劉會芳

矩形是平面幾何中的基本圖形，它所蘊含的性質(zhì)應(yīng)用廣泛，本文介紹矩形的一個性質(zhì)在解題中的應(yīng)用.

一、矩形性質(zhì)

性質(zhì)? 點P是矩形ABCD所在平面上任意一點，則有PA2+PC2=PD2+PB2.

證明1? 如圖1所示，設(shè)AC，BD交于點K，連接PK，

∵ PA 2+PC 2 2 =? PA +PC? 2? 2+? PA -PC? 2? 2=PK 2+AK 2，

PD 2+PB 2 2 =? PD +PB? 2? 2+? PD -PB? 2? 2=PK 2+BK 2.

∵AK 2=BK 2，∴PA2+PC2=PD2+PB2，命題得證.

證明2? 如圖2所示，以矩形ABCD的中心為原點，平行于兩組對邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，不妨設(shè)D（m，n），則A（-m，n），B（-m，-n），C（m，-n），設(shè)P（x，y），有PA2+PC2=（x+m）2+（y-n）2+（x-m）2+（y+n）2，同時，PB2+PD2=（x+m）2+（y+n）2+（x-m）2+（y-n）2，故PA2+PC2=PD2+PB2.

二、試題巧解

例1?? （2014年全國高考廣東卷理科第20題）已知橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的一個焦點為（ 5 ，0），離心率為? 5? 3 .（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線互相垂直，求點P的軌跡方程.

解析? 由（1）易知，橢圓C的方程為 x2 9 + y2 4 =1，設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點，過點P的橢圓的兩條切線分別為PA，PB（A，B為切點）且PA⊥PB，過F2作關(guān)于PB，PA的對稱點F2′，F(xiàn)2″，連接圖3各線段， 由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，F(xiàn)1F2′=F1B+BF2′=F1B+BF2=2a，從而OG=a=3， 同理可得，F(xiàn)1F2″=F1A+AF2″=F1A+AF2=2a，從而OH=a=3.又四邊形PGF2H為矩形，有OP2+OF22=OH2+OG2化簡有x2+y2=13，即為點P的軌跡方程.

例2?? （2013年高考重慶卷理科第10題）在平面上，AB1 ⊥AB2 ，|OB1 |=|OB2 |=1，AP =AB1 +AB2 ，若|OP |< 1 2 ，則|OA |的取值范圍是（? ）.

A. 0，? 5? 2

B.?? 5? 2 ，? 7? 2

C.?? 5? 2 ， 2

D.?? 7? 2 ， 2

分析? 如圖4所示，易知AB1PB2為矩形，

則OA 2+OP 2=OB1 2+OB2 2=2，又0≤|OP |< 1 2 ，

故? 7? 2 <|OA |≤ 2 ，選D.

例3?? （2012年高考江西卷理科第7題）在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P是線段CD的中點，則 |PA|2+|PB|2 |PC|2 =（ ）.

A.2

B.4

C.5

D.10

分析? 可將直角三角形ABC補形成如圖5所示的矩形ACBM，由上述矩形性質(zhì)可得PA2+PB2=PC2+PM2，∴ |PA|2+|PB|2 |PC|2 = |PC|2+|PM|2 |PC|2 = |PC|2+（3|PC|）2 |PC|2 =10.

例4?? 已知向量 a ， b ， c 滿足| a |=| b |=2，| c |=1，（ a - c ）·（ b - c ）=0，則| a - b |的取值范圍是 .

解析? 如圖6所示，設(shè)OA = a ，OB = b ，OC = c ，則

CA = a - c ，CB = b - c ，以線段CA，CB為鄰邊，構(gòu)造矩形CADB，由矩形性質(zhì)知：OD2+OC2=OA2+OB2，解得OD= 7 ，因為| a - b |=|AB |=|CD |，而OD-OC≤|CD |≤OD+OC，所以， 7 -1≤| a - b |≤ 7 +1.

例5?? 設(shè)非零向量 a ， b 滿足| a |=1，| a +2 b |=1，則| a + b |+| b |的取值范圍是 .

解析? 由 | a |=1，| a +2 b |=1，? 知|（ a + b ）+ b |=|（ a + b ）- b |=1，故當(dāng)| b |≠0時，以 a + b ， b 為鄰邊的平行四邊形為矩形，所以| a + b |2+| b |2=1，所以 | a + b |+| b | 2 ≤? | a + b |2+| b |2 2? =? 2? 2 ，所以| a + b |2+| b |2≤ 2 .又因為| a + b |+| b |≥| a + b - b |=| a |=1，所以1≤| a + b |+| b |≤ 2 .

三、解題反思

運用矩形所呈現(xiàn)出的優(yōu)美數(shù)量關(guān)系解題，大題小做，既揭示了數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，又簡潔明了.可以說，這種方法以小見大，最終達(dá)到“四兩撥千斤”的瀟灑境界.