冀 杰，黃巖軍，李云伍，張 春，高書娜

前言

隨著人們對汽車主動安全性能要求的不斷提高，如何有效改善車輛在惡劣行駛工況下的操縱穩(wěn)定性已經(jīng)成為車輛動力學(xué)控制的重要研究領(lǐng)域。目前，對車輛左右兩側(cè)車輪施加不同的制動力并產(chǎn)生必要的校正橫擺力矩，是有效提升車輛操縱穩(wěn)定性的重要手段，例如電子穩(wěn)定程序(ESP)、車輛穩(wěn)定控制系統(tǒng)(VSC)等。然而，此方法在提高車輛操縱穩(wěn)定性的同時，會損失一定的汽車動力性能，難以滿足賽車或高性能運動型轎車對動力性能和駕乘樂趣的要求[1]。

近年來，汽車主動差速器概念的提出與研究為改善車輛操縱穩(wěn)定性提供了一條新的思路。主動差速器能夠根據(jù)車輛的行駛工況和路面狀態(tài)，將驅(qū)動力矩主動分配給驅(qū)動軸兩側(cè)的驅(qū)動輪，從而產(chǎn)生主動橫擺力矩并使車輛跟蹤期望的橫擺角速度和車身側(cè)偏角[2]。該機構(gòu)的工作原理與差速制動相似，都是充分利用了輪胎縱向力線性范圍大于側(cè)向力線性范圍的特性，而差速驅(qū)動的方法能夠在產(chǎn)生主動橫擺力矩的同時，解決傳統(tǒng)差速制動方法造成的動力性能損失過大的問題[3]。目前，國內(nèi)外學(xué)者對主動差速器的動力學(xué)特性和驅(qū)動力矩分配控制進行了大量前期研究。例如，文獻[4]中首先提出了主動差速器的基本結(jié)構(gòu)并對其動力傳遞過程和控制進行了介紹和分析。文獻[5]中建立了主動差速器的動力學(xué)以及運動學(xué)模型，并分析了傳動軸以及輪胎非線性力對主動橫擺力矩產(chǎn)生的影響。文獻[6]中應(yīng)用二階滑模控制算法對車輛的橫擺角速度進行控制，并考慮了車輛運動工況的不確定性和控制變量的飽和特性，從而有效跟蹤車輛的期望橫擺角速度。然而，上述操縱穩(wěn)定性控制方法主要以當(dāng)前的橫擺角速度跟蹤誤差作為控制依據(jù)，無法預(yù)測并利用車輛未來的運動狀態(tài)信息，這與人類的實際駕駛操作行為存在較大的差異。近年來，模型預(yù)測控制逐漸成為車輛操縱穩(wěn)定性和驅(qū)動力矩控制的重要研究方向之一，該方法能夠利用車輛動力學(xué)預(yù)測模型獲得未來有限時域內(nèi)的車輛動力學(xué)狀態(tài)參數(shù)，并通過求解有限時域內(nèi)有約束條件的最優(yōu)控制問題，獲得主動差速器的驅(qū)動力矩分配比例并提高車輛的操縱穩(wěn)定性[7]，例如，文獻[8]和文獻[9]中將模型預(yù)測控制方法應(yīng)用到電動汽車輪轂電機的驅(qū)動力矩主動分配中，仿真結(jié)果證明了該方法在主動驅(qū)動力矩分配控制中的有效性，也為傳統(tǒng)動力車輛的主動差速器模型預(yù)測控制提供了實踐基礎(chǔ)。

基于以上分析，本文中建立了基于主動差速器的車輛動力學(xué)預(yù)測模型，分析了影響車輛操縱穩(wěn)定性控制的控制變量約束和輸出變量約束，同時，將模型預(yù)測控制問題轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃問題并利用內(nèi)點法進行了求解。最后，在低附著系數(shù)路面上對基于主動差速器的整車操縱穩(wěn)定性控制進行了仿真分析。仿真結(jié)果證明了提出的模型預(yù)測控制算法在操縱穩(wěn)定性控制中的有效性，為賽車及高性能運動型轎車的綜合運動控制提供一條新的途徑。

