毋翠玲 和小軍

[摘 要]估算教學一直是小學數學教學的難點，也是專家與一線教師時常探討的熱點話題。從估算的課程目標內涵、教材編排特點和學生認知特點出發(fā)，教師要正確處理估算與精算、數感及問題解決的關系，深刻理解教材的編寫意圖，密切聯系學生的認知特點，切實把握好不同學段的教學要求。

[關鍵詞]估算；課程目標；教材編寫；認知特點；教學要求

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）05-0014-03

估算是一種基本的數學能力，是計算能力的重要組成部分，也是現實生活中經常使用的一種計算方法。在數學教育教學中。Reys等人認為估算過程需要綜合運用心算、數概念及各種計算技巧，它要求使用心算快速地算出答案，并且算出的結果與正確結果之間要有合理性的接近。估算具有以下特點：以快速心算為主要的計算方式；以合理猜測為主要的推理方式；是心算、數概念及各種計算技巧的綜合運用。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱課標）將估算作為培養(yǎng)學生數感、應用意識、運算能力、推理能力的重要途徑和手段，各版本小學數學教材也都精心編排了估算的教學內容。在教學實踐中，估算常常被一線教師定為教學難點，其主要原因是教師未能理解教材的編寫意圖，以及宏觀把握教學方向。本文將從課標要求、教材編排、學生認知特點出發(fā)，闡述對估算教學的思考。

一、估算在課程標準中的要求

小學階段的估算在課標中的課程目標描述分為兩個學段。第一學段要求學生在生活情境中感受萬以內數的意義，能結合具體情境選擇適當的單位進行簡單的估算，體會估算在生活中的作用，能估測一些物體的長度并進行測量，會估算給定簡單圖形的面積。第二學段要求結合現實情境感受大數的意義并能進行估計；在解決問題的過程中能選擇合適的方法進行估算，會根據其中一個量的值估計另一個量的值，會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積。

估算內容廣泛分布在數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個領域之中，主要集中在“數與代數”領域。課標對估算的要求有以下三點：一是要重視估算的實際背景，二是強調估算的單位選取，三是強調估算對于培養(yǎng)學生數感、積累數學活動經驗的作用。估算與精算、數感及問題解決都有密切關系，培養(yǎng)小學生的估算能力是一項重要的教學任務。

二、估算內容在人教版教材中的編排

教材是教學的重要載體，理解教材是教學的基礎。自估算內容在小學數學教材中出現以來，一直受到一線教師的廣泛關注。下面筆者從教材的容量、內容分布、呈現方式、內容編排四個方面闡述估算內容在人教版教材中的編排方式。

從估算內容的容量看，估算內容集中出現在二年級下冊、三年級上下冊和四年級上冊，其中四年級中的估算內容最多，是估算教學的重點。人教版教材涉及估算內容有92處，從二年級上冊開始，估算內容逐漸增多，直至四年級上冊。其中，一年級上下冊，四年級下冊，五年級上下冊和六年級下冊均未安排估算內容。（如下表）

從估算內容的分布看，估算內容在數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個領域中均有分布。數與代數有88處，圖形與幾何有1處，統(tǒng)計與概率有1處，綜合與實踐有2處。不難發(fā)現，估算內容主要集中在數與代數領域，尤其集中在數與代數的計算教學中。估計的形式主要有三種：數量估計、測量估計、計算估計，簡稱估數、估測、估算。

從估算內容的呈現方式看，估算在教材中的呈現方式主要有4種：純文字、純算式、文字+算式（表格）、圖文情境?！凹兾淖殖尸F”是指采用語言文字承載題目的含義，并要求學生進行估算的計算題目?！凹兯闶匠尸F”是指以算式形式呈現學生要完成的估算題目。“文字+算式（表格）呈現”是指使用算式或表格對文字部分進行輔助說明，并要求學生進行計算的估算題目?！皥D文情境呈現”是指采用情景圖、對話框以及文字敘述的方式闡述題目的含義，并要求學生進行計算的估算題目。人教版教材中，純算式呈現有32處，純文字描述有4處，文字+算式（表格）有1處，圖文情境有55處。其中圖文情境以學生喜聞樂見、圖文并茂的情境為主，符合學生的認知規(guī)律和心理特點。

從估算內容的編排看，人教版教材注重聯系生活情境。每個單元的內容以“生活情境——例題——練習”為主線進行編排，每個知識點按照“例題——做一做——練習”的模式進行編排；例題后面編排有“想一想、做一做”等欄目，在每個章節(jié)后編排有整理與復習以及總復習等內容。估算內容的例題有15處，練習有53處，“試一試”“想一想”有16處，復習與整理有3處，總復習中有5處。估算內容與編排體例結合度較高，實現了多維度安排和滲透，重視培養(yǎng)學生的估算意識和估算能力。

