許衛(wèi)鍇，張 蒙，寧金英(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136)

近年來(lái)，聲波和彈性波在周期性復(fù)合材料中的傳播越來(lái)越受到關(guān)注。相比光子晶體[1]，聲子晶體是由一種彈性常數(shù)及密度周期分布的新型功能材料，當(dāng)彈性波在聲子晶體內(nèi)部傳播時(shí),受其周期性結(jié)構(gòu)的影響,在一定頻率范圍(禁帶)內(nèi)，彈性波會(huì)被禁止傳播，而在其他頻率范圍(通帶)內(nèi)，彈性波可以無(wú)損耗地傳播[2]。因此，在噪聲隔離和振動(dòng)控制等方面聲子晶體具有潛在的應(yīng)用前景，尤其在隔振方面，它可以完成常規(guī)阻尼難以完成的任務(wù)，為超精加工、精密儀器等在一定頻率范圍內(nèi)提供無(wú)振動(dòng)的環(huán)境。因此，在Kushwaha等人[3]提出了聲子晶體的概念后，研究人員開(kāi)始廣泛關(guān)注這種周期性介質(zhì)對(duì)波的傳播行為的影響[4-7]，隨后出現(xiàn)了許多新型的人造結(jié)構(gòu)的聲子晶體[8-10]。此外，在國(guó)防工業(yè)方面它也有巨大的應(yīng)用潛力[11-12]。

到目前為止，聲子晶體產(chǎn)生帶隙的機(jī)理大體分為兩種:Bragg 散射型和局域共振型。在Bragg 散射型聲子晶體中，帶隙主要與結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)、周期性等結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)[13]，當(dāng)入射彈性波的波長(zhǎng)與聲子晶體的晶格尺寸相近時(shí)彈性波將受到結(jié)構(gòu)強(qiáng)烈的散射作用，使得帶隙頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)與晶格尺寸處于同一數(shù)量級(jí)；而在局域共振型聲子晶體中，雖然結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)也有一定影響，但帶隙主要由晶體中散射體的共振產(chǎn)生。2000年，劉正猷等[14]首次提出了局域共振型聲子晶體的概念，他們?cè)诃h(huán)氧樹(shù)脂的基體中嵌入以硅橡膠包裹的鉛球的共振單元并對(duì)此進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)。由于引進(jìn)了共振單元，第一帶隙頻率大大降低，比同樣晶格尺寸的 Bragg 散射型聲子晶體產(chǎn)生的帶隙低了兩個(gè)數(shù)量級(jí)，但大部分的共振型聲子晶體只能在低頻范圍內(nèi)產(chǎn)生較窄的帶隙。因此，為了在低頻范圍內(nèi)獲得較寬的帶隙，許多研究人員開(kāi)始提出板狀、梁狀等結(jié)構(gòu)形式的聲子晶體,如三明治板的板狀體系[15]含有共振體梁的梁式體系[16]。周期性孔型聲子晶體具有質(zhì)量較輕且制作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，在近年來(lái)受到了越來(lái)越多的關(guān)注。本文研究了一種含非凸型孔的二維單相聲子晶體，并討論了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)帶隙的影響，這些結(jié)果為聲子晶體的設(shè)計(jì)提供了一定的參考依據(jù)。

1 理論方法

對(duì)于線彈性、小變形、各向異性、無(wú)阻尼且無(wú)源的非均勻介質(zhì)，角頻率為ω的諧振彈性波在其中的傳播行為可以用以下波動(dòng)方程描述[17-18]

-ρ(r)ω2u(r)=·(C(r):u(r))

(1)

-ρ(r)ω2ui=T·[C44(r)Tui]+T·uT]+[(C11(r)-2C44(r))TuT],i=x,y

(2)

-ρ(r)ω2uz=·(C44(r)uz)

(3)

根據(jù)Bloch定理，聲子晶體的中位移場(chǎng)u(r)可以表示成

u(r)=ei(k·r)uk(r)

(4)

其中，uk(r)是單胞內(nèi)的位移場(chǎng)，與結(jié)構(gòu)有相同的周期性，k=(kx,ky)被限定在第一布里淵區(qū)內(nèi)。利用有限元軟件求解時(shí)，可以在一個(gè)單胞內(nèi)進(jìn)行，單胞內(nèi)離散形式的特征方程為

(K-ω2M)U=0

(5)

其中，U是節(jié)點(diǎn)位移，K與M分別是剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。