1 車輛/主動差速器綜合預(yù)測模型

1.1 雙軸車輛線性動力學(xué)模型

假設(shè)(x，o，y)為固定于車輛質(zhì)心處的車輛坐標(biāo)系，所有角度均取逆時針方向為正且車輛在縱向運動方向的速度恒定為Vx，同時，忽略懸架系統(tǒng)及側(cè)傾運動對車輛動力學(xué)特性的影響，并在動力傳動系統(tǒng)中添加主動差速器動力學(xué)模型。建立如圖1所示的雙軸線性動力學(xué)模型示意圖。

該模型直接以車輛的前輪轉(zhuǎn)向角δ和驅(qū)動橋系統(tǒng)的輸入軸轉(zhuǎn)矩Ti作為系統(tǒng)輸入，并假設(shè)前、后軸上左右兩側(cè)的輪胎橫向力在車輛坐標(biāo)系下對稱相等，分別用Fyf和Fyr表示，而后軸左右兩側(cè)的輪胎縱向力分別用Fxl和Fxr表示。本研究將通過控制主動差速器左右兩側(cè)的驅(qū)動力矩分配比例，進而在后軸兩側(cè)產(chǎn)生不同的輪胎縱向力以及主動橫擺力矩MY，達到提高車輛操縱穩(wěn)定性的目的。前、后軸上輪胎橫向力及主動橫擺力矩可表示為

式中:Vy為車輛坐標(biāo)系下的橫向運動速度；ψ為車輛的橫擺角度；Cyf和Cyr分別為前、后軸上兩個車輪合并后的側(cè)偏剛度系數(shù)；lf和lr分別為前軸和后軸到車輛質(zhì)心的距離；lw為車輛后軸左右兩側(cè)車輪的輪距。

根據(jù)上述簡化原則，利用牛頓第二定律對車輛動力學(xué)模型進行分析，得到以前輪轉(zhuǎn)向角為輸入變量、以后軸左右兩側(cè)輪胎縱向力為控制變量的狀態(tài)空間模型為

狀態(tài)變量Xv及各狀態(tài)矩陣可表示為

式中:β為車輛的車身側(cè)偏角；m為整車質(zhì)量；Iz為整車?yán)@z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

1.2 主動差速器動力學(xué)模型

根據(jù)Kaoru Sawas提出的主動差速器結(jié)構(gòu)，忽略傳動系統(tǒng)中各部件的彈性阻尼及其扭振、擺振等振動等因素，考慮輸入軸、輸出軸及驅(qū)動輪對主動差速器動力學(xué)的影響[10]，得出如圖2所示的主動差速器結(jié)構(gòu)示意圖。

圖2 主動差速器的結(jié)構(gòu)示意圖

對主動差速器中的齒輪組、主減速器齒輪、差速器行星齒輪以及制動器進行力矩平衡分析，并根據(jù)齒輪組中的齒輪齒數(shù)關(guān)系Z1＝Z2＝Z3＝42，Z4＝32，Z5＝36，Z6＝28，得到差速器輸入轉(zhuǎn)矩Td，驅(qū)動軸上左、右兩側(cè)制動器上的控制力矩ΔTcl和ΔTcr與兩側(cè)驅(qū)動力矩Tl和Tr之間的關(guān)系為

考慮主減速器的轉(zhuǎn)動慣量Iin、主動差速器的轉(zhuǎn)動慣量Id和主減速器的傳動比Nf，得到驅(qū)動橋系統(tǒng)的輸入軸轉(zhuǎn)矩Ti與差速器輸入轉(zhuǎn)矩Td之間的動力學(xué)關(guān)系為

考慮左、右兩側(cè)輪胎的轉(zhuǎn)動慣量Iwl和Iwr以及左、右兩側(cè)驅(qū)動軸的轉(zhuǎn)動慣量Idl和Idr，并對主動差速器左、右兩側(cè)的驅(qū)動軸及車輪總成進行動力學(xué)分析，得

式中:Iw為車輪驅(qū)動軸總成的轉(zhuǎn)動慣量矩陣；Rw為車輪有效轉(zhuǎn)動半徑。

當(dāng)輪胎的縱向力處于小滑移率區(qū)域時，輪胎力Fxl和Fxr與縱向滑移率σxl和σxr可近似看作線性關(guān)系:

