穆志韜,牛 勇，劉 濤,顏光耀(.海軍航空大學(xué) 航空機械系，山東 青島 6604;.93部隊，山東 煙臺 64037)

近年來，纖維增強復(fù)合材料以其比強度和比剛度高、性能可設(shè)計、環(huán)境耐久性強等諸多優(yōu)異特性，廣泛應(yīng)用于各個工程領(lǐng)域，如航空航天、汽車工業(yè)及建筑領(lǐng)域等[1]。其中一項重要應(yīng)用是利用膠粘的方法，將復(fù)合材料補片貼補到金屬結(jié)構(gòu)的外表面，以此達到改善局部區(qū)域受力狀況的目的[2-6]。膠層及復(fù)合材料補片的界面性能對補強效果有重要影響[7-12]。文獻[13]建立了考慮彎曲變形單面修補結(jié)構(gòu)力學(xué)分析模型,推導(dǎo)出了金屬板復(fù)合材料單面補強結(jié)構(gòu)中膠層面內(nèi)剪切應(yīng)力以及面外剝離應(yīng)力的解析解，并對膠層主導(dǎo)的破壞模式進行了分析。文獻[13]利用TOM理論對Rose LRF分析方法進行了改進，認為膠層剪切應(yīng)力沿膠層厚度方向上呈線性分布，并得到了復(fù)合材料雙面修復(fù)結(jié)構(gòu)中膠層剪切應(yīng)力的解析解。文獻[14]利用有限元方法,研究了復(fù)合材料粘接修理結(jié)構(gòu)中膠層的彈性模量對其應(yīng)力分布的影響。分析了膠層出現(xiàn)屈服和未屈服兩種情況下,膠層的第1主應(yīng)力,剝離應(yīng)力和xy面剪切應(yīng)力的分布隨膠層彈性模量的變化情況。從以往研究中發(fā)現(xiàn)，對補強結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究大部分集中在膠層應(yīng)力分布及破壞的研究上，較少研究復(fù)合材料補片的力學(xué)行為和失效機制。其中一個重要原因是補強結(jié)構(gòu)涉及多種材料，其對應(yīng)的邊界條件也較為復(fù)雜，在傳統(tǒng)的板殼理論中，難以找到合適的解函數(shù)滿足其邊界條件，得到補片中應(yīng)力分布的顯式解析解[15-18]。但補片破壞是除膠層破壞以外的另一種重要破壞形式，對其應(yīng)力分布的研究同樣具有重要意義。

針對上述問題，本文采用狀態(tài)空間法(SSM)，從彈性力學(xué)基本方程出發(fā)，通過消去平面應(yīng)力分量，僅保留各層之間相互協(xié)調(diào)所需要的力學(xué)量的方法，建立金屬板復(fù)合材料單面膠接補強結(jié)構(gòu)的理論分析模型，并利用三角級數(shù)及階躍函數(shù)對各類邊界條件進行了描述，得到了復(fù)合材料補片中應(yīng)力分布的解析解。同時，利用有限元方法驗證理論分析模型的有效性，并簡要分析復(fù)合材料補片及膠層的破壞模式與失效機制。

1 復(fù)合材料單面補強結(jié)構(gòu)力學(xué)模型

圖1為完好的金屬板復(fù)合材料單面膠接補強結(jié)構(gòu)的典型示意圖，補片采用與金屬板等寬度的矩形補片。其中，L和l分別為金屬板及復(fù)合材料補片的長度，B為二者寬度，利用膠粘劑實現(xiàn)二者之間的載荷傳遞。

根據(jù)補強結(jié)構(gòu)的特點，做如下基本假設(shè)：

(1)金屬板在x=0及x=l兩處簡支；

(2)結(jié)構(gòu)在板寬方向上處于平面應(yīng)變狀態(tài)；

(3)膠層完好，不存在缺陷，結(jié)合面位移函數(shù)保持連續(xù)[15]。

圖1 金屬板復(fù)合材料單面補強結(jié)構(gòu)俯視圖

圖2為補強結(jié)構(gòu)拆解圖，其中tp和ts分別為補片和金屬板的厚度，第k層為金屬板，第k-1層為膠層，第k-1以上為復(fù)合材料補片各分層。

圖2 金屬結(jié)構(gòu)復(fù)合材料單面補強結(jié)構(gòu)拆解

1.1 復(fù)合材料補片及膠層狀態(tài)方程

由于復(fù)合材料補片及膠層受力狀態(tài)相同，在1～k-1層中的各分層中，任取一單層r，建立局部坐標系，取坐標x軸與層頂層軸線重合，z軸與左側(cè)邊緣重合，考察其中任意點的應(yīng)力狀態(tài)。

