王仲鋒，周紅梅

（長(zhǎng)春工程學(xué)院勘查與測(cè)繪工程學(xué)院，長(zhǎng)春130021）

在解決諸如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、雙曲函數(shù)和S型曲線等非線性函數(shù)回歸分析問(wèn)題時(shí)，傳統(tǒng)方法是通過(guò)換元化為線性函數(shù)，按一元線性回歸和等權(quán)方式（俗稱擬線性回歸）求解被估計(jì)參數(shù)。如此做法將帶來(lái)嚴(yán)重的異方差問(wèn)題［1－4］，致使回歸參數(shù)無(wú)法使用。解決擬線性回歸中異方差問(wèn)題的有效方法是采用加權(quán)回歸［2］和非線性最小二乘回歸［3］。然而，加權(quán)回歸和非線性最小二乘回歸通常存在殘差和不為零的問(wèn)題。有些時(shí)候，建立回歸方程的目的并不側(cè)重于對(duì)個(gè)體進(jìn)行預(yù)測(cè)，而是側(cè)重于對(duì)總體進(jìn)行預(yù)測(cè)。例如，在林業(yè)上建立木材材積模型時(shí)主要用于區(qū)域立木材積的估產(chǎn)。在此種情況下，對(duì)于非線性材積模型，用殘差和為零的非線性最小二乘回歸法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，使模型的殘差和為零將會(huì)提高區(qū)域立木材積估產(chǎn)的精度。

本文利用10個(gè)樹(shù)種的建模（編表）數(shù)據(jù)、伯克霍特材積模型和山本和藏材積模型以及殘差和為零的非線性回歸分析法［1］進(jìn)行木材材積建模，并用10個(gè)樹(shù)種的驗(yàn)表數(shù)據(jù)對(duì)所建模型進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)和用非線性最小二乘回歸法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證殘差和為零的非線性回歸分析法的可行性和優(yōu)越性。

1 殘差和為零的非線性最小二乘回歸［1］

1.1 非線性最小二乘回歸

對(duì)于非線性樣本回歸方程組

其中，

從左至右依次記式（2）中的矩陣為 e（k＋1）、X（k）、和l（k），則式（2）可簡(jiǎn)寫(xiě)為

式（4）為線性化的誤差方程，當(dāng)Yi為等權(quán)（即ε～N（0，σ2I））觀測(cè)值時(shí)，根據(jù)最小二乘原理，可得

而

在不至于引起混淆的情況下，可把迭代結(jié)束后的式（4）簡(jiǎn)寫(xiě)為

顯然，由于式（7）中X的第一列的元素通常情況下不全為1，故即使在等權(quán)觀測(cè)情況下，非線性最小二乘回歸的被解釋變量觀測(cè)值之改正數(shù)（回歸的殘差）ei的代數(shù)和亦不為零，也就是說(shuō)非線性最小二乘回歸通常是存在模型閉合差的。

1.2 殘差和為零的非線性最小二乘回歸

令

則可利用式（7）構(gòu)建強(qiáng)制條件

將式（7）與式（12）聯(lián)立求解，根據(jù)附加限制條件的回歸原理，可重新求得

需要指出的是由于非線性回歸后W ＝XTl＝XT（Y－）＝－XTe＝0，故實(shí)際計(jì)算時(shí)式（13）變成

2 材積建模實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)的函數(shù)模型

實(shí)驗(yàn)共使用了一個(gè)一元材積模型和一個(gè)二元材積模型，其形式如表1所列。

表1 實(shí)驗(yàn)用的材積函數(shù)模型

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

10個(gè)樹(shù)種的編表與驗(yàn)表數(shù)據(jù)分別見(jiàn)表2和表3，數(shù)據(jù)來(lái)自吉林省和龍林業(yè)局。

表2 10個(gè)樹(shù)種的編表數(shù)據(jù)

表3 10個(gè)樹(shù)種的驗(yàn)表數(shù)據(jù)

表3 （續(xù)）

2.3 建模閉合差

根據(jù)10個(gè)樹(shù)種的編表數(shù)據(jù)、兩個(gè)模型和兩種方法求解的模型相對(duì)閉合差（殘差和的絕對(duì)值／總材積）見(jiàn)表4。