當(dāng)單胞邊界滿(mǎn)足Bloch周期條件時(shí)，則結(jié)構(gòu)內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都將滿(mǎn)足Bloch條件[19]。將Bloch定理沿著周期方向施加在單胞邊界上時(shí)，單胞邊界條件變?yōu)?/p>

U(r+a)=ei(k·a)U(r)

(6)

其中，a為聲子晶體的格矢基矢量。將波矢k沿著結(jié)構(gòu)的不可約布里淵區(qū)的高對(duì)稱(chēng)邊界掃描，通過(guò)求解特征值即可得到能帶結(jié)構(gòu)。

本文采用有限元軟件Comsol Multiphysics5.2a對(duì)一種新型的二維非凸孔型聲子晶體進(jìn)行仿真計(jì)算，其中平面混合模態(tài)和剪切模態(tài)可分別采用固體力學(xué)模塊和壓力聲學(xué)模塊進(jìn)行求解[18]。通過(guò)施加Floquet周期邊界條件，計(jì)算能帶結(jié)構(gòu)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)特征值問(wèn)題。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

2.1 計(jì)算模型

研究表明，對(duì)于由均勻固體周期開(kāi)孔得到的多孔型聲子晶體，孔的形狀幾乎是唯一可以調(diào)控帶隙的參數(shù)[18]，因此研究開(kāi)孔形狀及其尺寸對(duì)系統(tǒng)帶隙特性的影響具有十分重要的意義。一般來(lái)說(shuō)，含非凸型截面孔的聲子晶體較凸型孔更容易在較低頻率產(chǎn)生較寬的完全帶隙[18]。例如，甄妮等人[20]研究了含正方形、三角形以及六角蜂窩結(jié)構(gòu)的周期多孔材料，結(jié)果表明僅存在方向帶隙而無(wú)完全帶隙。Su等人[21]討論了含圓形孔、旋轉(zhuǎn)方孔和六角形孔聲子晶體的帶隙特性，結(jié)果表明不同形狀的孔具有不同的帶隙特性。圖1(a)和1(b)分別顯示了方形孔和圓形孔的能帶圖，其中b為方形孔邊長(zhǎng)，R為圓形孔半徑。可以看出，方形孔并不存在完全帶隙，而圓形孔可以產(chǎn)生相對(duì)較窄的禁帶。在方形邊框上附加半圓形凸起時(shí)，此時(shí)孔的形狀將變?yōu)橐粋€(gè)類(lèi)似“X”變形體的非凸型截面，如圖2(a)所示，其中晶格常數(shù)為a，邊框?qū)挾葹閠，半圓的半徑為r。對(duì)于方形晶格來(lái)說(shuō)，其不可約布里淵區(qū)的高對(duì)稱(chēng)邊界為Γ-Χ-Μ-Γ，如圖2(b)所示。當(dāng)選取合適的尺寸參數(shù)時(shí)，單元將會(huì)發(fā)生局域共振并產(chǎn)生較大的帶隙，如圖1(c)所示。

圖1 不同形狀的聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)

圖2 非凸型單相聲子晶體示意圖

本文采用鋁為基體材料，晶格常數(shù)a為0.01 m，其材料屬性中密度ρ=2 700 kg/m3，楊氏模量E=20 GPa，泊松比υ=0.25。計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的能帶如圖3所示，縱坐標(biāo)采用歸一化頻率Ω=fa/ct，其中f為頻率，ct=1 721 m/s為基體的橫波波速，圖中實(shí)線和虛線分別表示聲子晶體的混合模態(tài)和剪切模態(tài)。

