李 倩，滕英元，楊天智(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136)

微納米結(jié)構(gòu)在通訊、航空航天、遙感等領(lǐng)域顯示出了廣泛的應(yīng)用前景。眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)微納米結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性展開(kāi)了大量研究[1-3]。如楊帆[4]等通過(guò)表面能模型研究了表面效應(yīng)對(duì)氧化鋅懸臂梁力學(xué)性能的影響，結(jié)果表明表面效應(yīng)使壓電納米梁剛度增強(qiáng)、感應(yīng)電荷量減少。Jung[5]分析了矩形S型功能梯度納米板簡(jiǎn)支模型的屈曲失穩(wěn)。Kiani[6]等研究了雙壁碳納米管在不同邊界條件下橫向自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征。Li[7]等人分析了磁、電及彈性地基的共同作用下納米板的屈曲載荷和振動(dòng)頻率。

2002年，Yang[8]等人首次提出一種各向同性修正偶應(yīng)力理論。該理論適用于各向同性材料。與經(jīng)典偶應(yīng)力理論不同，修正偶應(yīng)力理論的應(yīng)變與曲率張量均是對(duì)稱的，因此極大地簡(jiǎn)化了材料參數(shù)數(shù)量。修正偶應(yīng)力理論模型廣泛應(yīng)用于微納米結(jié)構(gòu)研究中，如Ma[9]等分析了基于修正偶應(yīng)力的微尺寸Timoshenko梁模型的靜態(tài)屈曲和自由振動(dòng)特性。隨后，考慮到中性層變形引起的幾何非線性因素，Asghari[10]等基于修正偶應(yīng)力理論研究了非線性Timoshenko梁的特性。Ansari[11]應(yīng)用修正偶應(yīng)力理論的Euler-Bernoulli梁模型分析了微梁的非線性振動(dòng)，并與經(jīng)典Euler-Bernoulli梁模型建模得到的結(jié)論進(jìn)行了對(duì)比。值得一提的是，對(duì)于微納米結(jié)構(gòu)的理論提法尚未統(tǒng)一。修正偶應(yīng)力理論、非局部彈性理論、應(yīng)變梯度理論等均被應(yīng)用于微納米結(jié)構(gòu)的研究中[12-15]。如Salamat[16]基于應(yīng)變梯度理論，分析了表面能對(duì)微梁振動(dòng)、屈曲等行為的影響。Ke[17]等人基于Kirchhoff板模型和非局部彈性原理，研究了受尺寸效應(yīng)影響的磁電彈納米板自由振動(dòng)的固有頻率及非局部參數(shù)、溫度場(chǎng)、磁場(chǎng)、電場(chǎng)等對(duì)固有頻率的影響。

修正偶應(yīng)力理論也在近幾年內(nèi)被應(yīng)用于流固耦合問(wèn)題。對(duì)輸流微、納米管的動(dòng)力學(xué)特性的準(zhǔn)確建模和分析是流固耦合領(lǐng)域重要的研究課題。Ansari[18]研究了表面效應(yīng)對(duì)功能梯度輸流微殼的振動(dòng)特性及動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的影響。Zhen[19]等研究了附加激振力影響下單壁碳納米輸流微管的非線性振動(dòng)問(wèn)題。Amiri[20]分析了磁場(chǎng)、電場(chǎng)、溫度場(chǎng)等參數(shù)對(duì)磁電彈輸流微管臨界速度的影響。Yang[21]等研究了輸流微管非線性自由振動(dòng)的靜態(tài)屈曲問(wèn)題及尺寸效應(yīng)對(duì)輸流微管后屈曲的影響。但是從已有文獻(xiàn)看，對(duì)輸流微管非線性強(qiáng)迫振動(dòng)的研究尚屬空白。本文基于修正偶應(yīng)力原理，應(yīng)用直接多尺度法研究了輸流微管的非線性強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題。

1 輸流微管非線性強(qiáng)迫振動(dòng)控制方程

微管及管內(nèi)液體的質(zhì)量分別用m和mf表示。L表示微管的長(zhǎng)度，V表示流速，如圖1所示。

圖1 輸流微管示意圖

x、y、z軸的位移ux、uy、uz分別表示為

ux=-zψ(x,t),uy=0,uz=w(x,t)

(1)

其中ψ表示中性軸轉(zhuǎn)角

(2)

根據(jù)修正偶應(yīng)力理論[8]，應(yīng)變能可表示為

(3)

σij=λtr(εij)δij+2Gεij;

mij=2l2Gχij

(4)

其中，i,j=1,2,3。σij、εij分別表示應(yīng)力張量和應(yīng)變張量，χij是對(duì)稱的曲率張量(即χij=χji)，mij表示偶應(yīng)力內(nèi)力矩。λ表示彈性常數(shù)，δij是羅內(nèi)克符號(hào)，G表示剪切模量，l為材料內(nèi)稟參數(shù)。位移矢量和轉(zhuǎn)動(dòng)矢量用u和θi表示。其中θi表示為

(5)

