張先軍

摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，需要直觀想象作為支撐.在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)直觀的情境，利用直觀的教具，借助多媒體技術(shù)手段，呈現(xiàn)直觀的事物刺激學(xué)生的想象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，提升學(xué)生直觀想象的素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：函數(shù)；直觀想象；數(shù)形結(jié)合

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容，學(xué)生感覺比較難，主要的原因是函數(shù)的內(nèi)容比較抽象，邏輯性比較強(qiáng)，需要學(xué)生有一定的抽象思維能力.直觀想象是培養(yǎng)抽象思維能力最好的方式，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程，包括借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用圖形分析數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.根據(jù)函數(shù)知識(shí)特點(diǎn)，在學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)該善于發(fā)現(xiàn)和設(shè)計(jì)可供學(xué)生直觀想象的情景，精心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察與思考，在教學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷中積累自己的“直觀想象”的經(jīng)驗(yàn)，培育學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

一、創(chuàng)設(shè)直觀教學(xué)情境 激化學(xué)生課堂學(xué)習(xí)熱情

直觀想象素養(yǎng)中，有兩個(gè)關(guān)鍵詞——直觀和想象，直觀是感性的，是信息輸入的前提，而想象是理性的，是信息加工的結(jié)果.教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)直觀教學(xué)情境，以觸動(dòng)學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生在直觀的情境中感知或類比獲取新知，能激化學(xué)生課堂學(xué)習(xí)熱情，起到良好的教學(xué)效果.

（一）運(yùn)用形象資料展示直觀感知

對(duì)于剛進(jìn)入高中的學(xué)生來說，函數(shù)是抽象的，不難發(fā)現(xiàn)，教材中許多章節(jié)不僅有文字的敘述，還有圖片說明，比如函數(shù)概念一節(jié)中，教材給出兩個(gè)實(shí)例，都配以圖片，第一張圖片直觀呈現(xiàn)給學(xué)生炮彈發(fā)射的場面，方便學(xué)生理解炮彈距地面高度隨時(shí)間變化的實(shí)際情境，第二張圖片給出南極上空臭氧層空洞面積的變化曲線圖，比文字或列表更加直觀，給學(xué)生提供了直觀想象的情境，讓學(xué)生能夠在直觀想象的基礎(chǔ)上建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí).教材這樣的設(shè)計(jì)，就是運(yùn)用形象的資料給學(xué)生直觀的感受，讓學(xué)生能直接從直觀的圖形中獲取信息.教師在教學(xué)實(shí)踐中創(chuàng)設(shè)直觀的教學(xué)情境，能讓學(xué)生迅速進(jìn)入直觀想象的學(xué)習(xí)狀態(tài).

（二）利用形象資料類比獲取新知

類比本身就具備良好的教學(xué)作用，這種教學(xué)方式是通過舊知的呈現(xiàn)，類比學(xué)習(xí)新知，舊知是直觀，通過想象獲取新知，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)掌握類似的知識(shí)，學(xué)習(xí)過程中學(xué)生完全可以用類比的方法去猜想、對(duì)比、證明來獲得新知識(shí)，這種方式起到事半功倍的效果.函數(shù)學(xué)習(xí)中很多知識(shí)都可以使用類比，比如函數(shù)性質(zhì)中單調(diào)遞增與單調(diào)遞減的類比，奇函數(shù)與偶函數(shù)的類比，最值中最大值與最小值的類比，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的類比等，將兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)放在一起對(duì)比，用直觀想象分析它們相似之處，有利于學(xué)生接受新知，更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的區(qū)分和記憶.

二、鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐 激發(fā)學(xué)生直觀感受能力

心理學(xué)研究表明，學(xué)生在形成數(shù)學(xué)概念的最初階段，都必須借助于感覺先把對(duì)具體事物的觀察和接觸轉(zhuǎn)化成與具體事物無關(guān)的感性認(rèn)識(shí).單憑在黑板上用圖形文字表述缺少直觀感，對(duì)一些較抽象的、與函數(shù)有關(guān)的問題，可鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自行操作演示，使學(xué)生能更好地完成從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍.圖形是一種視覺符號(hào)，與表象形成密切相關(guān)，學(xué)生在操作實(shí)踐中可通過不斷地對(duì)比、類比與轉(zhuǎn)換來培養(yǎng)想象的能力.

