干材積和確定其變化規(guī)律的同時(shí)，就創(chuàng)立了形數(shù)的理論。此后有諸多研究者，如斯馬林（1873）、Girard J W（1933）、Maoss A（1939）、蘇聯(lián)的丘林教授（1950）及我國的林昌庚教授（1961）等都提出了不同的干形指標(biāo)和模型，從多方面對干形做了研究[4]。其中，斯馬林首創(chuàng)提出了正形數(shù)，以克服胸高形數(shù)隨樹高生長而變化的缺點(diǎn)[5]。林昌庚教授吸取胸高形數(shù)量測方便和正形數(shù)不受樹高影響的優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)提出了“實(shí)驗(yàn)形數(shù)”[6-7]。劉守亞教授于1976年參照實(shí)驗(yàn)形數(shù)的設(shè)計(jì)思路設(shè)計(jì)了D形數(shù)，后又于1977年設(shè)計(jì)了DH形數(shù)[8]。1997年吳紀(jì)昌等提出的新絕對形數(shù)是在該研究領(lǐng)域漫長沉寂之后的又一次成功的探索[9]。

盡管很多林學(xué)家們試圖完善這一理論，但對形數(shù)的研究卻大多偏重理論推導(dǎo)，在實(shí)際中的應(yīng)用卻相對較少[10-13]。杜紀(jì)山（1989）用陜南、陜北林區(qū)16個(gè)油松Pinus tabulaeformis Carr標(biāo)準(zhǔn)地材料，計(jì)算各相對高處的林分正形數(shù)系列樣本平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)，初步得出正形數(shù)系列在林分內(nèi)和林分間的變化規(guī)律[14-17]。JV Silva等（1994）用地上15.2 cm和1.52 m處的樹干直徑測量值推導(dǎo)柱體形數(shù)估計(jì)值，將它用于火炬松Pinus taeda Linn.、濕地松Pinus elliottii Engelmann和加勒比松Pinus caribaea Morelet的計(jì)算，表現(xiàn)良好，但它只適用于沒有明顯干基膨大的樹種[18-19]。楊華、孟憲宇等(2005)以正形數(shù)為基礎(chǔ)，提出V=f0.1h× g0.1h×h的單株立木材積估測式，經(jīng)6個(gè)樹種944株樣木試驗(yàn)，并與二元立木材積表法進(jìn)行了比較，取得了良好的效果[20]。陶濤、唐巍(2009)利用四川杉木解析木材料，對胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)、D形數(shù)、DH形數(shù)及其變幅率、變動(dòng)系數(shù)的研究表明4種形數(shù)的變幅率和變動(dòng)系數(shù)均隨胸徑、樹高的變化而變化，卻不因形數(shù)種類不同而有明顯差異[21]。

由于林木干形受內(nèi)外多重因素影響，不同樹高處的干形不同，形數(shù)存在顯著差異。而形數(shù)作為重要的測樹因子，既決定著樹干材積的數(shù)量和質(zhì)量，還是某些測樹用表編制的主要依據(jù)，其變化直接影響到林木材積及材種出材量。而且不同的形數(shù)對樹干形狀的反映有所不同，采用形數(shù)法預(yù)測單株立木材積具有很大的差異性，所以在林業(yè)生產(chǎn)中對形數(shù)的選擇尤為重要。本文將以海南木麻黃為研究對象，研究胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與不同相對樹高處正形數(shù)的變化規(guī)律，并進(jìn)行對比分析，尋找其中最穩(wěn)定的形數(shù)，為木麻黃材積預(yù)測及經(jīng)營數(shù)表編制等工作提供理論依據(jù)。

表 1 木麻黃樹高與胸徑特征統(tǒng)計(jì)Table 1 Characteristics of tree height and diameter at breast height for Casuarina equisetifolia

1 研究區(qū)概況

研究區(qū)位于中國最南端的海南省，東經(jīng)108°21′～ 111°03′， 北 緯 19°20′～ 20°10′， 地 處熱帶北緣，屬熱帶季風(fēng)氣候。全省陸地總面積3.39×104km2，其中有林地面積2 066.67 hm2，森林覆蓋率達(dá)60.2%。海南全年暖熱，干濕季節(jié)明顯，是我國最具熱帶海洋氣候特色的地方。土壤以紅壤為主，養(yǎng)分充足，生物生長繁殖迅速。年平均氣溫在23～26 ℃之間，光溫充足，光合潛力高，是中國南方理想的繁育種基地。海南島全年無冬，全島降雨充沛，年降水量1 000～2 600 mm，降雨季節(jié)分配不均勻，每年的5—10月份是多雨季。海南島四周低平，中間高聳，山地、丘陵、臺地、平原構(gòu)成環(huán)形層狀地貌，梯級結(jié)構(gòu)明顯。

