吳道春

摘 要：所有數(shù)學核心素養(yǎng)都是在數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想的基礎上經(jīng)歷數(shù)學基本活動（四基）逐步達成的.學生是學習活動的主體，要讓學生體驗知識發(fā)現(xiàn)和問題解決的全過程，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗.

關鍵詞：數(shù)學核心素養(yǎng)；高考命題；趨勢

近年，數(shù)學核心素養(yǎng)成了國內(nèi)外數(shù)學教育理念和課程改革的共同聚焦點.正在修訂的《普通高中數(shù)學課程標準》對數(shù)學核心素養(yǎng)做出明確的界定：數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關鍵能力，是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn).它是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析六大要素.

這兩年（2016～2017）高考數(shù)學命題的趨勢已經(jīng)悄然地轉(zhuǎn)向聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)，試題重點考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平，呈現(xiàn)新的特征.下面，我們借助對2016～2017年江蘇高考數(shù)學試題的分析，研究聚焦數(shù)學核心素養(yǎng)的高考數(shù)學試題的結構特征，探索性地提出教學建議.

一、數(shù)學抽象的考查

例1 （2016年第20題）記[U={1，2，…，100}.] 對數(shù)列{an}和U的子集T，若T=[Φ]，定義ST=0；若T=[{t1，t2，…，tk}]，定義ST=[at1+at2+…+atk].現(xiàn)設{an}是公比為3的等比數(shù)列，當[T={2，4}]時，ST=30.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)[k（1≤k≤100）]，若[T?{1，2，…，k}]，求證：[ST

例2 （2017年第14題）f（x）是定義在R 上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0，1]上，[f（x）=x2， x∈D，x， x?D，]其中[D]=[{x|x=n-1n ，n∈N?}]，方程f（x）[-]lgx=0的解的個數(shù)是 .

結構特征：這兩題都是將數(shù)列、函數(shù)等核心概念與集合相結合，構造的數(shù)學對象具有高度的抽象性，考查學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，如例1中的[SC，SD，SC?D]，例2中的f（x）.

教學建議：（1）首先，在平時的概念教學中，必須讓學生經(jīng)歷數(shù)學核心概念的形成過程，學生要“悟透”概念的本質(zhì)特征，在大腦中形成清晰的認知結構；（2）解決抽象問題的關鍵是化抽象為直觀，要引導學生恰當?shù)亍氨碚鳌眴栴}.表征即問題在大腦中是如何表現(xiàn)出來的[1]，是大腦對問題包含的信息進行加工和重構后形成的對問題的本質(zhì)特征的認知和表達.為使這種認知和表達簡潔而清晰，有利于分析和解決問題，應盡可能選用數(shù)學的語言、工具和結構或者熟悉的實物表示.例如，我們將上面兩題中的[SC，SD，SC?D]和f（x）分別用圖1、圖2表示.

由圖1易得“[SC≥SD]”等價于“[SE≥SF]”，“[SC+SC?D≥2SD]”等價于“[SE≥2SF]”，其中，[E=C??UD]，[F=D??UC].圖2是函數(shù)f（x）一個周期的圖象（本題表征的關鍵），通過平移可得區(qū)間（0，10]上的圖象，“f（x）-lgx=0的解的個數(shù)”等價于“函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y = lgx在（0，10]上的圖象的交點的個數(shù)”.

二、邏輯推理的考查

例1略解：（1）[an=3n-1].（2）[ST≤a1+a2+…ak=3k-12<3k=ak+1.]

（3）當[E=Φ]或[F=Φ]時，易證[SE≥2SF]；當[E≠Φ]且[F≠Φ]時，設k，l分別為E，F(xiàn)中的最大數(shù)，則[3k=ak+1>SE≥SF≥al=3l-1]，[k>l-1]，又易知[k≠l]，所以[k≥l+1].

[2SF≤2（a1+a2+…+al）=3l-1<3l≤3k-1=ak≤SE]，即[SE≥2SF].綜上，[SE≥2SF]，

[（SE+SC?D）+SC?D≥2（SF+SC?D）]，即[SC+SC?D≥2SD].

例2略解：數(shù)形結合知在區(qū)間[1，2）上，函數(shù)y= lgx與函數(shù)f（x）的圖象有唯一交點（1，0）；在區(qū)間[2，3）上，設函數(shù)y= lgx與函數(shù)f（x）上部分圖象交點的橫坐標為[x0]，則[lgx0=（x0-2）2]，[x0]=[10（x0-2）2]，由[x0-2∈D]且為有理數(shù)知，左邊的[x0]為有理數(shù)，右邊為無理數(shù)，矛盾，交點不存在，函數(shù)y= lgx只與函數(shù)f（x）下部分圖象有一個交點.同理可得在區(qū)間[3，4），…，[8，9）上各有1個交點，共8個.