例題：兩塊相同的正三角形紙片，其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐，另一塊剪拼成一個(gè)三棱柱模型，使得它們的全面積與原三角形的面積相等.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，并判斷所設(shè)計(jì)兩種幾何體體積的大小.

解析：本題可基于邊長為變量，將設(shè)計(jì)的幾何體體積用邊長的函數(shù)關(guān)系式表示，即可比較得出兩個(gè)幾何體體積的大小.

為方便計(jì)算，如圖1，將正三棱錐設(shè)計(jì)為正四面體，設(shè)邊長為[x]，則全面積[S（x）=3x2]，得[S底（x）=3x24]，[h錐（x）=63x]；設(shè)計(jì)正三棱柱的底面邊長也為[x]，在正三角形的三個(gè)角上剪出與四邊形[ADEF]全等的三個(gè)四邊形，其中[AD=AF=x2，][DE=FE，∠ADE=∠AFE=90°]，余下的部分按虛線折起，成為無上底的正三棱柱，而剪下的三個(gè)四邊形恰好拼成正三棱柱的上底，三棱柱的高[h柱（x）=x2tan30°=36x]，則三棱錐的體積[V錐（x）=212x3，][三棱柱的體積V柱（x）=18x3]，故[V錐

本例題具有一定開放性，設(shè)計(jì)的方案不同，結(jié)果就不一樣，如果學(xué)生能自制三角形的紙片，自己動(dòng)手嘗試，去尋求合理的設(shè)計(jì)方案，自然會(huì)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，更容易想到以上的方法，而不是拘泥于煩瑣的計(jì)算.有了設(shè)計(jì)方案后，就能更方便通過建立函數(shù)關(guān)系式來求解.如果教師讓學(xué)生將動(dòng)手實(shí)踐的過程與方法用語言表達(dá)出來，就內(nèi)化了知識(shí)，既培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，也鍛煉了學(xué)生動(dòng)手能力，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象能力.

三、運(yùn)用信息技術(shù)手段 激勵(lì)學(xué)生探究問題意識(shí)

教師在教學(xué)中應(yīng)正確采用多媒體手段輔助教學(xué).多媒體集文本、圖像、動(dòng)畫、音視頻于一體，展示的內(nèi)容豐富多彩，現(xiàn)在教師大多都利用多媒體呈現(xiàn)教學(xué)信息，組織教學(xué)活動(dòng)，但是如果只是單純把現(xiàn)成的信息放電影似的強(qiáng)加到學(xué)生的大腦里，反而讓學(xué)生的想象力和思考能力受到抑制，學(xué)生只能被動(dòng)接受大量信息，沒有思考的時(shí)間與空間.如何能正確使用多媒體來輔助教學(xué)呢？教師應(yīng)該把多媒體的展示和學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象相結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)想象和思考.

比如，在正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的教學(xué)中，三角函數(shù)的圖象的生成可借助多媒體來完成，通過多媒體展示描點(diǎn)作圖的過程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)取得越多，圖象的趨勢愈加清晰，逐步形成“平滑”的圖象，驅(qū)動(dòng)學(xué)生在大腦中構(gòu)建正弦函數(shù)的圖象，這就是基于已有直觀圖象進(jìn)一步想象的過程，經(jīng)歷動(dòng)態(tài)想象后，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不會(huì)僅僅停留在淺層次的感知層面，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下展開想象，頭腦中逐步形成清晰的形象，直觀想象能力就在想象過程中得到培養(yǎng).在學(xué)生以后五點(diǎn)法作圖時(shí)，就不會(huì)弄錯(cuò)圖象的走勢.多媒體在本節(jié)課的教學(xué)中不僅提高教學(xué)的效率，而且對(duì)于直觀想象能力較為薄弱的學(xué)生來說，是一種輔助數(shù)學(xué)思維構(gòu)建的策略，是學(xué)生思維對(duì)表象的加工，也是直觀想象素養(yǎng)培育的過程.

