王慶

【摘要】 二次曲線的交點(diǎn)問題是許多學(xué)生和教師都心存疑惑的地方，本文通過課堂教學(xué)實(shí)錄給大家答疑解惑.

【關(guān)鍵詞】 二次曲線;交點(diǎn);判別式;韋達(dá)定理

作為一位教師，我們都希望自己的課堂教學(xué)有行云流水的教學(xué)過程，巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生積極主動(dòng)的參與，良好的檢測效果.但是，真正的課堂教學(xué)往往會有一些意想不到的情況出現(xiàn)，而這些意料之外的情況恰恰真實(shí)地反映了學(xué)生的思維狀態(tài)和學(xué)生在積極主動(dòng)參與時(shí)出現(xiàn)的困惑.在教學(xué)中我們應(yīng)該珍惜這樣的機(jī)會，如果能夠利用好這些教學(xué)中的“意外”，就能在課堂上生成學(xué)生的主體意識、探究精神，同時(shí)對提高學(xué)生的思維品質(zhì)具有積極意義.

一、課堂剪影

在上圓錐曲線習(xí)題課時(shí)，筆者給出下面問題：（2015·福州質(zhì)檢）已知拋物線y2=2px（p>0）在第一象限內(nèi)與圓x2+y2-4x+1=0交于不同的兩點(diǎn)A，B.

（1）求p的取值范圍;

（2）如果在x軸上只有一個(gè)點(diǎn)M，使MA⊥MB，求p的值及M的坐標(biāo).

教師：請同學(xué)們先思考第一小題，然后請學(xué)生回答.

學(xué)生1：交點(diǎn)問題都可以通過方程組處理.本題只需要滿足方程組 y2=2px，x2+y2-4x+1=0? 有解即可.整理得x2+2（p-2）x+1=0.由Δ=[2（p-2）]2-4>0得p<1或p>3.因?yàn)閜>0，所有0<p<1或p>3.

學(xué)生2：方程組有兩解能說明兩曲線在第一象限有兩個(gè)不同交點(diǎn)嗎？

學(xué)生3：結(jié)果沒問題，但是思維過程不嚴(yán)密.應(yīng)該加以說明：由于拋物線和圓都關(guān)于x軸對稱，根據(jù)對稱性，如果它們在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，在第四象限也有兩個(gè)交點(diǎn)，但橫坐標(biāo)只有兩個(gè)不同取值.

教師：這樣思考思維縝密多了，大家再思考：問題考慮得全面嗎？

學(xué)生4： 因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以方程的根應(yīng)該是兩個(gè)不相等的正根，所以還要加上條件： x1+x2=-2（p-2）>0，x1x2=1>0，?? 即 p<1或p>3，p<2，? ∴p的取值范圍是（0，1）.

學(xué)生都認(rèn)為有道理，筆者也對問題加以強(qiáng)調(diào).正準(zhǔn)備進(jìn)入第二小題的評講時(shí)，一名學(xué)生說出他的疑惑.

學(xué)生5：這里為什么需要考慮根的情況？我們以前學(xué)習(xí)直線和圓錐曲線都不需要考慮根的情況.如，直線l：y=2x+1與拋物線y2=2px（p>0）在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，求p的取值范圍.只需要把l：y=2x+1代入y2=2px得：4x2+（4-2p）x+1=0，由Δ=（4-2p）2-4×4>0，即p<0或p>4.因?yàn)閜>0，所以解得p>4.

學(xué)生4的發(fā)言引起大家的共鳴，許多同學(xué)都有同感.我意識到這堂課原定的教學(xué)計(jì)劃沒有辦法完成了，索性讓學(xué)生把大家都困惑的這個(gè)問題弄清楚.同學(xué)們思考一下原因？班上立即展開熱烈的討論.過了一會兒，有學(xué)生回答.

學(xué)生6：我認(rèn)為整理后的問題就是一元二次方程根的分布問題.因此，需要考慮根的符號，所以要用上韋達(dá)定理.前面同學(xué)所舉兩例，其實(shí)都滿足 x1+x2>0，x1x2>0，? 只是過程省略沒寫.

學(xué)生7：同學(xué)6講得非常有道理，但是他仍然沒有說明為什么同學(xué)5所舉例題韋達(dá)定理可以不寫，而前面的例題必須要寫？

同學(xué)們由此陷入思考中.

教師：觀察兩道題的形式上有沒有不一樣的地方？

學(xué)生8：這兩例中的情況不一樣，例題中的兩個(gè)方程都是二次方程，而同學(xué)4所舉例題一個(gè)是一次方程另一個(gè)是二次方程.我覺得原因應(yīng)該在這里，具體我還沒想清楚.

學(xué)生9：我認(rèn)為黑板上例題中聯(lián)立消去的是y2，而同學(xué)4的兩例中消去的都是y.兩次消去的結(jié)構(gòu)形式不一樣，可能這對結(jié)果有影響.