式中:Cx和σA分別為驅(qū)動軸左、右兩側(cè)輪胎的縱向剛度矩陣和滑移率矩陣。

而車輪滑移率與車輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系為

將式(7)、式(9)和式(10)代入到式(8)中，得到以后軸車輪縱向滑移率為狀態(tài)變量的主動差速器狀態(tài)空間模型為

其中:

1.3 車輛/主動差速器綜合動力學(xué)預(yù)測模型

將輪胎縱向力計算公式(9)代入車輛動力學(xué)模型(4)中，并綜合主動差速器的動力學(xué)模型公式(11)，得到車輛/主動差速器綜合動力學(xué)狀態(tài)空間模型為

其中:

式中:XA為狀態(tài)變量；UA為輸入變量；TC為控制變量；Oi×j為具有 i行和 j列的零矩陣。

選擇狀態(tài)空間的輸出變量為 YA＝Xv＝[β]T， 得到輸出狀態(tài)方程為

利用歐拉方法對車輛動力學(xué)模型公式(12)和式(13)進行離散化處理(ΔT＝0.01s是系統(tǒng)的采樣時間)，得到線性定常離散時間的車輛動力學(xué)狀態(tài)空間模型:

假設(shè)當(dāng)前時刻k的所有狀態(tài)向量XA(k)是可測量或可估計的，利用迭代模型公式(14)得到未來某時刻的狀態(tài)變量XA(k+i)及輸出變量YA(k+i)預(yù)測值。設(shè)定預(yù)測時域為Np＝6，控制時域為Nc＝6。另外，(k+i k )表示當(dāng)前k時刻對未來k+i時刻的車輛動力學(xué)狀態(tài)參數(shù)預(yù)測，最終得出車輛動力學(xué)輸出變量的模型預(yù)測狀態(tài)空間方程為

其中:

2 約束模型預(yù)測控制系統(tǒng)設(shè)計

車輛操縱穩(wěn)定性模型預(yù)測控制的核心思想可描述為:在當(dāng)前采樣時刻k，根據(jù)測量或估計的車輛動力學(xué)狀態(tài)變量XA(k)，獲得未來預(yù)測時域Np范圍內(nèi)的輸出狀態(tài)信息YA(k+i k)，并基于期望信息在線求解約束最優(yōu)化問題，最后將得到的控制變量作用于車輛動力學(xué)模型并不斷重復(fù)上述過程[11]。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

將車輛的操縱穩(wěn)定性控制問題轉(zhuǎn)化為有限時域內(nèi)的約束最優(yōu)化問題[12]，定義能反映車輛操縱穩(wěn)定性能指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù):

根據(jù)轉(zhuǎn)彎半徑R，前輪轉(zhuǎn)向角δ和車輛動力學(xué)模型參數(shù)，得到車輛在穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向時的橫擺角速度δ和車身側(cè)偏角βδ參考值為

式中，L＝lf+lr，為車輛前、后車軸之間的軸距。

由于車輛的縱、橫向輪胎力具有非線性飽和特性，根據(jù)車輛行駛速度變化以及道路參數(shù)，可設(shè)定橫擺角速度ψ·max和車身側(cè)偏角βmax的范圍:

式中:μ為路面附著系數(shù)；g為重力加速度；Vr為車輛動力學(xué)的特征速度；參數(shù)k1和k2分別定為π/18和π/60[7]。

另外，根據(jù)差速器、傳動齒輪和制動器的運動學(xué)關(guān)系可知，對主動差速器左側(cè)和右側(cè)的制動器同時進行控制將會造成運動干涉。因此，設(shè)定左、右制動器的控制力矩范圍是ΔTc∈[-Tmax，Tmax]，當(dāng)ΔTc>0時，表示右側(cè)制動器工作；而ΔTc＝0時，表示左右兩側(cè)制動器同時松開；當(dāng)ΔTc＜0時，表示左側(cè)制動器工作，即:

選擇目標(biāo)函數(shù)控制輸入和跟蹤誤差的加權(quán)矩陣分別為R＝0.001·INc和Q＝I2Np，利用Um(k)表示控制時域Nc范圍內(nèi)的控制力矩輸入向量:

分別利用Rr(k)和Ym(k)表示預(yù)測時域Np范圍內(nèi)的車輛運動參考信息和實際輸出狀態(tài)信息:

將式(25)和式(26)代入到目標(biāo)函數(shù)式(17)中，得

2.2 約束條件分析

由主動差速器的機械運動原理可知，根據(jù)驅(qū)動力矩的橫向傳遞方向及右側(cè)驅(qū)動軸與制動盤之間的速度差，能夠判斷對主動差速器的左側(cè)還是右側(cè)制動盤進行控制[13]，具體的控制規(guī)則如表1所示。

表1 主動差速器控制規(guī)則

其中，El和Er分別表示左、右兩側(cè)制動器的嚙合狀態(tài)，右側(cè)驅(qū)動軸與兩個制動器之間的速度差可表示為

式中:ωr為右側(cè)驅(qū)動軸的轉(zhuǎn)動速度；ωcl和ωcr分別為左側(cè)和右側(cè)制動器的轉(zhuǎn)動速度。

根據(jù)表1所示的主動差速器控制規(guī)則和控制力矩物理特性，可確定主動差速器控制力矩的Um(k)約束范圍；根據(jù)式(16)、式(20)和式(21)，可確定車輛動力學(xué)預(yù)測模型的橫擺角速度和車身側(cè)偏角的約束范圍。其不等式矩陣形式為

式中，Tmax為主動差速器左、右兩側(cè)制動盤的最大控制力矩極值。

其中:

2.3 模型預(yù)測控制求解

在模型預(yù)測控制問題的求解過程中，由于約束條件的存在，一般情況下難以直接得到式(17)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)解析解，需要采用數(shù)值優(yōu)化方法求解約束優(yōu)化問題。由于目標(biāo)函數(shù)是二次型的，動力學(xué)方程和時域約束條件是線性的，所以該約束優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃(quadratic programming，QP)問題描述。

將車輛動力學(xué)離散狀態(tài)空間預(yù)測模型的輸出變量(16)代入到模型預(yù)測控制的目標(biāo)函數(shù)(27)中，并定義:

對目標(biāo)函數(shù)進行整理，得

為獲得二次規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)定二次規(guī)劃問題中的相容Hessian矩陣為Em，且梯度向量的獨立變量矩陣為Fm，分別表示為

由于式(32)中的常數(shù)項J3不影響主動差速器控制力矩序列Um的求解，因此，將以上兩個變量矩陣代入到目標(biāo)函數(shù)(32)中，并與約束條件不等式(30)進行整理和轉(zhuǎn)換，得到如式(35)和式(36)所示的車輛操縱穩(wěn)定性控制二次規(guī)劃問題標(biāo)準(zhǔn)形式。利用內(nèi)點法求解該帶有線性約束的二次實函數(shù)，流程如圖3所示(更加詳細(xì)的求解過程請參考文獻[14])。

圖3 約束模型預(yù)測問題的內(nèi)點法求解

3 仿真結(jié)果分析

為驗證模型預(yù)測算法在車輛操縱穩(wěn)定性控制中的有效性，利用MATLAB/Carsim軟件進行聯(lián)合仿真分析。在轉(zhuǎn)向盤角度正弦輸入情況下，比較低附著系數(shù)路面上的模型預(yù)測控制車輛與無控制車輛之間的橫擺角速度以及車身側(cè)偏角參數(shù)變化，并分析主動差速器的工作過程及控制力矩變化。

本研究采用雙軸線性車輛動力學(xué)模型用于模型預(yù)測控制系統(tǒng)設(shè)計，其主要參數(shù)如表2所示，而仿真模型則是裝備了主動差速器的Carsim車輛動力學(xué)模型。

表2 車輛動力學(xué)預(yù)測模型參數(shù)

假設(shè)被控車輛以初始速度Vx＝20m/s在路面附著系數(shù)為0.5的濕滑瀝青道路上行駛，對車輛施加如圖4所示的正弦前輪轉(zhuǎn)向角度，同時，為保證車輛的初始行駛速度及車輛模型的線性特性，主動差速器的輸入轉(zhuǎn)矩設(shè)定為86N·m，分別比較有主動差速器(圖中AD曲線)和無主動差速器(圖中OD曲線)工況下的控制力矩及車輛動力學(xué)響應(yīng)特性，如圖5～圖7所示。

