范叔旺

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，沒有問題就沒有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是以不斷地提出問題，并解決問題的方式來獲取新知識(shí)、發(fā)展新思維.教師在習(xí)題的教學(xué)中，理應(yīng)科學(xué)、合理地創(chuàng)設(shè)一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生探究問題的解決過程，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的目的不僅是讓學(xué)生掌握已學(xué)的公理、定理、定義，更重要的是掌握科學(xué)的思維方式、方法.培養(yǎng)和拓展學(xué)生發(fā)散思維能力，對(duì)提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著舉足輕重的作用.怎么樣來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維的能力呢？概括地說，要為學(xué)生提供展示發(fā)散性思維的機(jī)會(huì)，安排能激勵(lì)學(xué)生發(fā)散性思維的環(huán)境，逐步培養(yǎng)學(xué)生廣范圍、多角度地思考問題和解決問題的習(xí)慣.下面結(jié)合實(shí)例，談?wù)勛髡咴跀?shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的一些做法.

一、通過經(jīng)典例題的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的思維的變通性

對(duì)例題的變式的目的是對(duì)題目中所圍繞的知識(shí)進(jìn)行挖掘和辨析，從而讓學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延.變式的后續(xù)衍生就是對(duì)知識(shí)的發(fā)散，繼而產(chǎn)生探究的欲望.

比如，在人教版必修5不等式一章對(duì)基本不等式的學(xué)習(xí)中，就有必要安排變式教學(xué).

例1?? 若x>0，求f（x）=x+ 1 x 的最小值.

變式1：若x<0，求f（x）=x+ 1 x 的最大值.

變式2：若x>3，求f（x）=x+ 1 x-3 的最小值.

變式3：若x∈（0，π），求f（x）=sinx+ 4 sinx 的最小值.

教師在改造例1的時(shí)候，就是要學(xué)生在利用基本不等式時(shí)注意“一正，二定，三等號(hào)”.三個(gè)變式很有針對(duì)性地體現(xiàn)了教學(xué)目的.通過變式，讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)了基本不等式的應(yīng)用條件和認(rèn)識(shí)深度.

在把握好學(xué)情，符合教學(xué)需求的前提下，好的變式題的設(shè)計(jì)，最終是從問題走向問題，使知識(shí)的寬度和深度得到發(fā)展，使知識(shí)的內(nèi)涵更加豐富，應(yīng)用方式更加靈活.

二、通過一題多解的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

試題常常觸及的是某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的部分內(nèi)容，或不同知識(shí)的同一個(gè)方面，學(xué)生解題的思路也不盡相同.我們常常通過一題多解的方法，把相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)有機(jī)地進(jìn)行整合，以點(diǎn)帶面，形成一個(gè)經(jīng)緯交織、融會(huì)貫通的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生全面、完整地理解知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系和發(fā)展，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，既拓展了思維空間，又培養(yǎng)思維能力，使思維活動(dòng)得到極大的發(fā)散，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性的目的.

例2?? （2015年5月南通、揚(yáng)州、泰州、淮安四市高三第二次調(diào)研考試第11題）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).以A為圓心，AE為半徑，作弧交AD于點(diǎn)F.若P為劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn).則PC ·PD 的最小值為 .

第一類方法：坐標(biāo)法.以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸，設(shè)P（x，y），則x2+y2=1（0≤x≤1，0≤y≤1），則PC ·PD =5-2x-4y，問題轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)最小值，筆者展示學(xué)生的3種不同的處理方法.

解法1? （不等式法）因?yàn)椋▁+2y）2≤（1+22）（x2+y2）=5，所以PC ·PD ≥5-2 5 ，當(dāng)P?? 5? 5 ， 2 5? 5? 時(shí)取等號(hào).

解法2? （線性規(guī)劃法）令z=5-2x-4y，則直線l：2x+4y+z-5=0，將直線l0：x+2y=0平移至與圓弧EPF相切時(shí)，此時(shí)z取最小值，即d= |z-5|? 22+42? =1，所以z=5+2 5 （舍去），z=5-2 5 ，即（PC ·PD ）min=5-2 5 .此外，還有 學(xué)生采用參數(shù)處理，解題效率較高，筆者也讓學(xué)生進(jìn)行展示.

