王朝兵，彭玲陽，劉樂平，張 龍，涂文兵，易 元

前言

國內(nèi)外對行星齒輪傳動精度的研究主要集中在幾何精度和靜態(tài)精度的研究。文獻[1]～文獻[3]中從重合度、齒面接觸、齒廓修形和側(cè)隙等角度討論了齒輪系統(tǒng)傳動誤差的改善辦法。文獻[4]和文獻[5]中分別研究了人字齒輪齒廓和弧齒錐齒輪并提出齒廓修行系數(shù)計算方法和齒面接觸分析算法分別對修行參數(shù)和安裝誤差敏感度進行優(yōu)化并驗證了它的可行性。文獻[6]中通過齒輪接觸分析在考慮各安裝誤差的情況下分析各個安裝誤差對嚙合性能的影響。文獻[7]中建立滾齒機熱誤差模型通過優(yōu)選溫度變量進行熱誤差補償實驗用以提高齒輪加工精度等。文獻[8]中通過搭建誤差檢測平臺和使用齒輪測量機對誤差進行修正最終得出單齒傳動誤差可近似由理論設(shè)計曲線和齒距嚙合偏差仿真曲線組成。文獻[9]和文獻[10]中通過建立行星齒輪系統(tǒng)的傳動誤差模型，運用耦合補償方法從幾何角度來提高系統(tǒng)傳動精度。文獻[11]中通過幾何尺寸的微分模型推導(dǎo)出濾波減速器偏心誤差計算式用以求解傳動誤差的變化曲線并驗證該計算方法的正確性。文獻[12]中通過建立誤差齒面方程提出機床調(diào)整參數(shù)誤差對齒面法向誤差的影響系數(shù)概念以此判斷機床調(diào)整參數(shù)誤差對齒面誤差的影響程度。

齒輪系統(tǒng)傳動誤差可以從很多方面進行探討研究，但影響行星齒輪傳動誤差最主要的還是行星齒輪的偏心類誤差[13]。文獻[14]中以齒面點旋轉(zhuǎn)所得諧波運動軌跡建立齒輪傳動誤差的單面嚙合測量模型，提出一種分析傳動誤差曲線的時標域方法求出誤差曲線的各類頻率特征和偏差值并驗證該方法的可靠性。為減少行星齒輪傳動誤差的計算量及其研究成本同時有效地提高行星齒輪的傳動精度，本文中通過數(shù)值計算的方法主要針對偏心類誤差進行誤差的耦合運算，用以探討行星齒輪的傳動特性。

1 3K型行星齒輪傳動誤差模型

以典型3K型漸開線直齒圓柱行星齒輪減速機構(gòu)為實例，其3K型行星齒輪機構(gòu)幾何模型如圖1所示。

圖1 幾何模型圖

根據(jù)2KH-V型擺線針輪回轉(zhuǎn)傳動誤差解析方法[3]，將3K型行星齒輪各構(gòu)件偏心類誤差轉(zhuǎn)換為嚙合線當(dāng)量嚙合誤差，其結(jié)果如表1所示。

其傳動誤差數(shù)學(xué)模型為

表1 偏心誤差及其嚙合線當(dāng)量誤差

式中:θ為轉(zhuǎn)角；Δθ為轉(zhuǎn)角誤差；rb為基圓半徑；i為傳動比。

2 行星齒輪傳動誤差的數(shù)值分析

由表1可見，行星齒輪各構(gòu)件偏心誤差的當(dāng)量嚙合誤差的一般表達式[15]為

式中:Ai，ωi為正值；φi∈[0，2π]。

式(2)存在以下3種形式。

(1)角頻率為0

ei＝Aisin(φi)，當(dāng) φi等于 0 或 π 時，ei＝0，即該誤差分量對系統(tǒng)傳動誤差的影響為0。

(2)角頻率相等

設(shè) i個(i＝1，2，…，n)誤差分量的耦合誤差的振幅為 Bi、初相為 ξi，即對于 1 個誤差分量，e1＝A1sin(ωt+φ1)，B1＝A1，ξ1＝φ1。

對于2個誤差分量的耦合誤差:

