李卓

摘 要：中考題的設(shè)計(jì)源于教材、高于教材.教師要充分挖掘教材例題、習(xí)題所蘊(yùn)含的教學(xué)功能，立足教材資源研究、落實(shí)核心知識(shí)點(diǎn)，加強(qiáng)通性通法指導(dǎo)，提升學(xué)生解題能力，重視數(shù)學(xué)思想感悟，彰顯數(shù)學(xué)育人價(jià)值.

關(guān)鍵詞：教材研究；數(shù)學(xué)思想；育人價(jià)值

一、試題呈現(xiàn)

（2017年紹興卷第23題）如圖1，已知△ABC，AB=AC，D為直線BC上一點(diǎn)，E為直線AC上一點(diǎn)，AD=AE，設(shè)∠BAD=α，∠CDE=β.

（1）如圖，若點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段AC上.

①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=________°，β=________°.

②求α，β之間的關(guān)系式________.

（2）是否存在不同于以上②中的α，β之間的關(guān)系式？若存在，請求出這個(gè)關(guān)系式（求出一個(gè)即可）；若不存在，說明理由.

二、教材原型

中考題的設(shè)計(jì)源于教材、高于教材.教材、作業(yè)本是中考命題者的優(yōu)質(zhì)素材庫，更是教師“以標(biāo)為綱”的范本.教師要充分挖掘教材例題、習(xí)題所蘊(yùn)含的教學(xué)功能和育人價(jià)值[1].

通過研究本考題，我們發(fā)現(xiàn)此考題的本源是浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊第二章第3節(jié)“等腰三角形的性質(zhì)定理”配套作業(yè)本上的習(xí)題（詳見圖2、圖3）.經(jīng)命題者改編后的考題涉及的知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等，方法層面需要學(xué)生能通過作圖“以形助數(shù)”解決不同情形下角與角的數(shù)量關(guān)系，動(dòng)態(tài)幾何問題蘊(yùn)含分類討論思想和函數(shù)思想.

中考題常以教材例題、習(xí)題為原型，在原題基礎(chǔ)上通過條件的強(qiáng)化或弱化、背景的替換、條件與結(jié)論互換、知識(shí)點(diǎn)的綜合等方式進(jìn)行改編拓展.這就要求教師在日常教學(xué)中必須研究教材，關(guān)注教材，深刻理解與把握教材，同時(shí)也要求學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中重視教材，吃透教材，理解例題、習(xí)題蘊(yùn)含的價(jià)值，對中考復(fù)習(xí)來說是一種很好的導(dǎo)向.

三、試題解析

解（1）：點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段AC上，

∵AB=AC，∠ABC=60°∴△ABC是等邊三角形，∠C=60°.

∵AD=AE，∠ADE=70°∴∠AED=60°.

由外角的性質(zhì)可得，∠CDE=10°，∠BAD=20°.

即α=20°，β=10°∴α=2β.

（2）分析題中條件“點(diǎn)D，點(diǎn)E分別為直線BC，AC上的點(diǎn)”可知兩點(diǎn)位置不確定，需要分類討論，分為：點(diǎn)D可以在線段BC上、BC延長線上、CB延長線上，點(diǎn)E可以在線段AC上、AC延長線上、CA延長線上，總共九種不同情形，但其中三種情形不符合（如表1）.

表1

[?D在線段BC上，E在線段AC上

[α=2β] ?D在線段BC上，E在CA延長線上

[2β-α=180°] ?D在線段BC延長線上，E在CA延長線上

[α+2β=180°] ?D在線段CB延長線上，E在CA延長線上

[α+2β=180°] ?D在線段BC延長線上，E在AC延長線上

[α=2β] ?D在線段CB延長線上，E在AC延長線上

[α=2β] ]

四、教學(xué)導(dǎo)向

教材是數(shù)學(xué)課程的核心資源，為我們理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)教學(xué)提供了有效支撐，是提高課堂教學(xué)效率的根本保證.通過本道中考題的研究與分析，教師能領(lǐng)悟到課標(biāo)對“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)與教學(xué)要求.明確這一內(nèi)容的考查重點(diǎn)，既是提高學(xué)業(yè)水平考試適標(biāo)性和有效性的基本要求，又是正確導(dǎo)向教學(xué)的要求[2].

（一）立足教材資源研究，落實(shí)核心知識(shí)點(diǎn)

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的載體，也是一種經(jīng)典可靠的教學(xué)資源，是經(jīng)過編寫專家組充分討論和研究的合理教學(xué)資源.教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)精心設(shè)計(jì)教學(xué)，深入挖掘教材，充分發(fā)揮課本例題、習(xí)題的典型性、代表性和科學(xué)性作用[3].教師在日常教學(xué)中，要研究如何“用教材教”，落實(shí)核心知識(shí)點(diǎn).面對中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，教師還要認(rèn)真研究如何“用教材進(jìn)行復(fù)習(xí)”，特別是對于教材中的題目，應(yīng)從復(fù)習(xí)的角度重新審視，開發(fā)新的變式題為不同類型的學(xué)生所用[4].

（二）加強(qiáng)通性通法指導(dǎo)，提升學(xué)生解題能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對于“圖形與幾何”內(nèi)容的考查重點(diǎn)是圖形性質(zhì)及其應(yīng)用、圖形的變化、圖形性質(zhì)和變化的探究[5].本考題改編自配套作業(yè)本，命題者加大了對學(xué)生動(dòng)點(diǎn)問題作圖與邏輯推理能力的考查，是非常經(jīng)典的“點(diǎn)的位置變化、方法不變、結(jié)論改變”的問題.課標(biāo)要求培養(yǎng)學(xué)生經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，學(xué)會(huì)動(dòng)手操作，畫草圖或示意圖可以喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)問題中的發(fā)生和形成，感悟變化規(guī)律，體會(huì)通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理證明結(jié)論的過程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力.教學(xué)中教師要通過變式拓展，加強(qiáng)通性通法指導(dǎo)，探尋“生長外延”，為學(xué)生提供更豐富的猜想素材、猜想機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考和探究，不斷提高數(shù)學(xué)猜想能力，克服題海戰(zhàn)術(shù).

（三）重視數(shù)學(xué)思想感悟，彰顯數(shù)學(xué)育人價(jià)值

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的概括，是一種文化傳承和發(fā)展.在圖形與幾何中，常常由于圖形的形狀、位置不同而要進(jìn)行分類討論.教師日常教學(xué)的關(guān)鍵是揭示分類討論思想的本質(zhì)，指出其基本原則，包括分類標(biāo)準(zhǔn)明確、分類完整、按需求逐層分類、保持分類簡潔，并據(jù)此論述分類討論思想的應(yīng)用方法.本題中兩角α和β隨著點(diǎn)D和點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，它們之間的對應(yīng)關(guān)系也不斷發(fā)生變化，這就要求學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)、方法考慮問題，能從不同的思維角度進(jìn)行問題探究，揭示變量之間存在的一般性規(guī)律，建立函數(shù)關(guān)系.教師在教學(xué)中需全面關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知、能力和理性精神，充分挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，彰顯數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材改革的鐘擺——以平面幾何為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（4）：6-12.

[2]吳增生.理解教材 用好教材[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014（1）：7-10.

[3]陳振峰，易良斌.理解教材是實(shí)現(xiàn)課堂高效的前提——由一則教學(xué)案例引發(fā)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（12）：11-13.

[4]易良斌.強(qiáng)化數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研究 提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2009（5）：44-45.

[5]吳增生.學(xué)業(yè)水平考試中“圖形與幾何”考點(diǎn)分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2015（5）：55-58.