根據(jù)式(1)～(5)，可得到一維情況下輸流微管的應(yīng)變能

(6)

其中E是彈性模量，I是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，A是橫截面面積。

本文考慮兩端不可移動(dòng)邊界條件，因此管道的軸向變形可產(chǎn)生軸向拉力Nx，其勢(shì)能為

(7)

式中軸向拉力Nx[19]具體表達(dá)為

(8)

微管的動(dòng)能Tb表示為

(9)

管內(nèi)液體的動(dòng)能Tf為

(10)

由外場(chǎng)改變產(chǎn)生的勢(shì)能為

(11)

其中P是由外場(chǎng)改變引起的附加軸向力，外場(chǎng)可以是力場(chǎng)、溫度場(chǎng)、電磁場(chǎng)等。外部激勵(lì)的變分表示為

(12)

F(x,t)表示外部激勵(lì)力，其周期表達(dá)式為

F(x，t)=Bcos(ωt)

(13)

式中B表示激勵(lì)幅值，ω為激勵(lì)頻率。

由哈密頓原理得

(14)

將式(6)～(13)代入式(14)中，非線性強(qiáng)迫振動(dòng)控制方程為

(15)

本文考慮兩端簡(jiǎn)支邊界條件：

w(0,t)=w(L,t)=0,

(16)

引入無(wú)量綱表達(dá)式：

(17)

其中ε為小參數(shù)。

將式(17)代入(15)、(16)中，得到無(wú)量綱化控制方程為

(18)

無(wú)量綱化邊界條件為

η(0,τ)=η(1,τ)=0,

(19)

2 輸流微管線性固有頻率

為了分析線性動(dòng)力學(xué)特性，我們忽略非線性項(xiàng)，得到輸流微管線性振動(dòng)控制方程為

(20)

式(20)的解可設(shè)為

η=φn(x)eiωnτ

(21)

其中ωn為第n階固有頻率，φn為第n階模態(tài)。

將式(21)代入式(20)中得到：

(22)

可設(shè)式(22)的解為

φn(x)=C1n(eiβ1nx+C2neiβ2nx+C3neiβ3nx+C4neiβ4nx)

(23)

其中βin(i=1,2,3,4)為式(22)的特征根，Cin(i=1,2,3,4)是式(22)解的系數(shù)。將式(23)代入式(22)，得到：

(24)

兩端簡(jiǎn)支條件的第n階模態(tài)函數(shù)φn滿足：

(25)

(26)

第n階固有頻率ωn可通過(guò)數(shù)值方法共同求解式(24)和(26)獲得[22]。

3 直接多尺度法

用直接多尺度法求解輸流微管非線性強(qiáng)迫振動(dòng)控制方程(18)，設(shè)其解為

η(ζ,τ,ε)=η0(ζ,T0,T1)+εη1(ζ,T0,T1)

(27)

其中η0、η1分別為快時(shí)間尺度位移函數(shù)和慢時(shí)間尺度位移函數(shù)，T0=τ表示快時(shí)間尺度，T1=ετ表示慢時(shí)間尺度。

將式(27)代入式(18)中，分離ε的同階項(xiàng)：

(28)

(29)

式中Dn=?/?Tn，(n=0,1)。

式(28)的解設(shè)為

(30)

兩端簡(jiǎn)支條件的振型函數(shù)φn(ζ)[23]表示為

(31)

將式(30)、(31)代入式(29)得

(32)

其中，cc為前面所有項(xiàng)的復(fù)共軛，NST為非長(zhǎng)期項(xiàng)。

為分析共振點(diǎn)附近的響應(yīng)，引入調(diào)諧函數(shù)σ得

ω=ωn+εσ

(33)

將(33)代入式(32)，得到：

(34)

為消去長(zhǎng)期項(xiàng)，可得到可解性條件為

(35)

其中

經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算，χ是純虛數(shù)，λ是復(fù)數(shù)。χ、λ可分別表示為

χ=iχI

λ=λR+iλI

(36)

振幅An用極坐標(biāo)表示為

An=αn(T1)eiγn(T1)

(37)

共同求解式(35)～(37)，分離實(shí)部、虛部得到：

(38)

式中θn=σT1-γn。

如果存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，幅值an與相位θn必須是常數(shù)，應(yīng)滿足

(39)

式(39)消去θn，可得到第n階模態(tài)共振幅值an與調(diào)諧函數(shù)σ的解析關(guān)系為

(40)

4 數(shù)值結(jié)果與分析

本文算例選取以C304為材料的輸流微管、水為管內(nèi)流體的模型為研究對(duì)象，根據(jù)式(40)與表1、2給出的參數(shù)繪制共振時(shí)幅頻響應(yīng)曲線圖，分析質(zhì)量比、流速及附加軸向力對(duì)輸流微管振動(dòng)的影響。其中，ε=0.000 1，b=0.1，l=17.6 μm。

表1 幾何參數(shù)

表2 材料參數(shù)