運用歸納法可得對于n個誤差分量的耦合誤差為

(3)角頻率不相等

角頻率不同的誤差分量耦合誤差的幅值目前暫無有效方法直接進行解析運算，為盡可能降低行星齒輪傳動誤差耦合補償后的數(shù)值，對于角頻率不同的誤差分量 e1＝A1sin(ω1t+φ1)，e2＝A2sin(ω2t+φ2)，令兩者的耦合當(dāng)量嚙合誤差為 e1，2＝e1+e2＝A1sin(ω1t+φ1)+A2sin(ω2t+φ2)，并假定 A1，A2，ω1，ω2，φ1為定值。將e2的初相值φ2的最小循環(huán)周期T＝2π等間距分成 n 等份，即 φ2i＝i×T/n，i＝1，2，…，n。 依次對 i進行取值，當(dāng) i＝1時，將 φ21＝1×T/n代入 e1，2中，使用數(shù)值計算的方法得 e1，2對應(yīng)的峰值和初相角為A11，2，φ12；同理，當(dāng) i＝2 時，將 φ21＝2×T/n 代入 e1，2中，得 e1，2對應(yīng)的峰值和初相角 A21，2，φ22；以此類推，當(dāng) i＝n 時，將 φ21＝T 代入 e1，2中，得 e1，2對應(yīng)的峰值和初相角分別為An1，2，φn2；最后對比分析出當(dāng) i取不同正整數(shù)時，其對應(yīng)峰值 A1，2中最小的峰值A(chǔ)1，2(min)及最小峰值所對應(yīng)的初相角 φ2(min)，此初相角φ2(min)為所求數(shù)值分析最佳耦合補償初相角，能有效降低耦合補償相應(yīng)峰值，從而更有效地提高系統(tǒng)傳動精度。

實例計算:e1，2＝8sin(30t+φ1)+15sin(50t+φ2)，根據(jù)上述方法，當(dāng)i＝1時，對e1，2進行數(shù)值分析得其函數(shù)幅值，如圖2所示。

圖2 函數(shù)幅值變化圖

由圖2可知，e1，2所對應(yīng)的最大幅值為 A11，2＝22.950 0，對應(yīng)初相角φ12＝π/50。依次類推，得出當(dāng)i取不同正整數(shù)時對應(yīng)的峰值和初相角，將其所得數(shù)值制成表格，如表2所示。

表2 幅值與初相角的對應(yīng)關(guān)系

3 實例3K行星齒輪當(dāng)量嚙合誤差分析

3K型漸開線直齒圓柱行星齒輪減速機構(gòu)，其基本參數(shù)如表3所示。

表3 行星齒輪基本參數(shù)

將表3中各參數(shù)代入行星齒輪傳動誤差模型式(1)中并整理得

令式(5)中方括號里每相依次為e1到e13，則e4+e8+e13＝16×cos(π/9)×sinγpi+9.862×sin(γpi2-π/9)，當(dāng) γpi＝π，γpi2＝π/9，此 3 個分量 e4，e8，e13傳動誤差的耦合補償之和為 0，e(7ωs/8)＝ 13sin(7×ωst/8+βs+π/9)，e(21ωs/200)＝ -25.887sin(21×ωst/200-βI2+π/9)，e(ωs/8)＝ -0.699sin(1×ωst/8-βI+π/9)，e(11ωs/24)＝ -8.778sin(11×ωst/24-βpi+π/2)，此時 γs＝βI-2π/9，γc＝βI+8π/9，γI2＝βI，βpi2 ＝βpi-7π/18，βs，βI2，βI，βpi取任意值。

將不同角頻率的誤差分量 e(ωs/8)，e(7ωs/8)運用第2 節(jié)中的方法進行數(shù)值分析，令 ea＝ e(ωs/8)+e(7ωs/8)，ωs＝600，βI＝π/9，T＝2π，此時 ea＝-0.699sin(75t)-13sin(525t+βs+π/9)，βs＝i×2π/100(i＝ 1，2，…，n，n＝100)。對比分析所有的峰值，得出當(dāng)i＝95時，有最小峰值 A95a(min)＝13.6311，則其對應(yīng)初相角 β95s＝95π/50為數(shù)值計算所求最佳誤差補償初相角。

同理， 在 ea的基礎(chǔ)上令 eb＝ e(ωs/8)+e(7ωs/8)+e(11ωs/24)，βs＝ 95π/50，此時 eb＝ -0.699sin(75t)-13sin(525t+59π/450)-8.778sin(275t-βpi+π/2)，βpi＝i×2π/100(i＝1，2，…，n，n＝100)。 計算并對比分析所有的峰值，得出當(dāng)i＝8時，有最小峰值＝21.5847，則其對應(yīng)初相角β8pi＝8π/50為數(shù)值計算所求最佳誤差補償初相角。

同理，在 eb的基礎(chǔ)上，令 ec＝ e(ωs/8)+e(7ωs/8)+e(11ωs/24)+e(21ωs/200)，βpi＝ 8π/50，此時 ec＝ -0.699sin(75t)-13sin(525t+59π/450)-8.778sin(275t-7π/10)-25.887sin(63t-βi2+π/9)，βI2＝i×2π/100(i＝1，2，3，…，n)。計算并對比分析所有的峰值，得出當(dāng)i＝94時，有最小峰值A(chǔ)9c4(min)＝46.0663，則其對應(yīng)初相角＝94π/50為數(shù)值計算所求最佳誤差補償初相角。

