內(nèi)蒙古呼和浩特市第十四中學(xué)高三（15）班 苗雨欣

一、原題呈現(xiàn)

（1）已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b。

二、解法探究

思路1：（1）因?yàn)橹本€l的斜率為k，所以切線方程為y=kx±與橢圓方程聯(lián)立方程組，從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）利用垂直關(guān)系求出垂線l1的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)P到直線l1的距離，再利用基本不等式求出距離的最大值。

解法1：（1）已知直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+m，橢圓方程為聯(lián)立消去y，得b2x2+a2(k+m)2-a2b2=0，即

因?yàn)橹本€l是橢圓的切線，所以=0，整理得所以切線l的方程為由于P在第一象限，所以切線l的方程為

（2）證明：由題意知，直線l1的方程為所以點(diǎn)P到直線l1的距離為：

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，由①、②聯(lián)立方程組，解得x0=

所以用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（2）證明：直線l1的方程為x+ky=0，則點(diǎn)P到直線l1的距離為

思路3：利用勾股定理

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，k＜0，所以可得

所以用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（2）證明：設(shè)OQ=R，所以點(diǎn)Q在圓上，又在直線l1上，可得④，由③④得：

第（2）小問，還可以用法線來簡捷證明：

所求點(diǎn)P到直線l1的距離等于坐標(biāo)原點(diǎn)O到此法線l2的距離d，所以

三、題源追溯

這道浙江高考題是由2004年四川省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一道試題改編而來的：

2018年高考江蘇卷第18題也是由此競賽題改編的：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過點(diǎn)焦點(diǎn)圓O的直徑為

（1）求橢圓C及圓O的方程；

（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P。

①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為求直線l的方程。

四、解題啟示

這道解析幾何題，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，在平時(shí)的復(fù)習(xí)中，要加強(qiáng)綜合性問題的訓(xùn)練，讓頭腦中零散的知識(shí)點(diǎn)能夠通過解題系統(tǒng)化，同時(shí)還要進(jìn)行專題訓(xùn)練，克服自己的解幾何題的畏懼心理，在考試中能迅速找到解題思路。注意一題多解和一題多變，努力提高運(yùn)算求解能力。