2.2 半圓半徑影響

圖3顯示了當(dāng)邊框?qū)挾萾為0.000 3 m時(shí)，不同的半圓半徑對(duì)帶隙分布的影響?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)取半圓半徑r為0.001 m時(shí)，在歸一化頻率0.82、1.4和1.65附近存在三條較明顯的帶隙，并在頻率1.17處存在一條極細(xì)的帶隙，更低的頻率則不存在完全帶隙；調(diào)整半圓的半徑r為0.001 5 m時(shí)剪切模態(tài)的第7條能帶下降，使得原來(lái)1.6<Ω<1.7范圍的帶隙切割為兩條，且?guī)捿^之前有所增加;同時(shí)，由于混合模態(tài)的第11條能帶大幅上升，原來(lái)0.82頻率處的帶寬大幅增加，位于1.17處的極細(xì)帶隙的帶寬也大幅增加，在更低的頻率0.5和0.61范圍處也打開(kāi)兩條帶隙；當(dāng)半徑r為0.002 m時(shí)在頻率為1.9的位置出現(xiàn)一條帶隙，同時(shí)，由于剪切模態(tài)的第7、8條能帶繼續(xù)下降，第6能帶則上升，使得原來(lái)頻率1.6處的兩條帶隙中較寬一條變得極細(xì)，而原本較細(xì)的一條則完全消失，由于混合模態(tài)第7-12條能帶上升，使得1.2處的帶隙消失，0.8<Ω<0.98處的帶隙上升至1<Ω<1.7，而0.83<Ω<0.97處出現(xiàn)另一條新帶隙，頻率0.6處的帶隙也上升至0.7處。另外，由于混合模態(tài)第6條能帶下降，原本0.5處的帶隙增大為0.4<Ω<0.61的寬帶隙；當(dāng)半圓的半徑r為0.002 5 m時(shí)，由于混合模態(tài)第7-12條能帶繼續(xù)上升，且第13條能帶下降，以及剪切模態(tài)第3條能帶上升，第4能帶下降，原本1<Ω<1.7和0.83<Ω<0.97處的兩條帶隙有小幅度上升，且?guī)捦瑫r(shí)變小，頻率1.58處也出現(xiàn)一條帶隙。另外，由于混合模態(tài)第6條能帶繼續(xù)下降，0.4<Ω<0.61處的帶隙進(jìn)一步增大為0.38<Ω<0.79；當(dāng)半圓的半徑r為0.003 m時(shí)，由于混合模態(tài)第7-12條能帶大幅上升，且第13條能帶大幅下降，原本1<Ω<1.7和0.83<Ω<0.97處的兩條帶隙消失，而在頻率為1.36和1.39處出現(xiàn)兩條極細(xì)帶隙，在頻率為1.7處出現(xiàn)一條稍寬帶隙，另外，由于混合模態(tài)的第6能帶小幅下降，剪切模態(tài)的第3條能帶小幅上升，使得0.38<Ω<0.79處的帶隙增大為0.36<Ω<0.81。

圖3 不同半徑的能帶結(jié)構(gòu)實(shí)線和虛線分別代表混合模態(tài)和剪切模態(tài)

圖4 低頻帶隙邊界隨半圓半徑變化情況

另一方面，由圖3可知，低頻帶隙一般出現(xiàn)在混合模態(tài)的第6、7條能帶與剪切模態(tài)的第2、3條能帶之間，因此我們著重討論這四條能帶隨半圓半徑變化情況。圖4顯示了低頻帶隙的邊界隨半圓半徑的變化情況，其中，混合模態(tài)與剪切模態(tài)分別用“○”和“*”標(biāo)記，實(shí)線為混合模態(tài)第7(或剪切模態(tài)第3)能帶的下邊界，虛線為混合模態(tài)第6(或剪切模態(tài)第2)能帶的上邊界。只有高階能帶的下邊界高于低階能帶的上邊界時(shí)才會(huì)產(chǎn)生帶隙。從圖4可以看出，當(dāng)半圓半徑取0.001 m時(shí)，由于混合模態(tài)第6條能帶的上邊界高于在第7條能帶的下邊界，因此并未產(chǎn)生完全帶隙，這也與圖3(a)的結(jié)果相吻合。當(dāng)半圓半徑增大到0.001 5 m時(shí)開(kāi)始出現(xiàn)完全帶隙，隨著半圓半徑繼續(xù)增大，低頻完全帶隙也逐漸變寬，如圖4中陰影部分所示。

為了更好地觀察構(gòu)型尺寸對(duì)帶隙寬度及位置的影響，本文引入低頻相對(duì)帶寬[18]和總體絕對(duì)帶寬[22]兩種指標(biāo)對(duì)構(gòu)型進(jìn)行評(píng)價(jià)。其中，低頻相對(duì)帶寬考慮第一個(gè)禁帶帶寬盡可能大的情況下頻率盡可能低，總體絕對(duì)帶寬則考慮在一定頻率范圍內(nèi)所有禁帶的總體寬度。低頻相對(duì)帶寬和總體絕對(duì)帶寬的目標(biāo)函數(shù)如式(7)和式(8)所示。

(7)

(8)

計(jì)算結(jié)果如表1所示。結(jié)合圖3、圖4可以看出，當(dāng)改變半圓的半徑時(shí)，無(wú)論是混合模態(tài)還是剪切模態(tài)，其能帶變化都較為明顯。從總體絕對(duì)帶隙來(lái)看，當(dāng)半徑為0.001 m時(shí)禁帶帶寬較小僅為12.3%，但增大半徑到0.001 5 m后總體絕對(duì)帶寬迅速增大到31.7%。盡管進(jìn)一步增大半徑并不能帶來(lái)絕對(duì)帶隙的擴(kuò)寬，但會(huì)導(dǎo)致帶隙的頻率下移，從而使得低頻相對(duì)帶寬逐漸增大，因此，較大的半圓半徑成為更優(yōu)的選擇。然而，由于繼續(xù)增大半圓半徑在系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)變形時(shí)內(nèi)部半圓會(huì)發(fā)生擠壓，因此在本文下一部分中取半徑為0.003 m進(jìn)行分析。