木麻黃Casuarina equisetifolia是我國華南沿海地區(qū)的主要防護(hù)林樹種之一，自20世紀(jì)50年代，在華南沿海地區(qū)被廣泛種植，具有生長迅速、萌芽力強(qiáng)、耐鹽堿及抗風(fēng)沙等特點(diǎn)。

2 研究方法

2.1 數(shù)據(jù)采集與整理

在研究區(qū)內(nèi)，采用抽樣調(diào)查的方法分別從不同立地條件、林分年齡和林分密度的木麻黃林分內(nèi)，選取216株木麻黃活立木作為解析木，伐倒后測定每株樣木的樹高及樹干（根頸0 m、胸高1.3 m、1/10 h、2/10 h、……、9/10 h）處的帶皮直徑。216株木麻黃胸徑與樹高相關(guān)統(tǒng)計(jì)量見表1。

2.2 形數(shù)計(jì)算

將216株木麻黃伐倒木分別以1/10樹高進(jìn)行區(qū)分段劃分，利用平均斷面積區(qū)分求積法計(jì)算各樣木的材積作為材積真實(shí)值。根據(jù)形數(shù)的定義，以材積真實(shí)值與不同樹高處的斷面積作比較圓柱體斷面積的比較圓柱體體積之比，分別計(jì)算胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與相對高處的正形數(shù)，11種木麻黃形數(shù)計(jì)算結(jié)果見表2。

（1）平均斷面積區(qū)分求積式

表 2 木麻黃胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與正形數(shù)Table 2 Breast-height form factor, experimental form factor & normal form factor of Casuarina equisetifolia

式中：V真為真實(shí)材積，用實(shí)測材積替代；V比為比較圓柱體體積，g0為樹干底斷面積；gn為梢頭底斷面積；gi為各區(qū)分段之間的底斷面積；l、l′分別為區(qū)分段長度與梢頭長度。

（2）根據(jù)胸高形數(shù)定義

式中：f1.3為胸高形數(shù)；d1.3為胸高直徑；h為樹高。

（3）根據(jù)實(shí)驗(yàn)形數(shù)定義

式中：f∈為實(shí)驗(yàn)形數(shù)；d1.3為胸高直徑；h為樹高。

（4）根據(jù)正形數(shù)定義

式中：fn為相對高nh處的正形數(shù)；dn為相對高nh處的直徑；h為樹高；n=1/10、2/10、3/10、… 、8/10、9/10。

2.3 分析方法

（1）變異系數(shù)法

變異系數(shù)（CV），也稱差異系數(shù)、離散系數(shù)，常采用標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值來比較兩個(gè)或多個(gè)樣本數(shù)據(jù)變異程度的高低，是衡量樣本數(shù)據(jù)中各觀測值變異程度的重要統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。變異系數(shù)具有直觀簡潔的優(yōu)點(diǎn)，與方差相比，可以消除平均數(shù)不同對兩個(gè)或多個(gè)樣本變異程度比較的影響。計(jì)算公式為：

（2）相關(guān)分析法

相關(guān)分析是描述兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度的分析方法，常以兩個(gè)變量與各自平均值的離差為基礎(chǔ)，通過離差相乘，計(jì)算相關(guān)系數(shù)r來反映兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的密切程度。相關(guān)系數(shù)r取值在-1到1之間，|r|越大，變量間的相關(guān)程度越高。

式中：r為相關(guān)系數(shù)；yi為材積實(shí)測值；xi為比較圓柱體體積；為材積實(shí)測值的平均值；為比較圓柱體體積的平均值；n為樣本數(shù)。

（3）回歸分析法

回歸分析是指運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論與方法建立變量之間的數(shù)學(xué)方程式，檢驗(yàn)和比較一個(gè)或一組變量對所關(guān)注變量的影響程度，進(jìn)而預(yù)測所關(guān)注變量的變化趨勢，從而確定兩種或兩種以上變量間相互關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。一般線性回歸模型：

依據(jù)形數(shù)的定義：

可得：

模擬實(shí)測材積與比較圓柱體材積之間的相關(guān)關(guān)系，參數(shù)b即為形數(shù)f。模型精度越高表示形數(shù)f越穩(wěn)定。因此，可采用不含常數(shù)的線性回歸模型：