綜上所述，運用數(shù)值計算方法得各誤差初相的數(shù)值關(guān)系，如表4所示。

表4 誤差初相數(shù)值關(guān)系

通過對比分析計算得誤差初相最佳耦合補償初相角，在相應(yīng)零部件裝配時，使用計算所得初相角進行裝配，可先確定βI，再以βI為基準對太陽輪、行星架、行星輪進行誤差初相調(diào)試裝配，使3者的裝配偏心誤差初相與βI滿足表4中數(shù)值關(guān)系，此時得到的系統(tǒng)傳動誤差為數(shù)值耦合補償誤差。

4 對比分析

4.1 數(shù)值分析與調(diào)試裝配法之間的對比分析

根據(jù)文獻[9]知 e(ωs/8)，e(7ωs/8)，e(11ωs/24)，e(21ωs/200)和 e6，10，15的 耦 合 誤 差 (即) 的 振 幅 B1～13≈48.364，即運用調(diào)試裝配法可得行星齒輪傳動誤差ΔθsI2＝212.19″。而在調(diào)試裝配法基礎(chǔ)上運用數(shù)值計算的方法得行星齒輪傳動誤差Δθsc＝202.23″，傳動誤差降低9.96″，即傳動精度提高4.7%。

4.2 隨機裝配傳動誤差的對比分析

假設(shè)各構(gòu)件偏心誤差分量的初相隨機分配如表4所示，利用蒙特卡洛法對Δθsc進行5萬次模擬計算，統(tǒng)計結(jié)果如圖3所示。

圖3 隨機裝配傳動誤差統(tǒng)計

圖 3 中，Δθsc最小值為 154″，最大值為 748″，數(shù)學(xué)期望為459.56″，標準差為86.46″?？梢姅?shù)值計算傳動誤差Δθsc＝202.23″比隨機裝配系統(tǒng)的傳動誤差小，降低257.33″，系統(tǒng)傳動精度提高約56.0%，效果明顯。

4.3 精度等級之間的對比分析

若將太陽輪a、行星輪f、行星輪g、內(nèi)齒圈b、內(nèi)齒圈e和行星架H提高一個精度等級，其加工偏心誤差和裝配偏心誤差如表5所示。

表5 誤差基本參數(shù) μm

利用蒙特卡洛法在各誤差初相隨機分配情況下，對Δθsc進行5萬次模擬計算，統(tǒng)計結(jié)果如圖4所示。

圖4 隨機裝配傳動誤差統(tǒng)計

由圖 4 可知，Δθsc最小值為 110″，最大值為508″，數(shù)學(xué)期望為 314.96″，標準差為 58.37″。 可見數(shù)值計算傳動誤差比提高各構(gòu)件加工精度隨機裝配后得到的系統(tǒng)傳動誤差小，降低112.73″，系統(tǒng)傳動精度提高約35.79%。

5 結(jié)論

(1)運用數(shù)值分析法將行星齒輪各偏心誤差轉(zhuǎn)換為嚙合線當(dāng)量嚙合誤差進行數(shù)值分析計算，其行星齒輪傳動誤差為202.23″，比用調(diào)試裝配法所得行星齒輪傳動誤差的212.19″降低9.96″，傳動精度提高4.7%，說明在調(diào)試裝配法基礎(chǔ)上運用數(shù)值分析法這一方法是有效的。

(2)在各構(gòu)件偏心誤差分量初相隨機情況下，利用蒙特卡洛法對隨機裝配系統(tǒng)進行傳動誤差分析，數(shù)值期望為459.56″。與之相比，實例運用數(shù)值計算所得傳動誤差小257.33″，降低了近56.0%，可見運用數(shù)值計算的方法可大幅減小系統(tǒng)傳動誤差，提高系統(tǒng)傳動精度。

(3)在提高各構(gòu)件一個加工精度等級的基礎(chǔ)上，利用蒙特卡洛法對隨機裝配系統(tǒng)進行誤差分析，得行星齒輪傳動誤差數(shù)值期望為314.96″，其行星齒輪傳動誤差仍然比運用數(shù)值計算所得行星齒輪傳動誤差大112.73″，可見運用數(shù)值分析的方法比提高各部件加工精度能更有效地減小行星齒輪傳動誤差，且提高加工精度等級所對應(yīng)的加工成本更高。

(4)運用數(shù)值分析的方法可計算相應(yīng)行星齒輪偏心類誤差轉(zhuǎn)換為嚙合線當(dāng)量嚙合誤差的各個初相值，使用數(shù)值分析所得初相角進行行星齒輪的裝配和調(diào)試，可有效提高系統(tǒng)傳動精度，減少系統(tǒng)傳動誤差，且此數(shù)值計算方法比調(diào)試裝配法和提高行星齒輪各構(gòu)件加工精度更經(jīng)濟、更有效。

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