三、學生學習估算的特點

小學生估算能力的發(fā)展狀況是心理學中的一個熱點問題，心理學家對此主要采用實驗調查的研究模式。司繼偉對1027名學生進行團體和個別測試，發(fā)現學生的估算能力受到年齡的影響，并且在不同年齡階段有不同的影響。譬如，學生從一年級就開始接觸整數的概念，而對小數概念的學習到四年級才開始，因此小數題的認知難度對學生而言顯著高于整數題。學生能否解決復雜的估算問題取決于能否結合問題所提供的信息，選擇恰當的估算策略。學生估算的效率在各階段都有其發(fā)展的特點。譬如，小學三年級是整數、小數估算能力發(fā)展的關鍵時期，小學五年級是分數估算能力發(fā)展的良好時期。

陳英和采用實驗法和訪談法，對小學一年級到三年級的學生解決加減法算術題的策略使用特點進行了研究，發(fā)現學生能夠靈活運用多種策略解決加減法算術題；隨著年級增高，策略選擇呈簡約化發(fā)展趨勢。陳麗蘭對9～12歲學生選擇估算策略的特點進行了研究，發(fā)現：隨著問題難度的增大，選擇估算策略的最佳擊中率降低；隨著年齡的不斷增長，選擇估算策略的個數增多，并且選擇估算策略的最佳擊中率上升，其中四、五年級學生的最佳擊中率上升尤為明顯；估算策略的選擇不存在性別差異。

綜合相關研究，學生估算能力的發(fā)展是一個逐步完善的過程，它需要學生具有一定的算術技能，同時還需要學生具有一定水平的思維能力。在小學階段，學生估算能力的發(fā)展顯現出整體推進、交替向上的態(tài)勢。

四、估算教學的思考

1.正確認識估算與精算、數感的關系

估算與精算既有區(qū)別又有聯系。估算是一種無需獲得準確結果的計算，是學生根據有關的條件和知識，通過觀察、比較、判斷、推理等方式，對題目中的數字或運算結果所做出的一種大致判斷。其結果是在一定范圍內對答案進行的估計。估算過程具有跳躍性、直覺性、內隱性等特點，反映了學生對數的內部運算的認知水平。精算強調準確性，計算時要遵循算理，熟練算法。然而，有些問題可能只需估算，無需精算。譬如，購物時，在選擇一些物品后，先估計一下大約需要多少錢，看自己帶的錢是否足夠。又如，“學校組織學生去游樂場玩耍，共有987名學生參加，假設游樂場的門票是8元/張，那么帶8000元錢是否足夠”的問題。有些問題可能只需精算，無需估算，有些問題可能需要先估算后精算，或在精算的過程中用到估算。如乘法運算時先估計結果是幾位數，就可以快速判斷計算結果是否合理。

估算與數感之間有著密切的聯系。一方面，經常進行估算訓練可以促進學生數感的發(fā)展，而培養(yǎng)數感又有助于學生估算能力的提高。譬如，估算258÷5，250與260都是5的倍數，但相對于250，260與258更為相近，因此利用260÷5估算結果更為準確。這種通過對數進行感知再進行判斷、估算的方法，實質上需要學生具有良好的數感。學生只有對數具有良好的感知能力，才能對數有良好的把握，從而進行合理估算。另一方面，估算能力不同的學生在做數感類的題目時，多數情況下都傾向于選擇有效性中等水平的策略。譬如，小數估算中忽略小數部分、改變數位；分數估算中同分母化為易處理的小數、選擇基點“1”等。

2.把握估算內容的教材編排特點

估算內容沒有獨立的章節(jié)呈現，而是分散呈現在不同年級。估算教學需要全面理解蘊含在教材中的估算內容，教師只有準確把握小學兩個學段對估算的不同要求，才能有目的、有計劃地將估算滲透于教學。

第一學段立足于數量的簡單推理和筆算驗算，在解實際應用題時，初步滲透估算的意識和“誤差”的概念。譬如，對于“媽媽帶400元去商店購物，電話245元，吹風機187元。400元買這兩件商品夠不夠”的問題，若學生提出“245元估成200元，187元估成200元，所以245加187大約是400元，所以夠買”，這樣的錯誤應該是可以理解的。換句話說，教師要重視學生的估算過程，讓學生通過交流討論，學習如何根據實際情況調整估算策略。