學(xué)生10：受同學(xué)9的啟發(fā)，每個(gè)方程都有兩個(gè)變量x，y，不僅x對y有影響，同時(shí)y對x也有制約.如橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）中的兩個(gè)變量x，y相互之間有制約，就像函數(shù)中x與y之間相互影響一樣.教材通過 y2 b2 =1- x2 a2 ≥0解得x范圍：-a≤x≤a.因此，這里y2=2px（p>0）中的y2決定了x≥0.而聯(lián)立消y2后的方程x2+2（p-2）x+1=0沒有了y2對x的制約，因此，會出現(xiàn)不合題意的根.而同學(xué)4舉例中的直線l：y=2x+1中y對x沒有制約，所以x∈ R .消元時(shí)x，y間制約沒有抵消掉，所以不受影響.

教師：大家都說得很好，處理多變量問題時(shí)，注意多元變量關(guān)系式對變量間的取值影響.下面哪名同學(xué)來總結(jié)一下？

學(xué)生11：直線和曲線交點(diǎn)問題由于沒有消去二次項(xiàng)，所以對交點(diǎn)沒有影響，可以只考慮判別式即可.如果是兩個(gè)曲線交點(diǎn)問題，我們不僅需要考慮判別式，還要從根的分布角度思考.

學(xué)生為以上幾名同學(xué)紛紛鼓掌，大家心頭的疑惑都得到解決.這時(shí)又有一名同學(xué)提出疑問.

學(xué)生12：Δ>0說明方程有實(shí)根，當(dāng)p>3時(shí)， x1+x2=-2（p-2）<0，x1x2=1>0? 說明方程有負(fù)根，負(fù)根在這里沒有意義，那么這里的負(fù)根意義是什么？

剛剛輕松的氣氛瞬間被凍住，同學(xué)們又都認(rèn)真思考起來.

教師：目前我們中學(xué)階段學(xué)習(xí)的都是坐標(biāo)取實(shí)數(shù)的平面，如果坐標(biāo)取復(fù)數(shù)，得到的坐標(biāo)取值為兩個(gè)復(fù)平面的乘積，寫成（x，y）∈ C × C ，構(gòu)成一個(gè)四維空間.拋物線和圓的方程會變成實(shí)部的方程和虛部的方程兩部分，它的零點(diǎn)集合在四維曲面里各是一張二維曲面，這兩個(gè)曲面會交于四個(gè)點(diǎn)，其中兩個(gè)坐標(biāo)是實(shí)數(shù)，還有兩個(gè)坐標(biāo)有虛數(shù)，就是增根.

二、教學(xué)反思

如果按教師能否順利地完成既定的教學(xué)任務(wù)，那么這節(jié)課是失敗的.但如果評價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)是能不能夠根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，幫助他們理解知識關(guān)系，構(gòu)建和完善知識結(jié)構(gòu)框架，培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、計(jì)算等能力，那么這節(jié)課就是成功的.本節(jié)課沒有為了遵循教學(xué)計(jì)劃和安排忽視學(xué)生的問題，而是引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考，直至問題解決.本節(jié)課通過認(rèn)真思考和熱烈討論，學(xué)生的思維活動(dòng)過程分為：1.學(xué)生從曲線交點(diǎn)問題只考慮判別式到需要加韋達(dá)定理，從具體例題入手，通過歸納和對比研究兩類題型的解題差異.2.從等式中變量間關(guān)系出發(fā)解釋交點(diǎn)問題需要考慮韋達(dá)定理.用類比的方法，從教材解析幾何中橢圓方程得到坐標(biāo)之間的相互約束出發(fā)，理解圓和拋物線具有同樣的規(guī)律.3.通過兩類不同題的解法，歸納出二次曲線交點(diǎn)問題的一般性解法和規(guī)范答題過程.4.從本源上理解產(chǎn)生增根的原因.學(xué)生通過思考、提問不僅提高了對知識的理解掌握，同時(shí)也提高了自己分析問題和解決問題的能力.

本節(jié)課的教學(xué)都是通過學(xué)生的活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)，彰顯了學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位，也體現(xiàn)了教師在課堂教學(xué)中的主導(dǎo)作用.課堂學(xué)習(xí)氛圍濃厚，學(xué)生樂于積極思考，敢于大膽發(fā)言，分享自己的感悟和體會.學(xué)生的主動(dòng)性得以充分發(fā)揮.在這堂課中教師是教學(xué)的組織者和引導(dǎo)者，適時(shí)加以點(diǎn)撥，掌控整個(gè)課堂，使得學(xué)生的思考層層深入，直至問題本源.

這場美麗的邂逅是由學(xué)生5的問題而引發(fā)，沒有質(zhì)疑，學(xué)生就不會深入思考.朱熹曾說：“大疑則大悟，小疑則小悟，不疑則不悟.”教學(xué)過程中“問題”是讓師生雙方相互交流、相互溝通、相互理解、相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充，提高教學(xué)質(zhì)量的實(shí)質(zhì).在教學(xué)中我們需要重視學(xué)生的疑問，呵護(hù)學(xué)生的質(zhì)疑之心，這才是尊重學(xué)生，尊重課堂，尊重?cái)?shù)學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

[1]蔡欣.一次沒有預(yù)約的“美麗”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（z1）：20-22.

[2]張向東.求兩個(gè)二次曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的解決策略[J].滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2010（3）：127-128.