李宗先

【摘要】 在圓的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會遇到一些和圓有關(guān)的難題，如果適當(dāng)根據(jù)需要來添加一些輔助線，就會使問題迎刃而解.下面就以幾道例題為大家介紹幾種常見的圓的輔助線的作法.

【關(guān)鍵詞】 圓;輔助線作法

一、連半徑——構(gòu)造等腰三角形

方法歸納：作圓的半徑，利用“同圓的半徑相等”構(gòu)造等腰三角形，這樣就把有關(guān)線段或角的問題轉(zhuǎn)化到三角形中來解答.

例1?? 如圖所示，已知AC是⊙O的直徑，點B在圓周上（不與A，C重合），點D在AC的延長線上，連接BD交⊙O于點E.若∠AOB=3∠D.求證：DE=OB.

證明? 連接EO.

∵∠AOB=∠D+∠B，∠AOB=3∠D，

∴∠B=2∠D.

∵OB=OE，∴∠OEB=∠B.

∵∠OEB=∠DOE+∠D，

∴∠DOE=∠D.∴DE=OE.

∵OE=OB，∴DE=OB.

二、半徑與弦長計算，弦心距來中間站

方法歸納：在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常過圓心作弦的垂線段，再連接半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理進行計算.

例2?? 如圖所示，⊙O的半徑是3，點P是弦AB延長線上的一點，連接OP，若OP=4，∠APO=30°，則弦AB的長是2 5 .

三、見到直徑——構(gòu)造直徑所對的圓周角

方法歸納：圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角.構(gòu)造直徑所對的圓周角，便可充分利用這一性質(zhì)，這也是圓中常用的輔助線作法.

例3?? 如圖所示，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點E.∠ACD=60°，∠ADC=50°，求∠CEB的度數(shù).

解? 連接BD.

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°.

又∵∠ADC=50°，

∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=40°.

∵∠CDB與∠CAB是同弧所對的圓周角，

∴∠CDB=∠CAB=40°.

∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=40°+60°=100°.

四、有圓的切線時，連接過切點的半徑

方法歸納：已知圓的切線時，常把切點與圓心連接起來，得過切點的半徑與切線垂直，從而構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題.

例4?? 如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F.切點為G，連接AG交CD于K.求證：KE=GE.

證明? 連接OG.

∵FE切⊙O于G，

∴∠OGE=90°，∠OGA+∠AGE=90°.

∵CD⊥AB，

∴∠OAK+∠AKH=90°.

又∵∠AKH=∠GKE，∴∠OAK+∠GKE=90°.

∵OG=OA，∴∠OGA=∠OAG.

∴∠KGE=∠GKE，∴KE=GE.

五、“連半徑證垂直”與“作垂直證半徑”——判定直線與圓相切

方法歸納：證明一條直線是圓的切線.

① 當(dāng)直線與圓有公共點時，只需“連半徑、證垂直”即可;

② 當(dāng)已知條件中沒有指出圓與直線有公共點時，常運用“d=r”進行判斷，輔助線的作法是過圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長等于半徑.

例5?? 如圖所示，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD=AB，AD，BC的延長線相交于點E.

（1）求證：AD是半圓O的切線;

（2）連接CD，求證：∠BAD=2∠CDE;

（3）若∠CDE=27°，OB=2，求BD 的長.

解? （1）證明：連接OD，BD.

∵AB是半圓O的切線，

∴AB⊥BC，即∠ABO=90°.

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB.

∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO.

∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO.

∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圓O的切線.

（2）證明：連接AO.∵AB，AD是半圓O的切線，

∴∠BAD=2∠BAO=2∠DAO.

又∵AB=AD，∴AO⊥BD.

∵∠BDC=90°，∴BD⊥DC，∴AO∥DC，

∴∠DAO=∠CDE，∴∠BAD=2∠CDE.

（3）∵BC是半圓O的直徑，∴∠BDC=90°.

∵AD是半圓O的切線，∴∠ODE=90°.

∴∠BDO=∠CDE=27°.

∴∠BOD=180°-∠DBO-∠BDO=180°-27°-27°=126°.

∵OB=2，

∴BD = 126×π×2 180 = 7 5 π.

上面的幾道例題中總結(jié)了在圓的學(xué)習(xí)中幾種常見的輔助線.通過這幾道例題，大家對圓的幾種常見輔助線有了一定的了解.在解決圓的實際問題中要因題而異，結(jié)合題意，選擇適當(dāng)?shù)妮o助線，通常就能解決問題.