賈炳麟 賈冬婷

最新《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2018年1月第1版）中明確提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析;2017全國(guó)卷高考多渠道滲透優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀.隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施，高考命題必將以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，推動(dòng)人才培養(yǎng)模式的改革創(chuàng)新.

一、弘揚(yáng)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，考查人文素養(yǎng)

中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化博大精深和源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，數(shù)學(xué)高考命題注重傳統(tǒng)文化在現(xiàn)實(shí)中的創(chuàng)造性和創(chuàng)新性發(fā)展，立德樹人，激勵(lì)學(xué)生民族自豪感和創(chuàng)新精神.

例1?? （1）（2017·全國(guó)卷Ⅰ）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（? ）.

A.1盞

B.3盞

C.5盞

D.9盞

（2）公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.右圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出n的值為 .（參考數(shù)據(jù)sin15°≈0.258 8，sin7.5°≈0.130 5， 3 ≈1.732）

解析? （1）設(shè)燈塔的頂層有x盞燈，則各層的燈數(shù)an構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列{an}.

依題意，得 x（1-27） 1-2 =381，解x=3.B項(xiàng)正確.

（2）n=6，S= 1 2 ×6sin60°= 3 3? 2 ≈2.598<3.10，執(zhí)行循環(huán).

n=12，S= 1 2 ×12sin30°=3<3.10，執(zhí)行循環(huán).

n=24，S= 1 2 ×24sin15°=3.1056>3.10，滿足條件，

∴輸出n的值為24.

核心素養(yǎng)探究：本例從古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》引入，通過詩(shī)歌提出數(shù)學(xué)問題，闡明試題的數(shù)學(xué)史背景，考查等比數(shù)列.全國(guó)I卷第2題以我國(guó)太極圖中的陰陽(yáng)魚為原型，設(shè)計(jì)幾何概型的概率計(jì)算問題.浙江卷第11題以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境.這些試題傳播了正能量，有利于提升考生人文素養(yǎng)，傳承民族精神，試題的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出本身.

二、創(chuàng)設(shè)情境，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是最核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是形成理性思維的重要基礎(chǔ);邏輯推理是根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)論，提出或者驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題的思維過程.數(shù)學(xué)研究對(duì)象的確立依賴于數(shù)學(xué)抽象，而數(shù)學(xué)內(nèi)部自身的發(fā)展依賴于數(shù)學(xué)推理.

例2?? （1）（2017·全國(guó)卷Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī).老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，則（? ）.

A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

（2）（2017·全國(guó)卷Ⅰ）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來是20，21，22，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該軟件的激活碼是（? ）.

A.440 B.330 C.220 D.110

解析? （1）由題意知，“甲看乙、丙的成績(jī)，不知道自己的成績(jī)”說明乙、丙兩人一個(gè)是優(yōu)秀一個(gè)良好，因此，甲、丁兩人一個(gè)優(yōu)秀一個(gè)良好.則乙看了丙的成績(jī)，可知道自己的成績(jī)，丁看了甲的成績(jī)，也可以知道自己的成績(jī)，選項(xiàng)D正確.

（2）設(shè)第一項(xiàng)為第1組，接下來的兩項(xiàng)為第2組，再接下來的3項(xiàng)為第3組，依次類推，則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為 n（n+1） 2 .

由題意知，N>100，令 n（n+1） 2 >100，所以n≥14，n∈ N *， 即N出現(xiàn)在第13組之后.第n組的所有項(xiàng)的和為 1-2n 1-2 = 2n-1，前n組的所有項(xiàng)的和為 2（1-2n） 1-2 -n=2n-n-2.

設(shè)滿足條件的N在第k+1（k∈ N *，k≥13）組，且第N 項(xiàng)為第k+1組的第t（t∈ N *）個(gè)數(shù)，第k+1組的前t項(xiàng)的和2t-1應(yīng)與-2-k互為相反數(shù)，即2t-1=k+2，所以2t=k+3，t=log2（k+3）.

所以當(dāng)t=4，k=13時(shí)，N= 13×（13+1） 2 +4=95<100，不滿足題意;當(dāng)t=5，k=29時(shí)，N= 29×（29+1） 2 +4=440，當(dāng)t>5時(shí)，N>440，選A.

核心素養(yǎng)探究：考題1對(duì)考生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著不同層次的要求，求解的關(guān)鍵是由條件信息推理判斷乙、丙中一人優(yōu)秀，一人良好，從而甲、丁中一人優(yōu)秀，另一人良好.考題2以“新知識(shí)開幕”，在創(chuàng)設(shè)情境中考查等差、等比數(shù)列的求和公式，融入“和”與“通項(xiàng)”的關(guān)系，與生產(chǎn)生活、社會(huì)熱點(diǎn)相結(jié)合，演化新問題，考查考生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、應(yīng)用創(chuàng)新，考查數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

應(yīng)用性和創(chuàng)新性相結(jié)合是歷年高考靚麗的風(fēng)景線，全國(guó)卷概率與統(tǒng)計(jì)解答題尤為明顯，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.試題新穎靈活又不太難，廣泛又有科學(xué)尺度地考查數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)建模解決問題的能力.

例3?? （2017·全國(guó)卷Ⅱ）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如下：

（1）記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計(jì)A的概率;

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99 % 的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.

解? 解題過程（略），請(qǐng)讀者完成.

核心素養(yǎng)探究：本題以現(xiàn)實(shí)生活中的水產(chǎn)品養(yǎng)殖方法作為創(chuàng)新背景，試題的第（1）問是根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)事件的概率，第（2）問是根據(jù)整理的數(shù)據(jù)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，第（3）問根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，比較兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣.有效地考查學(xué)生閱讀理解能力與運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力，突顯數(shù)學(xué)直觀想象、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

由此看出，數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)要立足狠抓基礎(chǔ)，回歸教材，重視教材“閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)”的挖掘，從中感悟到數(shù)學(xué)文化與高中相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的密切聯(lián)系;認(rèn)真分析高考數(shù)學(xué)試題，明確最新“考情”，發(fā)揮高考母題的潛能;注重通性通法，加強(qiáng)應(yīng)用性問題、創(chuàng)新性問題，滲透數(shù)學(xué)文化試題的訓(xùn)練，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).