結構特征：（1）推理的起點是數(shù)學核心概念，如集合、數(shù)列、不等式、函數(shù)與方程、周期、數(shù)系等；（2）推理的執(zhí)行需要具備數(shù)學基本技能，如畫（作）圖、集合的運算、數(shù)列的求和、不等式的證明、比較大小、周期性的應用、矛盾分析法等；（3）推理的方法源于數(shù)學基本思想，如數(shù)形結合、分類討論、轉(zhuǎn)化、極端化、函數(shù)與方程思想、矛盾思想、對應思想等.

教學建議：（1）核心概念的教學，必須留給學生充分的“思辨”時間，學生必須理解清楚數(shù)學核心概念的內(nèi)涵和外延，理解概念之間、概念和建立在它本身基礎上的命題之間的關聯(lián)；（2）摒棄“題海戰(zhàn)術”，開啟“精準練習”模式，掌握“通性通法”；（3）結合特定的問題，引導學生感悟數(shù)學基本思想，這是學生數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成和解題能力提升的關鍵，是數(shù)學教學活動的點睛之處.

考查邏輯推理的試題很多，由于文章篇幅有限，不再列舉.我們把2016～2017年江蘇高考數(shù)學試題涉及的數(shù)學基本思想羅列如下：數(shù)形結合、分類討論、轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想、概率與統(tǒng)計思想、歸納與類比思想、分析與綜合思想、特殊化與一般化思想、整體與局部思想、猜想與論證思想、坐標思想（直角坐標、空間坐標、向量坐標、極坐標等）、極端化思想（極端、極限或臨界情形，最大化，最小化等）、有序化思想、矛盾思想、對應思想、消元思想、算兩次思想、補集思想、遞推思想、對稱思想、變換思想、組合思想、模型思想等.我們建議教師可以嘗試以這些基本思想為主題開設系列專題課.

三、數(shù)學運算的考查

例3 （2016年第13題）在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，[BC]·[CA=4]，[BF·][CF=-4]，則[BE·CE]的值是 .（圖略，下同）

例4 （2017年第12題）平面內(nèi)向量[OA]，[OB]，[OC]的模分別為1，1，[2]，[OA]與[OC]的夾角為[α]，tan[α]=7，[OB]與[OC]的夾角為45°.若[OC]=m[OA]+n[OB]，則m+n= .

例5 （2017年第17題）橢圓E：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為[12]，準線之間的距離為8.點P在橢圓E上且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2.（1）求橢圓E的標準方程；（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.

結構特征：（1）運算的方法是關鍵，如例3，關鍵是要把向量用基底表示，歸根結底考查的是向量的一個核心運算思想——坐標思想，例4也可用坐標思想；例5考查的主要是方程思想；（2）運算的方向（從哪里開始算，往哪里算）需要探究，如例5，可以選擇設點P的坐標，從點P開始往點Q算，也可以選擇其他的方向；（3）運算的執(zhí)行需要熟練運用公式、一定的技巧、耐心、細心，輕松地算出結果不容易，如例4、例5；（4）解析幾何題，如例5以及2016年第18題，題目的結構很“簡明”，都是以基本對象（如橢圓、圓、直線等）和基本特征（如焦點、離心率、準線、交點、弦、平行、垂直等）為元素進行“簡明的組合”而成，考查的是基本運算，但對運算素養(yǎng)的要求較高.

教學建議：（1）數(shù)學運算的方法源自數(shù)學運算基本思想，在平時的教學過程中，教師要引導學生感悟數(shù)學運算的基本思想，如坐標思想、函數(shù)思想、方程思想、整體思想、換元思想、消元思想、參數(shù)思想、類比思想、對稱思想、遞推思想等；（2）不管是運算方法的選擇，還是運算方向的探究，一是靠“經(jīng)驗”，二是靠“靈感”，三是靠“試誤”，試誤即不斷地嘗試和改進，最后成功，它是探究活動的形式和特征；（3）在一定量的運算訓練中，提高數(shù)學運算的熟練程度，發(fā)現(xiàn)技巧，培養(yǎng)耐心和細心的習慣等；（4）摒棄“繁、難、偏”的題型，在提高學生基本運算的素養(yǎng)上下功夫.

四、直觀想象的考查

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的思維過程.主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、