呂睿星

(吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林 132022)

眾所周知，《高等數(shù)學(xué)》是高等職業(yè)技術(shù)教育教學(xué)中的一門公共基礎(chǔ)理論教育必修課程，是為培養(yǎng)我國社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)所需要的高質(zhì)量工程技術(shù)人才以及專業(yè)技術(shù)人才服務(wù)的課程。以往的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式已不能滿足新形勢(shì)下的教學(xué)要求，在我校高等職業(yè)技術(shù)教育過度轉(zhuǎn)型發(fā)展階段[1]，對(duì)于高等數(shù)學(xué)課程這種基礎(chǔ)性學(xué)科，在教學(xué)當(dāng)中進(jìn)行新的實(shí)踐與探究顯得尤為重要。以我校航空和汽車學(xué)院高職各專業(yè)為對(duì)象，從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，把數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)思想滲透到高職高等數(shù)學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)，盡可能多的選擇現(xiàn)實(shí)題材，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件，有效培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，對(duì)全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

一、高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模

雖然數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的開展，能夠?yàn)閼?yīng)用型人才的培養(yǎng)創(chuàng)造很好的環(huán)境和機(jī)遇，但是究竟如何開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，以及如何將數(shù)學(xué)建模的思想融入到高職數(shù)學(xué)教學(xué)中去，就成為了非常重要的話題。

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)以邏輯關(guān)系為主體，內(nèi)容緊湊，一環(huán)扣一環(huán)。這樣自然就使得教學(xué)方面注重理論的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性，必然相對(duì)忽視了對(duì)基本概念和定理物理意義及幾何意義的講解，進(jìn)而沒有將很多內(nèi)容的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值表現(xiàn)出來，令學(xué)生對(duì)教材中的內(nèi)容感到很迷茫，理解不夠充分，自然影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。而數(shù)學(xué)建模主要是面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，弄清楚與實(shí)際問題相關(guān)的材料和數(shù)據(jù)，找到問題的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)手段，將實(shí)際問題改寫成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，之后運(yùn)用數(shù)學(xué)中的定義、定理、公式，以及數(shù)學(xué)軟件，把這樣的實(shí)際問題進(jìn)行理性的解決，最終得出數(shù)學(xué)的結(jié)果，再將結(jié)果解釋成實(shí)際問題的結(jié)論。因此，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)橋梁，通過它，可以把數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題聯(lián)系到一起，這樣能夠真正體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的實(shí)際意義，也會(huì)讓學(xué)生們感受到學(xué)以致用，進(jìn)而消除他們心中學(xué)數(shù)學(xué)枯燥無味、無用的消極思想。這便意味著將數(shù)學(xué)建模的思想方法融入高職高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中是非常重要的[2-4]。

二、數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)相結(jié)合

(一) 數(shù)學(xué)建模的引入

首先要盡早讓學(xué)生們接觸數(shù)學(xué)建模的相關(guān)內(nèi)容，了解簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。如果從第一節(jié)高數(shù)課開始，就令學(xué)生們了解它，會(huì)更好的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，端正學(xué)習(xí)態(tài)度。比如公平的席位分配問題，雙層玻璃窗的功效問題，雨中行走的策略問題等，這樣的問題會(huì)引起學(xué)生的求知欲，開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，改變學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)的偏見，為高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，開個(gè)好頭。