2.3 邊框?qū)挾扔绊?/h3>

圖5顯示了半徑r為0.003 m時(shí)不同的邊框?qū)挾葘?duì)帶隙分布的影響?？梢钥闯觯瑢?duì)比邊框?qū)挾萾為0.000 5 m的情況，取t為0.000 4 m時(shí),混合模態(tài)的第6條能帶略有下降，剪切模態(tài)的第3條能帶略有上升，使得第一條帶隙寬度略微增大；當(dāng)取t為0.000 3 m時(shí)混合模態(tài)的第6條能帶下降較明顯，剪切模態(tài)的第3條能帶依然有部分上升，使得第一條帶隙寬度擴(kuò)大為0.32<Ω<0.8；當(dāng)取t為0.000 2 m時(shí),混合模態(tài)的第6能帶繼續(xù)下降，剪切模態(tài)的第3條能帶則繼續(xù)上升，第一條帶隙寬度擴(kuò)大為0.28<Ω<0.82；當(dāng)取t為0.000 1 m時(shí)，混合模態(tài)的第6能帶雖然有大幅下降，但第7條能帶則有更大幅度下降，第8、9、10條能帶也有較大幅度下降，因此，第一條帶隙被切割為兩條完全帶隙，兩條帶隙寬度分別為0.21<Ω<0.51和0.54<Ω<0.77。同時(shí)，在高頻范圍內(nèi)也出現(xiàn)兩條新的完全帶隙，其寬度分別為0.99<Ω<1.2和1.27<Ω<1.38，但帶隙寬度較小。

表1 半圓半徑對(duì)帶隙寬度及位置的影響情況

圖5 不同邊框?qū)挾鹊哪軒ЫY(jié)構(gòu)(注：實(shí)線和虛線分別代表混合模態(tài)和剪切模態(tài))

圖6顯示了低頻帶隙的邊界隨邊框?qū)挾鹊淖兓闆r，同樣，混合模態(tài)與剪切模態(tài)分別用“○”和“*”標(biāo)記，實(shí)線為混合模態(tài)第7(或剪切模態(tài)第3)能帶的下邊界，虛線為混合模態(tài)第6(或剪切模態(tài)第2)能帶的上邊界?？梢钥闯觯S著邊框?qū)挾鹊臏p小，低頻完全帶隙逐漸增大，并在0.000 2 m附近時(shí)取得最大。當(dāng)邊框?qū)挾冗M(jìn)一步減小到0.000 1 m時(shí)低頻完全帶隙再次減小，如陰影部分所示。

圖6 低頻帶隙邊界隨邊框?qū)挾茸兓闆r

同樣的，我們分別計(jì)算了不同邊框?qū)挾认碌牡皖l相對(duì)帶寬和總體絕對(duì)帶寬，如表2所示?？梢钥闯?，隨著寬度的不斷減小混合模態(tài)的能帶依然受到較大影響，低頻相對(duì)帶寬呈逐漸增大趨勢(shì)，當(dāng)框架厚度為0.000 1 m時(shí)低頻相對(duì)帶寬率減小，這是由于混合模態(tài)第7條能帶下降過(guò)快，低頻帶隙被切割為兩條相對(duì)較窄的完全帶隙造成的，但總體絕對(duì)帶寬則一直呈現(xiàn)逐漸增大趨勢(shì)，由于繼續(xù)減小框架寬度會(huì)在材料制備上存在一定難度，因此不再繼續(xù)減小框架寬度。

表2 邊框?qū)挾葘?duì)帶隙寬度及位置的影響情況

3 結(jié)論

本文基于局域共振型聲子晶體結(jié)構(gòu)，對(duì)一種新型的二維含非凸型孔聲子晶體構(gòu)型的帶隙特性進(jìn)行了分析和研究，并討論了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)帶隙性質(zhì)的影響。結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的帶隙特性具有顯著的影響，而合理確定幾何參數(shù)可使該新型聲子晶體在低頻范圍內(nèi)打開(kāi)相對(duì)較寬的完全帶隙，這為聲子晶體的帶隙設(shè)計(jì)提供了一定的理論依據(jù)。

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