第二學段的重點是學習基本的估算方法，掌握估算策略。第二學段中的大數認識更抽象，數的運算更復雜，基于學生想簡算的心理，可以促進其主動利用估算解決問題。譬如，“三位數乘兩位數的估算”的題目：秋天來了，五年級的小朋友打算進行一次秋游，每個小朋友的車票和門票是49元，五年級共有104個小朋友，估算一下，大約準備多少元才夠買票？學生可能會有兩種估算方法，估算成50×100=5000（元），或者估算成50×110=5500（元）。教師要引導學生思考哪一種估算方法好一些，也就是說要選取怎樣的估算策略，這是解決問題的關鍵。因為只有這樣才能讓學生結合實際來理解在什么情況下估大，什么情況下估小，才符合要求，做到具體問題具體分析。畢竟，估算是解決問題的常用方法，但是沒有固定的法則，要根據具體的情況采取適當的策略。

把握兩個學段對估算的不同要求，理解教材的編寫意圖，才能全面系統(tǒng)地進行估算教學。譬如，對于低年級學生，即使估算結果與準確值偏離較大，但只要學生能清晰、完整地說出估算過程，對估算結果能做出合理的解釋，教師都應給予鼓勵。高年級學生已經積累了一些估算經驗，形成了較高的估算技能，教師就要指導他們不斷進行自我反思、分析和調整，使估算結果盡可能接近準確結果。

3.把握小學生估算能力發(fā)展的特點

小學生估算能力的發(fā)展是一個逐步精確化、合理化、策略化、程序化的過程，教師要根據不同階段學生估算能力的特點，科學制定相應的潛力開發(fā)方案。

作為數學教師，要明確估算的意義，提高學生學習估算的自覺性和積極性；要讓學生關注現實生活和生產實踐中的估算問題并嘗試解決，使學生意識到在他們周圍存在著大量的估算問題，體會到估算的必要性和優(yōu)越性。比如“全家聚餐”大約需要200元，這就是估算，但飯店的收銀員在收取費用時則需要進行精確計算。

估算是一種開放型的創(chuàng)造性活動，因內容和問題情境的不同，估算的方法和策略也不盡相同。學生學習估算的難點在于不知道如何根據實際問題去選擇估算策略：是要估算得大些， 還是要估算得小些？什么時候需要對估算結果進行調整？雖然估算在簡化運算、選擇方法和調整結果各環(huán)節(jié)中都有對應的策略， 但都需要學生針對實際問題靈活選擇。譬如，估算有上限額度時，必須估大些；估算有最低額度時，則要估小些……估算是為了運算簡便而取的一個近似數，不是為了估算而估算。因此教師要讓學生不斷進行練習，逐步積累估算經驗，總結規(guī)律，從而提高學生的估算能力。

4.妥善處理估算學習中出現的常見問題

在學生學習估算的過程中，經常出現以下問題：估算意識淡薄——用精算代替估算；省略估算步驟——缺少估算結果的調整；估算標準不確定——不知道估得對不對。針對這些常見的問題，教師要正確對待、妥善處理。

關于學生用精算代替估算的問題，其實質是學生估算意識薄弱。作為教師，要選擇有代表性的估算題目，以便引導學生體會估算的意義和價值，逐漸形成估算意識。譬如，金金用5元購買牛奶、面包和雞蛋。其中牛奶1.5元，面包1.29元，雞蛋1.44元，在下面哪種情況下使用估算比精算有意義？①當金金檢查5元是否夠用時；②當收銀員將每種商品的價格錄入收銀系統(tǒng)時；③當收銀員告訴金金應該付多少錢時；④當收銀員核對金金所付的錢時。這種以生活實例呈現問題的方式，需要學生正確理解估算與精算，才能做出正確選擇。顯然，將精算和估算相結合的題目編排方式，能很好地鍛煉學生的估算意識。

對估算結果的調整，實際上是學生根據實際問題選擇恰當的估算策略，不斷進行推理驗證的過程。譬如，周莊村組織272名村民去旅游，每輛客車可以坐48人。估算一下，周莊村租5輛這樣的客車夠嗎？至少要租多少輛這樣的客車？這個問題看似很簡單，但對三年級的學生來說并非如此，因為解決問題時，學生需要經過嚴謹的推理過程才能做出判斷。對于這個問題，應先將48看作50，50×5=250，再比較實際座位數應該比估算出的250個座位少一些，然后比較估算出的250個座位又比272名村民要少一些，由此判斷5輛車不夠坐。在這個估算過程中，需要學生合理運用估算的基本方法，并能將估算結果與實際問題進行比較。這個估算過程需要學生具有較強的推理能力，并且能夠靈活運用合理的估算策略進行估算。

需要注意的是，對于純算式的估算，不能簡單地把估算結果是否與準確值最接近作為唯一的標準，只要落在區(qū)間內，就是合理的。譬如，估算78×365的結果大約是多少時，學生剛接觸估算時可能估為70×300，80×300或80×400，這些都可以視為是合理的。待學生有了一定的估算經驗后，教師就要引導學生反思“怎樣估才能更接近準確值”，這樣才能完善學生的估算意識。

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（責編 金 鈴）