(二) 將數(shù)學(xué)建模案例融入教材內(nèi)容

在講解高等數(shù)學(xué)課程過程中，我們就要將數(shù)學(xué)建模思想融入到教材內(nèi)容的基本概念、定理中去。比如在講解導(dǎo)數(shù)的概念過程中，結(jié)合學(xué)生們所熟知的物體的自由落體運(yùn)動(dòng)，這是位移相對(duì)于時(shí)間的變化率問題。這就是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，從實(shí)際背景當(dāng)中提煉出來的，能夠更好的幫助學(xué)生們理解導(dǎo)數(shù)的概念問題。在講解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理時(shí)，以往的學(xué)生都會(huì)覺得理論性太強(qiáng)而理解不到位，我們可以結(jié)合“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”這一數(shù)學(xué)模型進(jìn)行講解。剛開始接觸數(shù)學(xué)建模，學(xué)生們想不到這個(gè)事件與數(shù)學(xué)問題有何聯(lián)系，我們教師可以慢慢對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，將思路打開，用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來。利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性，用θ(對(duì)角線與力軸的夾角)表示椅子的位置，椅腳與地面的距離為θ的函數(shù)，當(dāng)函數(shù)為0時(shí)，就是椅子四只腳著地的時(shí)候。分別將兩個(gè)對(duì)腳與地面距離之和設(shè)為f(θ),g(θ)，由于地面高度是連續(xù)變化的，因此f(θ),g(θ)是連續(xù)函數(shù)，由于椅子在任意位置至少三只腳著地，故對(duì)任意θ，f(θ),g(θ)至少一個(gè)為0。分析得出，這個(gè)問題就可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即已知f(θ),g(θ)是連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意θ，f(θ)·g(θ)=0且g(0)=0,f(0)>0。證明：存在θ0，使f(θ0)g(θ0)=0[1]。只要將這個(gè)數(shù)學(xué)問題解決，就可以很好的完成這個(gè)實(shí)際問題的解答。通過這樣一系列的實(shí)際問題的滲透與解答，讓學(xué)生們逐步領(lǐng)悟到實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題的結(jié)合點(diǎn)，漸漸提高學(xué)生們數(shù)學(xué)建模的能力與對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

由于學(xué)時(shí)有限，想要在每個(gè)概念、定理、公式的學(xué)習(xí)當(dāng)中都加上一個(gè)模型的實(shí)例，是不現(xiàn)實(shí)的。我們可以選擇以章節(jié)為單位，可以在每一章結(jié)束時(shí)，選擇一個(gè)有代表性的，與本章內(nèi)容能結(jié)合上的案例來進(jìn)行分析，比如在微分方程這一章的習(xí)題課時(shí)，就可以給同學(xué)們簡(jiǎn)單講解生物增長模型。例如：小樹剛栽下去的時(shí)候長得比較慢，漸漸地 越長越快，但長到某一高度后，它的生長速度趨于穩(wěn)定，然后再慢慢降下來。這一現(xiàn)象很具有普遍性。我們可以根據(jù)所學(xué)內(nèi)容，針對(duì)這一現(xiàn)象，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。通過對(duì)實(shí)際情況的分析，啟發(fā)學(xué)生們動(dòng)腦思考，一般都能想到樹的生長速度與它目前的高度成正比，但這并不符合生長初期和后期的規(guī)律；但如果假設(shè)樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差，則又明顯不符合中間一段的生長過程。我們假定它的生長速度既與目前的高度,又與最大高度與目前高度之差成正比。這樣我們可以設(shè)h(t)表示t時(shí)刻的樹的高度，顯然，h(t)連續(xù)可微(由于樹是連續(xù)生長的)，Hm為樹生長的最大高度，則有

其中k>0是比例常數(shù)[1]。顯然，它是可分離變量的一階微分方程，對(duì)于這個(gè)方程的求解，恰好是本章我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容之一，帶領(lǐng)學(xué)生們求解模型的同時(shí)，也可將這一章的內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)。

通過這種改進(jìn)之后的教學(xué)手段，結(jié)合實(shí)際問題的案例，可以成功的將數(shù)學(xué)建模的思想融入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中，不但能夠激發(fā)了學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以調(diào)動(dòng)了學(xué)生們的積極性，令他們善于動(dòng)腦，勇于展開聯(lián)想，逐漸學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析、解決實(shí)際問題，找到他們各自專業(yè)與數(shù)學(xué)之間的結(jié)合點(diǎn)，這樣便可以更快更好的解決實(shí)際問題。