根據(jù)單元應(yīng)力狀態(tài)，力平衡方程為

(1)

由廣義Hooke定律及幾何方程可得

(2)

從式(1)及式(2)中消去平面應(yīng)力分量σx，使得方程中僅保留各層之間相互協(xié)調(diào)所需要的力學(xué)量，可得第r層的狀態(tài)方程

(3)

將平面應(yīng)力分量σx方程應(yīng)力單獨列出，即

(4)

方程(3)中右側(cè)系數(shù)矩陣為非常數(shù)陣，求解方程需將系數(shù)矩陣化為非常數(shù)矩陣，為此將式(3)中4個未知量展開成級數(shù)形式

(5)

將式(5)代入式(3)、(4)整理得

(6)

(7)

將狀態(tài)方程組(6)寫成如下形式

(8)

其中Kn為方程組(6)的系數(shù)矩陣，式(8)為線性常系數(shù)齊次狀態(tài)方程，采用矩陣指數(shù)法對其進行求解，可得

(9)

式(9)建立了復(fù)合材料補片各分層及膠層中不同位置處應(yīng)力與位移分量與其頂層的關(guān)系。令

(10)

則式(10)簡化為

Rn(z)=Dn(z)·Rn(0)

(11)

1.2 金屬板狀態(tài)方程

由于金屬基板與補片及膠層受力狀態(tài)不同，需單獨進行分析，如圖(1)所示，金屬基板兩端分別受遠端應(yīng)力σ作用，為此，引入階躍函數(shù)H(x)和H(x-l)

(12)

對式(12)求導(dǎo)有

(13)

其中δ(x)為Dirac函數(shù)，x∈[0,l]，令

(14)

將式(14)代入靜力平衡方程(1)得

(15)

在金屬板中σz、w和τxz三項與式(5)相同，令

(16)

(17)

(18)

求解方程(17)得

(19)

參照式(10)、(11)將狀態(tài)方程式(19)寫成如下形式

Rn(hk)=Dn(hk)·Rn(0k)+Bn(hk)

(20)

其中Bn(hk)為式(19)最右側(cè)的常數(shù)矩陣，是狀態(tài)方程的輸入控制矩陣。

2 邊界條件及狀態(tài)方程的解

由于上述狀態(tài)方程均采用了局部坐標系，根據(jù)層間的應(yīng)力和位移連續(xù)條件，上一層底層應(yīng)力和位移狀態(tài)為相臨下一層頂層的初始邊界條件，逐層類推，最后可以把整個結(jié)構(gòu)的上、下表面的力學(xué)量聯(lián)結(jié)起來，以第一層和第二層為例，第一層的層底為第二層頂層的邊界條件，即

(21)

式(21)中，h1和h2分別表示第1層和第2層的厚度，01表示第一層頂層位置。

依次類推，整個修復(fù)結(jié)構(gòu)組合后的狀態(tài)方程為

(22)

在整體狀態(tài)方程(22)中令

(23)

將式(23)展開成如下形式

(24)

由于金屬板在x=0及x=l兩處簡支，由受力分析可得補強結(jié)構(gòu)的邊界條件為

復(fù)合材料補片頂面

(25)

金屬板底面

(26)

將邊界條件按三角極數(shù)展開后得

(27)

(28)

將式(27)及(28)代入式(24)取方程組的第2、4方程化簡得如下方程組

(29)