圖4 車輛前輪轉(zhuǎn)向角度

對于沒有裝備主動差速器的車輛而言，由于濕滑瀝青路面的附著系數(shù)相對較低，當(dāng)施加如圖4所示的前輪轉(zhuǎn)向角度時，車輛的前、后車輪側(cè)偏角會快速增大，導(dǎo)致輪胎的非線性橫向力很快達到其極限值(如圖5所示)，難以為車輛轉(zhuǎn)向提供所需的橫擺力矩，其橫擺角速度和車身側(cè)偏角也會超過其極限值(如圖6所示)。雖然經(jīng)過3s之后車輛能夠恢復(fù)穩(wěn)定行駛狀態(tài)，但在車輛的非穩(wěn)態(tài)行駛過程中容易發(fā)生側(cè)滑等問題，其安全性能難以得到保證。

圖5 前、后車輪側(cè)偏角及橫向輪胎力

圖6 車輛的橫擺角速度及車身側(cè)偏角

另外，從圖7所示的車輛后軸驅(qū)動輪的滑移率及輪胎力變化情況可以看出，驅(qū)動輪在該工況下的最大滑移率為0.5%，遠未達到10%的非穩(wěn)態(tài)飽和值，其最大驅(qū)動力為594N，始終小于輪胎的最大縱向力1 565N(該值由輪胎力的非線性特性分析得到)。因此，可利用主動差速器對左、右兩側(cè)輪胎的驅(qū)動力矩進行主動分配，并通過差速驅(qū)動的方式產(chǎn)生補償橫擺力矩，進而提高車輛的操縱穩(wěn)定性。

圖7 后軸驅(qū)動輪滑移率及縱向力

而對于裝備了主動差速器的車輛而言，當(dāng)車輛的橫擺角速度和車身側(cè)偏角達到約束值時，文中設(shè)計的模型預(yù)測算法將會計算出期望的補償橫擺力矩，并根據(jù)主動差速器動力學(xué)特性，得到主動差速器左、右兩側(cè)制動器的控制力矩(如圖8所示)，實現(xiàn)后軸上驅(qū)動力矩的橫向轉(zhuǎn)移和主動分配，進而使車輛的橫擺角速度和車身側(cè)偏角限定在最大極限值范圍內(nèi)，有效提高車輛的操縱穩(wěn)定性。

圖8 主動差速器控制力矩及后軸左右兩側(cè)驅(qū)動力矩

從仿真結(jié)果可以看出，利用車輛主動差速器產(chǎn)生補償橫擺力矩時，輪胎的最大縱向滑移率能夠達到0.025，有效增大了輪胎縱向力的利用區(qū)域，同時保證了輪胎的縱向力始終處于線性范圍內(nèi)(滑移率小于0.1)。當(dāng)車輛在濕滑瀝青路上行駛時，雖然作用于主動差速器上的控制力矩會造成驅(qū)動力矩的部分損失，但車輛的行駛速度僅降低至19.34m/s，即僅降低3.3%(如圖9所示)，表明主動差速器對車輛動力性的影響相對較小。

圖9 被控車輛的行駛速度

4 結(jié)論

(1)提出的操縱穩(wěn)定性模型預(yù)測算法基于線性車輛動力學(xué)模型進行狀態(tài)預(yù)測，并對控制力矩、輸出狀態(tài)等多約束條件進行了分析，克服了單一線性預(yù)測模型匹配度差以及非線性預(yù)測模型計算量過大的問題。

(2)基于主動差速器的車輛操縱穩(wěn)定性控制方法增大了驅(qū)動車輪在線性穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)的縱向力利用范圍，同時解決了傳統(tǒng)差速制動穩(wěn)定性控制造成的動力性能損失過大的問題。

(3)本研究僅對恒定速度的線性車輛動力學(xué)預(yù)測模型進行了研究，在進一步工作中，將充分考慮被控車輛的速度變化、輪胎力的非線性特性等影響因素，構(gòu)建時變的模型預(yù)測控制系統(tǒng)并通過實車道路實驗進一步驗證其系統(tǒng)性能。

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