盧信

【摘要】 分類討論思想在等腰三角形的學習中滲透的很深，往往一有等腰三角形的題目都會出現(xiàn)分類討論思想的影子，探究一些常見的有關(guān)等腰三角形中分類思想的例題，總結(jié)“對角進行分類討論”“對邊進行分類討論”“對點進行分類討論”“分類討論的突破口作用”這4種等腰三角形中分類討論的基本方法和思路，提高解決此類問題的準確性.

【關(guān)鍵詞】 等腰三角形;分類討論;邊;角;坐標系;方程

分類討論思想是初中數(shù)學學習中的重要思想，在等腰三角形中更是把分類思想體現(xiàn)得活靈活現(xiàn).有關(guān)等腰三角形的問題涉及與邊、角有關(guān)的問題，還有圖形面積有關(guān)的問題，題目難度不大但十分廣泛.下面以幾種不同的情形進行分析探討，進而說明等腰三角形中的分類討論思想，從而提高學生解題的完整性和正確性.

一、有關(guān)角的分類情形——對角進行分類討論

對一個等腰三角形，若條件中并沒有確定頂角或底角時，應注意分情況討論，先確定這個已知角是頂角還是底角，再運用三角形內(nèi)角和定理求解.

（一）已知一個等腰三角形的內(nèi)角的情形

分三種情況：① 已知內(nèi)角是銳角時，比如，一個內(nèi)角是80°角，它既可以是底角，也可以頂角.② 已知一個內(nèi)角是直角時，即90°，它只能是頂角.③ 已知一個內(nèi)角是鈍角時，比如，100°，它只能是頂角不能是底角.

例1?? 已知等腰三角形的一個內(nèi)角為75°，則其頂角為（? ）.

A.30°

B.75°

C.105°

D.30°或75°

（二）已知一個等腰三角形的外角的情形

分二種情況：① 此外角是底角的補角;② 此外角是頂角的補角.

例2?? 若等腰三角形的一個外角為100°，則其頂角為 _______.

因此，涉及等腰三角形的內(nèi)角或者外角的問題的時候，注意看清題目中這個內(nèi)角是頂角還是底角，這個外角是頂角的補角還是底角的補角，在條件不清或者沒有說明的情況下，注意分類討論.

二、有關(guān)邊的分類情形——對邊進行分類討論

（一）涉及等腰三角形中兩邊長的情形

等腰三角形有兩腰相等，在沒說明哪兩條邊相等的前提下，要分類討論.

例3?? 如果等腰三角形兩邊長是5 cm和3 cm，那么這個等腰三角形的周長是_______ .

例4?? 一個等腰三角形的兩邊長分別是2 cm和5 cm，它的周長是_______ .

（二）涉及等腰三角形的中線的問題

等腰三角形的中線有3條，底邊上的中線把等腰三角形分成全等的兩個直角三角形，涉及了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì).腰上的中線把等腰三角形分成不全等的兩個三角形，涉及此類問題的時候，考慮是否出現(xiàn)分類討論的情況.

例5?? 若等腰三角形一腰上的中線分周長為6 cm和9 cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長.

（三）涉及等腰三角形的高線的問題

等腰三角形的高線有3條，底邊上的高線把等腰三角形分成全等的兩個直角三角形，涉及了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，如果是腰上的高線，涉及等腰三角形是銳角還是鈍角三角形，因此，出現(xiàn)內(nèi)高和外高.

例6?? 已知一邊長為10 cm的等腰三角形面積為30 cm2，求出這個等腰三角形的另兩條邊長.

（四）涉及等腰三角形的中垂線的問題

等腰三角形的中垂線有三條，底邊上的中垂線是等腰三角形的對稱軸，里面涉及了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，但是腰上的中垂線有可能需要分類討論.

例7?? 在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，則底角∠B= _______.

三、坐標系中的等腰三角形——對點進行分類討論

再精彩的東西也需要背景，等腰三角形有時候會賦予“坐標系”這樣的背景，利用背景的力量使題目變得豐富多彩.

例8?? 如圖所示，平面直角坐標系上的兩點A的坐標是（1，0），B的坐標是（0，-1）.若在x軸上找一點C，使A，B，C三點構(gòu)成等腰三角形，滿足條件的點C有幾個？

四、方程問題中等腰三角形——分類討論的突破口作用

等腰三角形與方程問題的結(jié)合，使題目變得精彩紛呈，變得有血有肉，也更能體會數(shù)學的魅力，當然，也涉及分類思想這一數(shù)學靈魂.

例9?? 已知△ABC的兩邊AB，AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=的兩個實數(shù)根，第三邊BC長為5.

（1）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

（2）k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長.

總之，在眾多異彩紛呈的有關(guān)等腰三角形的數(shù)學題海中，分類討論思想體現(xiàn)得尤為明顯.教學中除了常規(guī)的正向思考，還應當引導學生全方位、多角度地觀察圖形特點，深入細致地思考，獲取解決問題的多種途徑和結(jié)果，從而提高學生思維的發(fā)散性、靈活性，養(yǎng)成學生全面考慮問題的好習慣，使學生在數(shù)學學習中漸入佳境.學生在今后的學習過程中，滲透分類思想，使學習變得“有血有肉”，做個有數(shù)學思想的人.

【參考文獻】

[1]李貴生.等腰三角形中的分類討論思想[J].初中生之友，2012（26）：22-24.

[2]范良火.義務教育教科書·數(shù)學[M].杭州：浙江教育出版社，2012.