劉永榮

【摘要】本文簡述了高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，淺析了當(dāng)下高中生對典型數(shù)學(xué)考題的掌握情況，并探析了數(shù)學(xué)典型考題和解題思路，尤其是函數(shù)和導(dǎo)數(shù)方向的典型考題和解題思路，以期為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供借鑒.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；典型考題；解題思路

高中數(shù)學(xué)是高中教學(xué)課程的重要學(xué)科，其涉及了諸多領(lǐng)域，涵蓋了豐富的知識(shí)，極具抽象性和復(fù)雜性.為提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)水平，有必要對高中數(shù)學(xué)典型考題和解題思路進(jìn)行分析.

一、高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)具有以下特點(diǎn)：（1）高中數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性較強(qiáng).高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容較多，且具有復(fù)雜的邏輯性[1].不同于初中數(shù)學(xué)知識(shí)的具體性，高中數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性增加了學(xué)生的理解難度.（2）高中數(shù)學(xué)具有較大的知識(shí)密度.高中數(shù)學(xué)知識(shí)涉及諸多知識(shí)領(lǐng)域，具有廣闊的知識(shí)覆蓋面和眾多的知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)密度極大.（3）高中數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的獨(dú)立性.高中數(shù)學(xué)教材各章節(jié)的知識(shí)內(nèi)容，大多具有較強(qiáng)的獨(dú)立性，各章彼此獨(dú)立，對學(xué)生的多樣化思維要求較高.

二、當(dāng)下高中生對典型考題的掌握情況

高中數(shù)學(xué)典型考題，涉及較為廣泛的知識(shí)領(lǐng)域，主要包括函數(shù)知識(shí)、三角函數(shù)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)知識(shí)等[2].考察最近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷，對其典型試題進(jìn)行分析研究并整理匯總，編制成一套包含各種典型數(shù)學(xué)問題的試卷，重點(diǎn)對函數(shù)知識(shí)包括函數(shù)單調(diào)性、周期性規(guī)律、三角函數(shù)知識(shí)包括圖像轉(zhuǎn)換和恒等變化規(guī)律、數(shù)列知識(shí)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)，包括其幾何意義等進(jìn)行測試.將該套試卷發(fā)給某校500名高三學(xué)生，測試結(jié)果顯示成績優(yōu)秀的學(xué)生僅占20%，及格學(xué)生占50%，不及格學(xué)生占30%.分析高三學(xué)生對典型考題掌握的具體情況，發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)知識(shí)，諸如函數(shù)定義域的應(yīng)用，以及三角函數(shù)等知識(shí)，學(xué)生掌握情況較好.對于導(dǎo)數(shù)知識(shí)等領(lǐng)域，學(xué)生的掌握情況存在欠缺.

三、數(shù)學(xué)典型考題和解題思路分析

（一）函數(shù)方向典型考題和解題思路

通過對學(xué)生進(jìn)行典型考題測試，并分析其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)多數(shù)高中生對函數(shù)知識(shí)的掌握情況不甚良好，主要體現(xiàn)在函數(shù)的單調(diào)性問題以及函數(shù)圖像問題等方面.對于函數(shù)知識(shí)中，考查函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用的典型問題，要牢固掌握函數(shù)奇偶性的規(guī)律，并熟練運(yùn)用方程思想進(jìn)行求解，在求解過程中，要小心謹(jǐn)慎，避免計(jì)算失誤.

例1 已知某函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，函數(shù)f（x）是奇函數(shù).f（1）+g（-1）=4；f（-1）+g（1）=2，求g（1）.

解題思路 該考題，對函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用進(jìn)行了考查，對該考題的解答要充分利用函數(shù)的奇偶性知識(shí)，并靈活運(yùn)用方程思想，對上述習(xí)題中的兩個(gè)方程進(jìn)行消除，最終得到答案g（1）=3.

例2 某函數(shù)表達(dá)式為f（x）=e2+4x-3，求該函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間.

解題思路 對于求解函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的典型習(xí)題，通常要考慮以下三種解題思路，分別是函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想[3].高中生對于此類典型的數(shù)學(xué)考題，不應(yīng)局限自己的思維方式，當(dāng)采用某種解題思路受到阻礙，采用某種解題方法沒有效果時(shí)，要對數(shù)學(xué)思維進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)換.當(dāng)然，解答此類函數(shù)典型考題，基礎(chǔ)是牢固掌握函數(shù)相關(guān)知識(shí)，尤其是函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的相關(guān)知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上掌握并靈活運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)解題技巧.巧妙結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和方程思想，形成清晰的解題思路，完美解決此類問題.

（二）導(dǎo)數(shù)方向典型考題和解題思路

導(dǎo)數(shù)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，也是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)難點(diǎn).對高中生進(jìn)行典型考題測試的統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，多數(shù)高中生缺乏對導(dǎo)數(shù)知識(shí)的良好掌握，在解答導(dǎo)數(shù)方向的典型考題時(shí)，往往茫然失措，毫無頭緒，無法形成清晰的解題思路.究其原因，在于多數(shù)高中生沒有良好掌握導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)，無法在解題中有效應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí).因此，有必要對導(dǎo)數(shù)方向的典型考題進(jìn)行分析，并探究其解題思路.

靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，能方便快捷地解決導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)問題.通過導(dǎo)數(shù)知識(shí)實(shí)現(xiàn)對函數(shù)單調(diào)性的有效判斷，牢固掌握導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)相關(guān)概念，對于強(qiáng)化高中生的數(shù)學(xué)思維能力，形成清晰的解題思路具有重要的意義.

例3 某函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）假定該函數(shù)在區(qū)間-23，-13之內(nèi)是減函數(shù)，求解a的取值范圍.

解題思路 對于該典型習(xí)題，要靈活運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，明確f′（x）≤0對于任意的x∈-23，-13 恒成立的區(qū)間單調(diào)性變化.對該習(xí)題第一問的求解，要明確該函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的開口情況，該導(dǎo)函數(shù)開口向上，且是二次函數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)出Δ=4（a2-3），分別從三種情況來考慮該函數(shù)問題，即Δ>0的情況，Δ<0的情況，以及Δ=0的情況.對函數(shù)的求解公式進(jìn)行進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化，取得“x1=-a-a2-33”“x2=-a+a2-33”“-33或者a<-3時(shí)，f（x）在（-∞，x1），（x2+∞）上是增函數(shù)，在（x1，x2）上是減函數(shù).依據(jù)此思路，實(shí)現(xiàn)對該類型導(dǎo)數(shù)問題的解答.

四、總 結(jié)

綜上所述，高中數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的抽象性和獨(dú)立性，其知識(shí)點(diǎn)密度較大.對高中學(xué)生進(jìn)行典型考題測試，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，多數(shù)高中生對函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識(shí)領(lǐng)域的掌握情況還有待提高.因此，高中數(shù)學(xué)教師要在教學(xué)實(shí)踐中，鞏固學(xué)生的函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識(shí)基礎(chǔ)，向?qū)W生分析函數(shù)和導(dǎo)數(shù)方向的典型試題和解題思路，實(shí)現(xiàn)教學(xué)水平的提高.

【參考文獻(xiàn)】

[1]曾國元.高中數(shù)學(xué)典型考題與解題思路研究[J].教育，2016（12）：205.

[2]胡玉靜.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與分析[D].信陽：信陽師范學(xué)院，2015.

[3]蘇文婷.高中生對典型數(shù)學(xué)問題解法的掌握研究[D].烏魯木齊：新疆師范大學(xué)，2016.