賈愛(ài)霞 張莉

【摘要】 從弱正則*-半群S的冪等元集、投影元的集合和正則*-同余等角度討論了弱正則*-半群S與S的射影集S*之間的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】 弱正則*-半群;子半群;射影集

一、預(yù)備知識(shí)

設(shè)S是半群，如果在S上有一元運(yùn)算*：S→S，xMT ExtraaA@x*，滿足如下三條：

（1）（x∈S）（x*）*=x;

（2）（x∈S）xx*x=x;

（3）（x，y∈S）（xx*yy*）*=yy*xx*.

則稱S為弱正則*-半群[1]，記為（S，*）.集合S*={x*：x∈S}稱為（S，*）的射影集.

稱（S，*）的元素x為冪等元，如果x2=x.用E（S）表示（S，*）的全體冪等元構(gòu)成的集合.稱（S，*）的冪等元e為S的投影元，如果e*=e.用P（S）表示（S，*）的全體投影元構(gòu)成的集合.

稱半群S上的同余ρ為*-同余，如果對(duì)任意的a，b∈S， （a，b）∈ρ（a*，b*）∈ρ.對(duì)于半群S上的*-同余ρ，稱集合Pkerρ={a∈S：e∈P（S），（a，e）∈ρ}={eρ：e∈P（S）}.

稱半群S上的*-同余ρ為正則*-同余，如果 S ρ 是一個(gè)正則*-半群.

正則*-半群是一類很重要的半群，許多半群研究人員從各種角度對(duì)正則*-半群進(jìn)行了研究[2-3].弱正則*-半群是比正則*-半群更廣的一類正則半群[4-5].本文討論了弱正則*-半群（S，*）的射影集S*={x*：x∈S}的一些基本性質(zhì)，并從冪等元集、投影元的集合和正則*-同余等角度討論了弱正則*-半群（S，*）與其射影集S*之間的關(guān)系.

未說(shuō)明的符號(hào)與術(shù)語(yǔ)同文獻(xiàn)[6].

二、弱正則*-半群S與其射影集S*之間的關(guān)系

引理1? 設(shè)S是弱正則*-半群，P1={xx*：x∈S}，P2={x*x：x∈S}，則P1=P2=P（S）.

證明? 對(duì)任意x∈S，有（xx*）（xx*）=xx*，

（xx*）*=（（xx*）（xx*））*=（xx*）（xx*）=xx*，

因而，xx*∈P（S），說(shuō)明P1P（S）.

反過(guò)來(lái)，對(duì)任意a∈P（S），有a=aa=aa*，說(shuō)明P（S）P1.所以P1=P（S）.

同理可證P2=P（S）.因此，P1=P2=P（S）.

引理2? S*={x*：x∈S}為弱正則*-半群S上的一個(gè)正則*-子半群.

為此，我們稱S*是弱正則*-半群S的射影子半群.

引理3 [7] 設(shè)ρ是正則S-半群S上的A={Ai：i∈I}-同余，并設(shè)A={Ai：i∈I}為ρ的投影核.如果σ是S上的一個(gè)Ai-同余，且每個(gè)Ai是一個(gè)σ-類，則σ=ρ.

引理4? 設(shè)ρ，σ是弱正則S-半群S上的兩個(gè)ρ=σPkerρ=Pkerσ.-同余，則ρ=σPkerρ=Pkerσ.

證明? 必要性顯然成立.下證充分性.

設(shè)Pkerρ=Pkerσ.則對(duì)任意q∈P（S），qρ=qσ.對(duì)任意（x，y）∈σ，因?yàn)棣沂牵▁x*，yx*）∈σ.-同余，所以（xx*，yx*）∈σ.

又因?yàn)閤x*∈P（S），所以（yx*）σ=（xx*）σ=（xx*）ρ，

即有（xx*，yx*）∈ρ.類似可證（y*x，y*y）∈ρ.因此，

x=xx*xρyx*x=yy*yx*xρyy*xx*x=yy*xρyy*y=y.

至此，我們就得到了σρ.同理可證ρσ.因而，ρ=σ.

定理1? 設(shè)S*是弱正則S-半群S的射影子半群，并將S和S*上的冪等元集、投影元的集合分別記作E（S）、P（S）和E（S*）、P（S*）.設(shè)ρ，σ是弱正則S-半群S上的正則ρ|S*-同余，則ρ|S*，σ|S*為ρ，σ在S*上的限制.于是有下列各項(xiàng)成立：

（1）E（S*）E（S）;

（2）P（S）=P（S*）;

（3）ρ=σρ|S*=σ|S*.

證明（1）和（2）顯然成立，下面證明（3）.

必要性顯然成立，只需證充分性.設(shè)ρ|S*=σ|S*，由引理2可知S*是一個(gè)正則ρ|S*-半群，從而ρ|S*和σ|S*都是正則S*-半群S*上的P（S）=P（S*）-同余，且P（S）=P（S*）.根據(jù)引理3，可以知道在正則S*-半群S*上有

Pkerρ|S*=Pkerσ|S*，即（q∈P（S））qρ|S*=qσ|S*.

對(duì)任意q∈P（S），令

Bq={a∈S-S*：（a，q）∈ρ}∪qρ|S*，

則Pkerρ={Bq：q∈P（S）}.

下證Pkerσ={Bq：q∈P（S）}.

任取q∈P（S），則對(duì)任意的a∈Bq，都有a*，（a*）*∈qρ|S*=qσ|S*.又因?yàn)棣沂荢上的正則（a，（a*）*）∈σ-同余，所以（a，（a*）*）∈σ，進(jìn)而a∈qσ，這說(shuō)明Bqqσ.

反過(guò)來(lái)，對(duì)任意的b∈qσ，若b∈S*，則b∈qρ|S*Bq;若b∈S-S*，則由（b，q）∈σ可得（（b*）*，q）∈σ，從而（（b*）*，q）∈σ|S*=ρ|S*，這說(shuō)明（b*）*∈qρ|S*qρ，因而，b∈qρ=Bq，所以有qσBq.

綜上可得qσ=Bq，這就證明了Pkerσ={Bq：q∈P（S）}=Pkerρ.根據(jù)引理4可知ρ=σ.

【參考文獻(xiàn)】

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[4]芮昌祥，陳建飛.基本的弱正則*-半群的結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000（3）：471-480.

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[6]HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory[M].Oxford：Oxford Univ Press，1995：45-200.

[7]IMAOKA T.*-Congruences on regular *-semigroups[J].Semigroup Forum，1981（23）：321-326.