四、注重?cái)?shù)形結(jié)合方法 激啟學(xué)生多元思考問題

函數(shù)具有雙重性，既有“數(shù)”的特征，也有“形”的特征，注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，激啟學(xué)生對(duì)問題的多元思考，使復(fù)雜問題形象化、簡單化，解題思路便豁然開朗.

（一）形中覓數(shù)，數(shù)中構(gòu)形

例題：已知二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論正確的是______.

①[b2-4ac>0]；②[abc>0]；③[2a+b>0]；④[9a+3b+c<0]；⑤[8a+c>0]

解析：引導(dǎo)學(xué)生形中覓數(shù)，分析圖象，通過對(duì)稱軸、特殊點(diǎn)等角度從圖象中讀取有效信息解決問題.

再比如2017年浙江高考第5題：若函數(shù)[f（x）=x2+ax+b]在區(qū)間[[0，1]]上的最大值是[M]，最小值是[m]，則[M-m]（ ）

A.與[a]有關(guān)，且與[b]有關(guān) B.與[a]有關(guān)，但與[b]無關(guān)

C.與[a]無關(guān)，且與[b]無關(guān) D.與[a]無關(guān)，但與[b]有關(guān)

解析：結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論不同情況下[M-m]的取值與[a，b]的關(guān)系，綜合可得答案.但若進(jìn)一步揭示本質(zhì)，函數(shù)[f（x）=x2+ax+b]的二次項(xiàng)系數(shù)為1，它決定了函數(shù)圖象的開口和大小，而參數(shù)[a，b]決定了圖象的位置，改變[a]的值，圖象左右平移，改變[b]的值，圖象上下平移，[M-m]是區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值之差，不受圖象上下平移的影響，故選B.

該題形式新穎，但是考查內(nèi)容常規(guī)，對(duì)學(xué)生科學(xué)思維的要求比較高，數(shù)中構(gòu)形，直擊要點(diǎn)，便一目了然.平時(shí)教學(xué)中教師應(yīng)注重科學(xué)思想與方法的培養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（二）靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題

“數(shù)形結(jié)合”就是把數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系與圖象結(jié)合起來進(jìn)行思考，從而使得“數(shù)”與“形”各展其長，優(yōu)勢互補(bǔ)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美統(tǒng)一起來，突破思維定式，數(shù)形相互滲透，培養(yǎng)思維靈活性.

例題：證明：函數(shù)[f（x）=|log2x|-（12）x]在[（0，+∞）]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)[x1，x2]且[x1x2<1].

解析：通過解對(duì)應(yīng)方程的根來判斷是很困難的，用數(shù)形結(jié)合的方法，問題轉(zhuǎn)化為通過判斷函數(shù)[g（x）=|log2x|]與函數(shù)[h（x）=（12）x]交點(diǎn)的情況來判斷函數(shù)零點(diǎn)的問題就直觀得多了.如圖3，可判斷函數(shù)在[（0，+∞）]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)[x1，x2]，從圖象無法看出[x1x2<1]，故根據(jù)圖象特點(diǎn)，過[A]作[x]軸的平行線，與函數(shù)[g（x）=|log2x|]交于點(diǎn)[C]，若C點(diǎn)橫坐標(biāo)為[x3，]則有[|log2x1|=|log2x3|]，所以[log2x1x3=0]，即[x1x3=1]，又[x2

數(shù)形結(jié)合思想在以數(shù)量關(guān)系分析圖象的性質(zhì)或者以圖形的性質(zhì)表現(xiàn)數(shù)量關(guān)系變化中得到很好的體現(xiàn)，即在解決函數(shù)問題時(shí)我們可以運(yùn)用數(shù)和形之間的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化、相互證明和相互補(bǔ)充來更準(zhǔn)確理解題目含義，把握解題思路，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思考邏輯和解題思維.

五、加強(qiáng)形象思維訓(xùn)練 激活學(xué)生靈動(dòng)思維方式

（一）加強(qiáng)作圖訓(xùn)練，把抽象問題形象化

圖形化是形象化教學(xué)的重要手段，利用圖象的直觀性大大簡化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象問題的理解與掌握.