解法3? （參數(shù)法）設(shè)P（cosθ，sinθ），0≤θ≤ π 2 ，則PC ·PD =5-2cosθ-4sinθ

=5-2 5 sin（θ+φ）≥5-2 5?? tanφ= 1 2 ，φ∈ 0， π 2?? .

第二類方法：基底法.展示學(xué)生3種不同的解法.

解法4? 以AB ，AD 為基底，PC ·PD =（AC -AP ）·（AD -AP ）=5-（AP ·AC +AP ·AD ）

=5-AP ·（AC +AD ）=5-|AC +AD |cos〈AC +AD ，AP 〉≥5-2 5 （當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AC +AD =AG 上取得等號(hào)）.

解法5? 設(shè)∠PAB=θ，PC ·PD =（AD -AP ）·（AB -AP +BC ）=-2AD ·AP +4-AB ·AP +1=5-2cosθ-4sinθ（下同解法3）.

解法6? 取CD的中點(diǎn)O，連接PO，則PC ·PD =（PO +OC ）·（PO +OD ）=（PO +OC ）·（PO -OC ）=PO 2-OC 2=|PO |2-1，其中|PO |∈[ 5 -1，2]，故當(dāng)|PO |= 5 -1時(shí)，（PC ·PD ）min=5-2 5 .

由于不同學(xué)生思考問題的角度不完全一樣，因此，展示兩類方法6種解法，幫助學(xué)生建立相對(duì)完整的處理這類問題的方法體系，這樣的體系，具有導(dǎo)向作用.雖然坐標(biāo)法和基底法都是處理向量問題的通行通法，但是由于處理的方式不一樣，導(dǎo)致運(yùn)算量不同.這說明通性通法雖然思路具有較強(qiáng)的規(guī)律性，但解題效率存在著差異.因此，一題多解的實(shí)質(zhì)不在方法的羅列，而在思路的分析和方法的對(duì)比，在對(duì)比中揭示方法的優(yōu)劣，讓學(xué)生在今后的解題活動(dòng)中，有序提取解題方法，有效提高解題效率.從而也挖掘了習(xí)題的內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使不同層次的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都得到提高.

三、通過多層次思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

精心設(shè)計(jì)有層次、有坡度、要求明確的例題，逐步加深問題的難度，引發(fā)學(xué)生思維逐漸加深，促進(jìn)思考各數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

例3?? 過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作一條直線l和此拋物線相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn).則：

（1）求證：x1x2= p2 4 ，y1y2=-p2;

（2）若直線l的傾斜角為θ，求弦長(zhǎng)|AB|;

（3）求證：CF⊥DF;

（4）問 1 |AF| + 1 |BF| 是否為定值;

（5）過點(diǎn)A，B作AC，BD垂直于準(zhǔn)線于C，D，則點(diǎn)A，O，D三點(diǎn)是否共線;

（6）若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，求證：BD∥x軸.

（7）若M，N分別是線段AB和CD的中點(diǎn)，連接MN交拋物線于點(diǎn)R，則點(diǎn)R是否平分線段MN.

本題一題多問，7個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生將思維活動(dòng)走向深入，問題難度依次加大，從基本規(guī)律的應(yīng)用到綜合解題，能力要求越來越高，是培養(yǎng)學(xué)生思想能力好的題組.

一個(gè)問題的解決，并不是問題的終了，而是通過問題的演變、引申，拓寬思路、積極探究、終獲知識(shí)、發(fā)展思維.課堂以“問題串”組織教學(xué)，由一個(gè)問題出發(fā)，進(jìn)行引申與拓展，引導(dǎo)學(xué)生自己去聯(lián)想、探索，探究出某類問題的內(nèi)在規(guī)律，以培養(yǎng)學(xué)生由此及彼的思維遷移能力.因此，教師要善于設(shè)置低起點(diǎn)、小臺(tái)階式的練習(xí)，把學(xué)生的理解逐步引向深入，使數(shù)學(xué)思維能力得到提高.