模型檢驗(yàn)采用確定系數(shù)R2和平均絕對誤差（MAE）來衡量模型模擬的精度高低。其中確定系數(shù)也稱擬合優(yōu)度，R2越接近于1，表明模型精度越高。平均絕對誤差（MAE）值越小，模型對材積實(shí)測值與比較圓柱體體積的相關(guān)關(guān)系預(yù)估越準(zhǔn)確，模型精度也就越高。

式中：yi為材積實(shí)測值；為材積預(yù)測值；為材積實(shí)測值的平均值；N為樣本數(shù)。

3 結(jié)果與分析

3.1 不同形數(shù)依樹高變化規(guī)律

為研究木麻黃胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與相對高處正形數(shù)隨樹高的變化特點(diǎn)及形數(shù)間的差異性，本研究將216株木麻黃解析木以2 m為間距，劃分為10個(gè)樹高級，各樹高級所包含的樣本最少為11株，最大為47株，分別計(jì)算各樹高級所對應(yīng)形數(shù)的平均值（表3）。為了更直觀地反映不同形數(shù)隨樹高級的變化規(guī)律，根據(jù)表3繪制折線圖（見圖1）。

表 3 木麻黃不同形數(shù)隨樹高級的變化Table 3 Different form factors of Casuarina equisetifolia vary under different height classes

圖1 木麻黃不同形數(shù)依樹高級的變化Fig.1 Casuarina equisetifolia different form factors vary with height classes

由圖1可以看出，對于不同的形數(shù)，隨著樹高級的增加，形數(shù)均值的變化呈現(xiàn)一定的規(guī)律性：（1）前8種形數(shù)的變異情況較小，后3種形數(shù)的變動(dòng)情況較大；（2）隨著樹高級的增加，前8種形數(shù)均值基本上逐漸變小，而后3種形數(shù)呈現(xiàn)不規(guī)則變化狀態(tài)。為了分析各形數(shù)的變化程度，將采用變異系數(shù)法、相關(guān)分析法和回歸分析法進(jìn)行進(jìn)一步研究。

3.2 形數(shù)穩(wěn)定性分析

由上述木麻黃形數(shù)依樹高級變化規(guī)律可知：小于7/10樹高的形數(shù)隨著全樹高的變化其變化不明顯，樹高7/10至9/10處的木麻黃形數(shù)變化較大。為了進(jìn)一步分析木麻黃形數(shù)變化規(guī)律，探索胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與相對高nh處正形數(shù)的變異情況，將采用變異系數(shù)、相關(guān)分析和回歸分析3種方法分別進(jìn)行處理。

3.2.1 變異系數(shù)分析

變異系數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)或一個(gè)變量變動(dòng)大小的指標(biāo)，通過變異系數(shù)的大小可以對比不同形數(shù)間的變異程度，比較不同形數(shù)的穩(wěn)定性。變異系數(shù)越小，變動(dòng)范圍越小，反之越大。根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)偏差及變異系數(shù)的定義，對胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與相對高nh處正形數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果見表4。

表 4 不同形數(shù)樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)偏差及變異系數(shù)Table 4 The mean, standard deviation and coefficient of different form factors

由表4可知：木麻黃胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與相對高nh處正形數(shù)變動(dòng)幅度在0.044 4～0.637 8之間；相對高nh從3/10到9/10，隨樹高增大形數(shù)變動(dòng)程度越大，穩(wěn)定性越差；在3/10相對高處的正形數(shù)變異系數(shù)最小，其均值為0.713，即該相對高處正形數(shù)穩(wěn)定性最好，要優(yōu)于胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)等。

3.2.2 相關(guān)分析

利用相關(guān)系數(shù)，分析木麻黃材積實(shí)測值與不同樹高處的比較材積之間的相關(guān)系數(shù)，進(jìn)行相關(guān)程度比較。相關(guān)系數(shù)越接近于1，其相關(guān)性越大，表示該比較圓柱體所對應(yīng)的形數(shù)越穩(wěn)定。不同樹高處比較圓柱體體積與材積實(shí)測值的相關(guān)系數(shù)如表5所示。

表 5 不同比較圓柱體與其實(shí)測值的相關(guān)系數(shù)Table 5 The correlation coefficient between comparative cylinder with measured values