表4 編表數(shù)據(jù)回歸相對(duì)閉合差比較表／%

2.4 驗(yàn)表閉合差

用10個(gè)樹(shù)種的驗(yàn)表數(shù)據(jù)隊(duì)建立的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，算得的相對(duì)閉合差見(jiàn)表5。

表5 驗(yàn)表相對(duì)閉合差比較表／%

2.5 實(shí)驗(yàn)分析

2.5.1 建模結(jié)果分析

由表4可知，兩種數(shù)據(jù)處理方法建模時(shí)，非線性最小二乘回歸建模的相對(duì)閉合差明顯大于殘差和為零的非線性回歸建模的相對(duì)閉合差。10個(gè)樹(shù)種采用伯克霍特材積模型和非線性最小二乘回歸的相對(duì)閉合差在0.33%～4.46%之間，平均為1.55%，而采用殘差和為零的非線性回歸的相對(duì)閉合差在0.00%～0.07%之間，平均值為0.01%；10個(gè)樹(shù)種采用山本和藏材積模型和非線性最小二乘回歸的相對(duì)閉合差在0.02%～1.41%之間，平均值為0.61%，而采用殘差和為零的非線性回歸的相對(duì)閉合差在0.00%～0.06%之間，平均值為0.02%。兩種材積模型及兩種數(shù)據(jù)處理方法獲得的10個(gè)樹(shù)種的材積建模相對(duì)閉合差的比較見(jiàn)圖1～2。

圖1 伯克霍特材積模型建模的相對(duì)閉合差比較

圖2 三本和藏材積模型建模的相對(duì)閉合差比較

2.5.2 驗(yàn)表結(jié)果分析

（1）由表5知，由10個(gè)樹(shù)種驗(yàn)表數(shù)據(jù)，采用伯克霍特材積模型和非線性最小二乘回歸的參數(shù)求解的材積相對(duì)閉合差在0.99%～12.82%之間，平均為4.30%，而采用殘差和為零的非線性回歸的相對(duì)閉合差在0.00%～13.37%之間，平均值為3.01%；采用山本和藏材積模型時(shí)，由非線性最小二乘回歸的參數(shù)求解的驗(yàn)表材積相對(duì)閉合差在0.10%～6.97%之間，平均為1.83%，而采用殘差和為零的非線性回歸的參數(shù)求解的驗(yàn)表材積相對(duì)閉合差在0.00%～7.44%之間，平均值為1.43%。兩種材積模型及兩種數(shù)據(jù)處理方法獲得的10個(gè)樹(shù)種的材積驗(yàn)表相對(duì)閉合差的比較見(jiàn)圖3～4。

圖3 伯克霍特材積模型驗(yàn)表的相對(duì)閉合差比較

圖4 三本和藏材積模型驗(yàn)表的相對(duì)閉合差比較

（2）無(wú)論采用伯克霍特材積模型還是山本和藏材積模型，其中8個(gè)樹(shù)種用殘差和為零的非線性回歸方法獲得的驗(yàn)表材積相對(duì)閉合差小于用非線性最小二乘回歸方法獲得的驗(yàn)表材積相對(duì)閉合差，只有兩個(gè)樹(shù)種（云杉、色樹(shù)）的驗(yàn)表材積相對(duì)閉合差是前一種方法的結(jié)果略大于后一種方法的結(jié)果。

3 結(jié)語(yǔ)

無(wú)論伯克霍特材積模型還是山本和藏材積模型，當(dāng)用殘差和為零的非線性回歸方法求解模型參數(shù)時(shí)，無(wú)論參數(shù)的精度（限于篇幅文中未列出）還是材積估算的精度（以相對(duì)閉合差為指標(biāo)）均總體高于用非線性最小二乘回歸方法求解模型參數(shù)時(shí)的參數(shù)精度和材積估算的精度。因此，殘差和為零的非線性回歸方法是適用于材積建模的一種較好的數(shù)據(jù)處理方法。

［1］王仲鋒，王琦.殘差和為零的非線性回歸法及其應(yīng)用［J］.東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011（2）：125－127.

［2］王仲鋒.加權(quán)線性回歸及其應(yīng)用［J］.長(zhǎng)春工程學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010（3）：118－121.

［3］王仲鋒，馮仲科.林木生物量參數(shù)的非線性最小二乘解法研究［J］.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006（3）：261－264.

［4］王仲鋒，馮仲科.幾種一元擬線性回歸中的問(wèn)題與改進(jìn)措施［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006（4）：45－52.