四、通過課堂例題的“示錯(cuò)”與“糾錯(cuò)”訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的辯證性

所謂“示錯(cuò)”，就是在課堂上展示學(xué)生的錯(cuò)誤、煩瑣等解法，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解題中的思維誤區(qū)，自己比較計(jì)算中的“繁”與“簡(jiǎn)”，自己體驗(yàn)解題方法中的“優(yōu)”與“劣”，才能在下一次的解題中“規(guī)避”錯(cuò)誤，合理運(yùn)算.而后由學(xué)生和教師共同“糾錯(cuò)”，找出最合理的解題方法.

例4?? 已知sin α+ π 3? = 4 5 ，α∈? π 6 ， 2π 3? ，求cosα的值.

學(xué)生給出的三種解法：

解法1? 由sin α+ π 3? = 4 5 ，得 1 2 sinα+? 3? 2 cosα= 4 5 ，與sin2α+cos2α=1組成方程組，因解不出cosα而停止.

解法2? 因 π 2 <α+ π 3 <π，sin α+ π 3? = 4 5 ，

故cos α+ π 3? =- 3 5 ，

1 2 sinα+? 3? 2 cosα= 4 5 ， 1 2 cosα-? 3? 2 sinα=- 3 5 ，? 解得cosα= 4 3 -3 10 .

解法3? （僅2人）同解法2，cos α+ π 3? =- 3 5 ，

故cosα=cos? α+ π 3? - π 3? =cos α+ π 3? cos π 3 +sin α+ π 3? sin π 3 = 4 3 -3 10 .

針對(duì)上述解法，學(xué)生對(duì)解法2的認(rèn)同度比較高，作為新學(xué)的知識(shí)僅僅以解法2和解法3讓學(xué)生理解解法3的優(yōu)越性，似乎很難做到，于是教師又舉例：“已知 π 4 <α<β< π 2 ，且sin（α+β）= 4 5 ，cos（α-β）= 12 13 ，求cos2α，sin2α的值.”學(xué)生仿照解法2那樣，展開構(gòu)造方程組是解不出sinα，sinβ和cosα，cosβ的，仍然會(huì)導(dǎo)致思維受阻.

通過舉例，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思，強(qiáng)調(diào)“變”是三角變換的靈魂，在學(xué)生困惑時(shí)需要設(shè)計(jì)能“明辨是非”的習(xí)題，揭露問題本質(zhì).通過辨析，學(xué)生能認(rèn)清這類題目的通法是“變角”，而構(gòu)造方程組僅適合“條件角”只含有一個(gè)自變量的題目.

五、通過逆向思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性

逆向思維是相對(duì)發(fā)散的一種思維方式.在平時(shí)的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生只習(xí)慣于順勢(shì)思維，而不習(xí)慣于逆向思維.為此，我們通過以反證法、逆命題法、分析法、否命題法為解題方法的課堂例題設(shè)計(jì)，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的綜合分析能力.

例5?? 已知函數(shù)f（x）=2x2+mx+n，求證：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個(gè)不小于1.

“正難則反”的反證法，是解決高中數(shù)學(xué)難題的“最精良的武器之一”.此題從結(jié)論反推到條件，從結(jié)果逆推尋找結(jié)論成立的充分條件，對(duì)解決問題有很大的好處，可培養(yǎng)學(xué)生的逆向發(fā)散思維，從而提高了學(xué)生的雙向思維能力.

綜上所述，教學(xué)活動(dòng)的主題——對(duì)學(xué)生解題方法的指導(dǎo)，是激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié)之一.在解題中，不僅要使學(xué)生明確解什么，如何解，還要給學(xué)生一個(gè)自由發(fā)揮的思考空間，發(fā)散思維的廣度，提出自己的新見解.通過對(duì)課堂例題的精心設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和方法，提高了學(xué)生的思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了由知識(shí)向能力的升華.