選取無(wú)量綱流速v=0.6、附加軸向力p=1.5，質(zhì)量比β分別取0.826、0.857、0.903，得到幅頻響應(yīng)曲線如圖2所示。由圖2(a)可知，隨質(zhì)量比的增大，響應(yīng)幅值增大。當(dāng)質(zhì)量比減小時(shí)，響應(yīng)曲線逐漸向右偏轉(zhuǎn)。對(duì)比圖2(a)中一階強(qiáng)迫共振圖與圖2(b)中二階強(qiáng)迫共振圖可知，二階強(qiáng)迫共振圖中曲線變化趨勢(shì)與一階強(qiáng)迫共振圖基本一致。

圖2 不同質(zhì)量比對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響

圖3表示質(zhì)量比β=0.857且p=1.5時(shí)，不同流速對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響。從圖3(a)可見(jiàn)，一階強(qiáng)迫共振時(shí)，共振幅值隨流速的增大而增大。流速越小幅頻響應(yīng)曲線向右偏轉(zhuǎn)程度越大，多平衡解同時(shí)存在現(xiàn)象越明顯。對(duì)比圖3(a)、(b)可知，流速對(duì)二階強(qiáng)迫共振與對(duì)一階強(qiáng)迫共振的影響基本相同，即幅頻響應(yīng)曲線變化趨勢(shì)基本一致。

選取β=0.857和流速v=0.6，分析附加軸向力分別為p=1.5、p=2、p=2.5的幅頻響應(yīng)曲線。由圖4(a)、(b)可見(jiàn)，一階強(qiáng)迫共振幅頻響應(yīng)曲線與二階強(qiáng)迫共振幅頻響應(yīng)曲線形態(tài)基本一致，即不同附加軸向力的三條曲線變化趨勢(shì)基本一致，但二階強(qiáng)迫共振曲線比一階強(qiáng)迫共振曲線偏轉(zhuǎn)程度更明顯。隨外場(chǎng)引起的附加軸向力的增大，響應(yīng)曲線向右彎曲程度增大。外場(chǎng)引起的附加軸向力越小，共振幅值越小。

當(dāng)材料內(nèi)稟參數(shù)l=0時(shí)，模型退化為經(jīng)典的宏觀Euler-Bernoulli梁振動(dòng)模型。取β=0.857，v=0.6，p=1.5，繪制幅頻響應(yīng)曲線圖，對(duì)比分析修正偶應(yīng)力振動(dòng)模型與經(jīng)典宏觀的Euler-Bernoulli梁振動(dòng)模型的不同，如圖5所示。

圖3 不同流速對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響

圖4 不同外場(chǎng)引起的附加軸向力值對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響

圖5 兩種模型的幅頻響應(yīng)曲線

觀察圖5可知，l=0時(shí)響應(yīng)曲線的共振幅值大于l=17.6 μm時(shí)響應(yīng)曲線的共振幅值，即經(jīng)典模型的共振幅值大于修正偶應(yīng)力模型的共振幅值。經(jīng)典模型響應(yīng)曲線向右偏轉(zhuǎn)程度大于修正偶應(yīng)力模型響應(yīng)曲線，經(jīng)典模型的多平衡解同時(shí)存在現(xiàn)象更明顯。對(duì)比圖5(a)與圖5(b)，一階強(qiáng)迫共振與二階強(qiáng)迫共振曲線變化的趨勢(shì)基本相同，二階強(qiáng)迫共振時(shí)曲線的偏轉(zhuǎn)程度更明顯。

5 結(jié)論

本文基于Euler-Bernoulli梁模型和修正偶應(yīng)力理論，建立兩端簡(jiǎn)支輸流微管非線性強(qiáng)迫振動(dòng)模型。該模型考慮軸向變形引起的幾何非線性及外場(chǎng)引起的附加軸向力的影響。根據(jù)哈密頓原理推導(dǎo)出微分控制方程。利用直接多尺度法得到了共振時(shí)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻關(guān)系，該模型可退化為經(jīng)典Euler-Bernoulli梁振動(dòng)模型。結(jié)合數(shù)值算例繪出輸流微管強(qiáng)迫共振時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線，通過(guò)幅頻響應(yīng)曲線圖詳細(xì)分析了質(zhì)量比、流速、附加軸向力等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響，并對(duì)比了經(jīng)典Euler-Bernoulli梁振動(dòng)模型與該振動(dòng)模型的不同。研究結(jié)果表明，一階強(qiáng)迫共振幅頻響應(yīng)曲線與二階強(qiáng)迫共振幅頻響應(yīng)曲線變化趨勢(shì)基本一致；共振幅值隨質(zhì)量比、流速、附加軸向力的減小而減??；增大附加軸向力或減小流速、質(zhì)量比時(shí)，曲線向右偏轉(zhuǎn)程度增大，多平衡解同時(shí)存在現(xiàn)象更明顯；修正偶應(yīng)力振動(dòng)模型較經(jīng)典Euler-Bernoulli梁振動(dòng)模型共振幅值減小，幅頻響應(yīng)曲線向右彎曲程度減小。

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