三、開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程

長期以來，人們都誤以為只有物理、化學(xué)、生物等才有實(shí)驗(yàn)課，而數(shù)學(xué)就是在紙上進(jìn)行的推理、演算。其實(shí)，一直以來，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都存在于我們的生活和學(xué)習(xí)當(dāng)中。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，計(jì)算工具與數(shù)學(xué)計(jì)算軟件也得到了極大的發(fā)展。而在高職高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，想要將數(shù)學(xué)建模融入其中，則穿插數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，是必不可少的。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，由于計(jì)算機(jī)的引入和數(shù)學(xué)軟件包的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)的思想與方法注入了更多、更廣泛的內(nèi)容，使學(xué)生擺脫了繁重的乏味的數(shù)學(xué)演算和數(shù)值計(jì)算，促進(jìn)了數(shù)學(xué)同其他學(xué)科之間的結(jié)合，從而使學(xué)生有時(shí)間去做更多的創(chuàng)造性工作。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程開展的目的，是為了使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本思想和方法，從實(shí)際問題出發(fā)，通過數(shù)學(xué)思想，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，借助數(shù)學(xué)軟件，自己動(dòng)手，真正體驗(yàn)到解決問題的過程，從實(shí)驗(yàn)中去學(xué)習(xí)，探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。進(jìn)而用數(shù)學(xué)的結(jié)論，去解讀實(shí)際問題。當(dāng)然，有些學(xué)生們會(huì)錯(cuò)誤的認(rèn)為，學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)軟件，就可以完全借助軟件去完成題目的求解，其實(shí)不論是畫復(fù)雜的函數(shù)圖像或是用數(shù)學(xué)軟件求導(dǎo)數(shù)求積分等，都可能出現(xiàn)錯(cuò)誤或者繁瑣費(fèi)時(shí)的情況，數(shù)學(xué)軟件是有局限性的，有時(shí)是需要我們?nèi)斯じ深A(yù)之后，才能更加準(zhǔn)確省時(shí)省力的解決問題的。所以，學(xué)習(xí)豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，才是應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件解決數(shù)學(xué)問題的強(qiáng)大后盾，強(qiáng)大的數(shù)學(xué)理論支撐，是必不可少的[5-8]。

目前，我們?cè)诟呗殧?shù)學(xué)教學(xué)中開展同步的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，使學(xué)生多做嘗試，勇于創(chuàng)新，并且對(duì)于教學(xué)目的和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了實(shí)踐性的探索，主要是在課程中令學(xué)生們了解并掌握簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)軟件，如Maple、Mathcad軟件等，用以解決比較復(fù)雜、冗繁的數(shù)值計(jì)算問題，也能夠直觀的處理三維空間的幾何問題。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課作為數(shù)學(xué)建模的預(yù)備課程，強(qiáng)化了學(xué)生的計(jì)算機(jī)操作能力、數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用能力，培養(yǎng)了學(xué)生世家你探索精神和用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，為學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽打下了良好的基礎(chǔ)[9]。自2014年以來，我校多次組隊(duì)參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，先后多次獲得國家一等獎(jiǎng)，吉林省一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的優(yōu)異成績(jī)。

四、結(jié) 語

中國高職教育多年快速發(fā)展的軌跡如今已進(jìn)入歷史的“拐點(diǎn)”，推進(jìn)高職持續(xù)健康的發(fā)展，就是要以人為本，堅(jiān)持全面、協(xié)調(diào)的發(fā)展。而高職數(shù)學(xué)的改革，特別是將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思想方法融入高職數(shù)學(xué)的教改實(shí)踐，無疑會(huì)成為促進(jìn)全面協(xié)調(diào)可持續(xù)發(fā)展的素質(zhì)教育的重要載體，必定能為高等職業(yè)教育的又好又快發(fā)展發(fā)揮積極的作用[10]。

[1] 張秀蘭，林峰.數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2013.

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