由表5可知：不同形數(shù)所對應(yīng)的比較圓柱體體積與其材積實(shí)測值的相關(guān)系數(shù)具有很大的差異性，相關(guān)系數(shù)變動(dòng)范圍為：0.842 0～0.997 6之間，在1/10、2/10、3/10、4/10相對高處形數(shù)相關(guān)系數(shù)最接近于1，且3/10相對高處的相關(guān)系數(shù)最大，即該樹高處的比較材積與材積實(shí)測值的相關(guān)性最高，表明其所對應(yīng)的形數(shù)最穩(wěn)定。

3.2.3 回歸分析

以材積實(shí)測值與不同形數(shù)所對應(yīng)的比較圓柱體體積分別作為因變量、自變量構(gòu)建線性回歸模型，利用SPSS軟件求解模型參數(shù)a。統(tǒng)計(jì)各模型模擬的預(yù)測值與殘差，并分別計(jì)算確定系數(shù)（R2）與平均絕對誤差（MAE）以分析回歸模型精度，結(jié)果見表6。

由表6可知，胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與相對高nh處正形數(shù)對應(yīng)的回歸模型存在顯著差異，一般隨樹高增大，參數(shù)值增大，即形數(shù)值隨樹高增大而增大?；貧w模型的確定系數(shù)在1/10h、2/10h、3/10h、4/10h處最接近于1，其中3/10h處確定系數(shù)最大，相應(yīng)回歸模型精度最高。而且模型在3/10h處的平均絕對誤差最小，說明該處回歸模型預(yù)測值與真實(shí)值最接近。

根據(jù)3/10處的形數(shù)回歸模型，建立預(yù)測值與殘差的關(guān)系圖（圖2）。由圖2可知：殘差值比較均勻的分布在橫軸兩側(cè)，且兩側(cè)殘差距橫軸距離大致相等，僅有個(gè)別點(diǎn)遠(yuǎn)離橫軸，表明該回歸模型精度較高。

表 6 回歸模型精度分析Table 6 Accuracy analysis ofregression models

圖2 3/10樹高處殘差分布Fig.2 Residuals distribution of 3/10 tree height

3.2.4 比較與分析

通過變異系數(shù)分析、相關(guān)分析和回歸分析，3種方法對形數(shù)變異程度的分析結(jié)果均表明：木麻黃在3/10處形數(shù)變異程度最小，穩(wěn)定性最高。其中，變異系數(shù)法利用變異系數(shù)直接反映不同形數(shù)組內(nèi)差異程度的高低，消除了形數(shù)平均值不同對組間變異程度比較的影響，但變異系數(shù)不能反映形數(shù)組間的相關(guān)程度。相關(guān)分析則以實(shí)測材積、比較圓柱體體積兩組變量的相關(guān)系數(shù)直接描述兩者組間相關(guān)性的大小，但與變異系數(shù)相反的是不能反映變量組內(nèi)的離散關(guān)系?；貧w分析則通過構(gòu)建不含常數(shù)的線性回歸方程，從線性相關(guān)關(guān)系出發(fā)，以模型精度高低評價(jià)實(shí)測材積與比較圓柱體體積的相關(guān)性，間接反映了形數(shù)的穩(wěn)定性。

3.3 相對高處直徑與胸徑的相關(guān)關(guān)系

利用3/10h處正形數(shù)進(jìn)行活立木材積估算時(shí)，需要測量樹高與3/10h處直徑。但是采用常規(guī)的測量手段，相對高處直徑難以有效測量。雖然隨著測樹工具的改進(jìn)和發(fā)展，利用近景影像處理技術(shù)或光學(xué)測定儀器，已經(jīng)可以準(zhǔn)確測量樹干上任意部位的直徑[22-23]，但直徑提取技術(shù)還不成熟，提取速度慢、耗時(shí)長且精度不高，所以3/10 h處正形數(shù)的實(shí)際應(yīng)用仍存在困難。

杜紀(jì)山[14]在研究陜西油松的正形數(shù)系列變化規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)相對高處的直徑與胸徑呈緊密的線性關(guān)系，通過測量胸徑可以有效預(yù)估相對高處的直徑，從而利用正形數(shù)進(jìn)行單株立木材積計(jì)算。本文根據(jù)木麻黃相對高處直徑與胸徑的相關(guān)關(guān)系，建立木麻黃各相對高處直徑與胸徑的散點(diǎn)分布圖（圖3）。從圖3中可以看出各相對高處直徑與胸徑的散點(diǎn)呈近直線分布，兩者的線性關(guān)系顯著。

圖3 相對高處直徑與胸徑的散點(diǎn)分布Fig.3 The scatter distribution of diameter at relative tree height and diameter at breast height