例題：若函數(shù)[f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）]的圖象關(guān)于[x=-2]對(duì)稱，則函數(shù)[f（x）]的最大值為_________.

解析：此題常規(guī)的做法為先求得函數(shù)[f（x）]的解析式，再用配方法去求最值，難度較大，大多數(shù)學(xué)生無法順利完成.若能應(yīng)用直觀想象的思維方式，問題可以巧妙解決.

由解析式可知，[f（-1）=f（1）=0]，函數(shù)關(guān)于[x=-2]對(duì)稱，直觀想象函數(shù)圖象特點(diǎn)可知，[f（-3）=f（-5）=0]，故[f（x）=-（x+5）（x+3）（x+1）（x-1）]，若用換元，令[x+2=t]，則[f（x）=f（t-2）=][-（t+3）（t+1）（t-1）（t-3）=-t4+10t2-9]，當(dāng)[t2=5]時(shí)，[f（x）]的最大值為16.

由直觀想象可知，此處的換元，是函數(shù)水平方向的平移，使得函數(shù)圖象對(duì)稱性更明確，計(jì)算更加便捷.

（二）注重形象儲(chǔ)備，把形象問題模型化

問題模型化是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵，是指通過模型的構(gòu)建將問題轉(zhuǎn)化，最終使問題得以解決的解題策略與思想，模型化的前提是通過直觀想象，對(duì)一些問題模式進(jìn)行識(shí)別，教師應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生形象化問題的儲(chǔ)備、積累，建立模型后就能快速探明問題的方向，有效簡化問題求解的途徑.

例題：設(shè)函數(shù)[f（x）=ex-ax2-x-1]，若對(duì)任意[x≥0]，[f（x）≥0]，求[a]的取值范圍.

解析：對(duì)于[f（x）=ex-ax2-x-1]有[f（0）=0]，又因?yàn)閇f（x）≥0]，直觀想象函數(shù)在[x=0]右側(cè)附近的圖象，應(yīng)有[f'（x）≥0]，又[f'（x）=ex-2ax-1]，[f'（0）=0]，同理，直觀想象函數(shù)[y=f'（x）]在[x=0]右側(cè)附近圖象，應(yīng)有[f'（f'（x））≥0]，即[f'（f'（x））=ex-2a≥0， a≤ex2]對(duì)[x=0]右側(cè)附近成立，從而[a≤12].有了這樣的判斷后，我們可以將問題分成[a≤12]和[a>12]兩種情況研究.

①當(dāng)[a≤12]，且[x≥0]時(shí)[f'（f'（x））≥0]，所以[f'（x）=ex-2ax-1]是增函數(shù)，由[f'（0）=0]知，[f'（x）≥0]對(duì)任意的[x≥0]恒成立，所以[f（x）=ex-ax2-x-1]是增函數(shù)，又[f（0）=0]，所以對(duì)任意[x≥0]，[f（x）≥0].

②當(dāng)[a>12]時(shí)，令[f'（f'（x））=0]，解得[x=ln2a]，當(dāng)[x∈（0，ln2a）]，[f'（f'（x））<0]，函數(shù)[f'（x）]單調(diào)遞減；又[f'（0）=0]，所以當(dāng)[x∈（0，ln2a）]，[f'（x）<0]；所以函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減；又[f（0）=0]，所以當(dāng)[x∈（0，ln2a）]時(shí)，[f（x）<0]，與[f（x）≥0]矛盾，綜上，[a≤12].

本例應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，彰顯直觀想象法在探索解題思路、分解難題方面的重要作用，是分析解決問題的重要手段.

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴于直觀，數(shù)學(xué)知識(shí)的確定依賴于推理.也就是說，數(shù)學(xué)的很多結(jié)果是“看”出來的，看是一種直觀的判斷，它是依賴于經(jīng)驗(yàn)的，這種判斷又是建立在思考與想象基礎(chǔ)之上.培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象是一個(gè)過程，讓學(xué)生積極變換視角，助推問題的解決和數(shù)學(xué)的理解，使學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)真正得到提升.