3 數(shù)值驗證與分析

為檢驗本文方法的有效性，利用Matlab軟件對補強結(jié)構(gòu)整體狀態(tài)方程進行編程求解。結(jié)構(gòu)尺寸如圖2所示，其中修補區(qū)域長度l=80 mm。金屬基板為飛機常用的LY12CZ鋁合金，膠粘劑選用J150型環(huán)氧樹脂膠粘劑，補片選用T300/E51碳/環(huán)氧復(fù)合材料，并且讓0°纖維方向與最大主應(yīng)力方向(x方向)一致。材料力學(xué)性能見表1。計算中取n=1,3,…,199時各力學(xué)量收斂較好。

表1 LY12CZ、T300/E51和J150的材料屬性

用abaqus6.12建立補強結(jié)構(gòu)的有限元模型，由結(jié)構(gòu)的對稱性，取其1/2進行建模，布全局種子，種子間距為0.5 mm，根據(jù)假設(shè)條件，各部分均采用8節(jié)點平面應(yīng)變單元(CPE8)，通過Tie約束保證各界面節(jié)點間的位移協(xié)調(diào)，單元網(wǎng)格劃分及邊界條件如圖3所示。

圖3 T300/E51金屬板復(fù)合材料單面補強結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分及邊界條件

圖4為在端部應(yīng)力為40 MPa時結(jié)構(gòu)撓度分布規(guī)律，由于金屬板在x=0及x=l兩處簡支，在受拉應(yīng)力時，由于補片的存在，傳載路徑出現(xiàn)偏心，致使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生凹向下的彎曲變形，理論解析解與有限元數(shù)值解吻合較好。

圖5為膠層剝離應(yīng)力及剪切應(yīng)力的理論解析解與有限元數(shù)值解在遠端應(yīng)力為40 MPa時的分布曲線，理論解析解與有限元數(shù)值解吻合較好，說明解析解正確合理。膠層剝離應(yīng)力及剪切應(yīng)力在靠近端部位置處均顯著增大，所以對于膠層剝離及剪切主導(dǎo)的破壞模式最先發(fā)生失效的位置在補片端部。

圖4 T300/E51金屬板復(fù)合材料單面補強結(jié)構(gòu)撓度分布

圖5 膠層剝離應(yīng)力及剪應(yīng)力分布

根據(jù)推導(dǎo)出的解析模型研究補強結(jié)構(gòu)中補片的力學(xué)行為，圖6為不同位置處補片層間剪應(yīng)力分布情況的理論解析解，括號內(nèi)的數(shù)值表示所取位置的坐標值與總長的比值。從圖6中可以看出，相同兩層間的層間剪力隨著坐標值與總長的比值的增大而增大，且第五層與第六層之間的層間剪力最大，說明這兩層層間最易發(fā)生層間剪切為主導(dǎo)的破壞模式。

圖6 補片層間剪力在厚度方向上的分布

圖7為不同位置處纖維沿方向應(yīng)力在補片厚度上的分布的理論解析解，從圖7中可以看出，各位置處應(yīng)力呈線性變化，且靠近端部位置處直線的斜率小于遠離端部位置處的斜率，說明靠近端部位置處的應(yīng)力在不同鋪層間的應(yīng)力分配差別較大，對于同一層而言，越靠近端部位置應(yīng)力值也越大，說明補片端部更易出現(xiàn)纖維斷裂為主導(dǎo)的破壞模式。

圖7 補片面內(nèi)應(yīng)力在厚度方向上的分布

4 結(jié)論

(1)利用SSM建立了補強結(jié)構(gòu)的狀態(tài)方程，推導(dǎo)出了金屬板復(fù)合材料單面補強結(jié)構(gòu)任意一點處的應(yīng)力、應(yīng)變理論解析解;

(2)通過與有限元計算結(jié)果的對比表明，結(jié)構(gòu)撓度、膠層剝離應(yīng)力及剪切應(yīng)力均與理論解析解吻合較好，理論解析模型正確、合理;

(3)利用解析模型研究了補強結(jié)構(gòu)中補片的力學(xué)行為，結(jié)果表明，補片自由端易產(chǎn)生應(yīng)力集中，補片層間剪力和面內(nèi)應(yīng)力均在自由端處取得了最大值，對于補片分層及纖維斷裂主導(dǎo)的破壞模式均易發(fā)生在補片端部位置。

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