根據(jù)相對高處的直徑與胸徑的線性相關(guān)關(guān)系，以胸徑為自變量、3/10h處直徑為因變量，建立3/10h處直徑與胸徑的線性回歸模型（圖4）。利用SPSS求解模型參數(shù)，并進(jìn)行精度分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：d3/10與d1.3的線性回歸方程為d3/10=0.767 9d1.3+0.696 4，模型確定系數(shù)（R2）為0.991 1，平均絕對誤差（MAE）為0.389 5，模型模擬效果較好。

通過d3/10與d1.3的線性回歸方程，可以推算3/10h處直徑的預(yù)測值。并根據(jù)正形數(shù)的定義，計(jì)算所對應(yīng)的修正形數(shù)分別以3/10相對高處形數(shù)、修正形數(shù)、胸高形數(shù)與實(shí)驗(yàn)形數(shù)的平均值作為平均形數(shù)（利用平均形數(shù)法求算木麻黃單株材積，并以確定系數(shù)（R2）與平均絕對誤差（MAE）作為模型評價(jià)指標(biāo)，對的預(yù)估效果進(jìn)行檢驗(yàn)分析，結(jié)果見表7。

圖4 3/10h處直徑與胸徑的相關(guān)關(guān)系Fig.4 The relationship of diameter at 3/10 tree height and diameter at breast height

表 7 形數(shù)預(yù)估效果的檢驗(yàn)分析Table 7 The examination of form factor estimate effection

4 結(jié)論與討論

形數(shù)作為立木材積三要素之一，對于單木材積的計(jì)算具有十分重要的作用。本研究以海南省216株木麻黃解析木為研究對象，采用變異系數(shù)分析、相關(guān)分析和回歸分析3種方法，對比分析了胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與相對高nh處正形數(shù)的變異程度。由11種形數(shù)變異系數(shù)的變化情況可知，形數(shù)f3/10的變動(dòng)系數(shù)最小，說明對于不同年齡、胸徑和樹高的木麻黃，3/10h處的正形數(shù)穩(wěn)定性最高。而且相關(guān)分析和回歸分析結(jié)果均顯示：3/10h處的相關(guān)系數(shù)r和模型模擬的確定系數(shù)R2也最大，分別為0.997 6和0.995，表明該相對高處的形數(shù)f3/10最穩(wěn)定。3種分析方法從組內(nèi)變異程度與組間相關(guān)性大小的角度，論證了木麻黃正形數(shù)f3/10的穩(wěn)定性。由于3/10h處的正形數(shù)直徑隨樹高變化而難以測量，f3/10的實(shí)用性將受到影響。本研究根據(jù)相對高處直徑與胸徑的相關(guān)關(guān)系，建立了直徑d3/10與胸徑d1.3的回歸預(yù)測模型：d3/10=0.767 9d1.3+0.696 4，R2=0.991 1。并利用平均形數(shù)法分別對的預(yù)估效果進(jìn)行檢驗(yàn)分析：模型確定系數(shù)（R2）0.993 1，平均絕對誤差（MAE）0.011 53；模型確定系數(shù)（R2）0.993 3，平均絕對誤差（MAE）0.011 52；模型確定系數(shù)（R2）0.980 1，平均絕對誤差（MAE）0.018 17；模型確定系數(shù)（R2）0.991 4，平均絕對誤差（MAE）0.012 67，結(jié)果證明了3/10h處的正形數(shù)要優(yōu)于實(shí)驗(yàn)形數(shù)與胸高形數(shù)，且修正后的最優(yōu)。通過建立3/10h處直徑的回歸預(yù)測模型，為木麻黃3/10h處形數(shù)的有效應(yīng)用提供了途徑和依據(jù)。

本研究利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法分析了胸高形數(shù)、實(shí)驗(yàn)形數(shù)與相對高nh處正形數(shù)的變異程度，通過建立3/10h處直徑的回歸預(yù)測模型，有效解決了木麻黃3/10h處形數(shù)的應(yīng)用問題，對正形數(shù)的生產(chǎn)應(yīng)用提供了思路參考。但由于研究所用數(shù)據(jù)有限，對修正后的（0.710 5）缺乏有效的適用性檢驗(yàn)，可以考慮在增加樣本數(shù)量的基礎(chǔ)上，研究更大范圍的木麻黃形數(shù)變化。研究結(jié)果對于利用形數(shù)法求算木麻黃單株材積或林分蓄積具有一定的指導(dǎo)意義。

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