董海茵，孫 萍

（1.新疆農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，新疆 昌吉 831100；2.烏魯木齊職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)教育部，新疆 烏魯木齊 830002）

隨著高等職業(yè)教育的不斷發(fā)展，人們對高等職業(yè)教育有了更多更深入的認(rèn)識，而作為職業(yè)院校肩負(fù)的“培養(yǎng)高端技能型人才”培養(yǎng)目標(biāo)，不僅僅指培養(yǎng)高技能型人才，同時也包含培養(yǎng)高素質(zhì)人才。高等數(shù)學(xué)課程是高等職業(yè)院校理工類專業(yè)開設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，通過該課程的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)基本理論和運算方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，也為學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)儲備基礎(chǔ)知識。但在課程實際教學(xué)中，教師往往從數(shù)學(xué)專業(yè)角度出發(fā)，注重數(shù)學(xué)知識的邏輯性與系統(tǒng)性，講授中強調(diào)定理的證明、公式的推導(dǎo)和習(xí)題的演練，忽略了數(shù)學(xué)知識本身在產(chǎn)生和發(fā)展歷程中所包含的文化內(nèi)涵。在數(shù)學(xué)文化觀念下，數(shù)學(xué)教育不單單是學(xué)會數(shù)學(xué)的基本知識點及其基本運算，而且要學(xué)會分析和研究問題的方式、方法，它對于提高學(xué)生的文化修養(yǎng)和綜合素質(zhì)起著重要作用［1］。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中有效的將數(shù)學(xué)文化知識與教學(xué)內(nèi)容融為一體，有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、定理的理解與認(rèn)識的深化，使學(xué)生在接受數(shù)學(xué)知識能力訓(xùn)練的同時，獲得人文科學(xué)方面的修養(yǎng)，提高學(xué)生的人文素質(zhì)［2］。

現(xiàn)有研究，主要討論高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的意義與必要性，或是研究數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)的策略與教學(xué)模式，而針對高等數(shù)學(xué)實際教學(xué)內(nèi)容融入數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計案例的研究非常有限?；谏鲜鲈?，筆者從數(shù)學(xué)文化視角出發(fā)，對高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)展開探索與實踐，收集整合資料，設(shè)計數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識有機融合的教學(xué)案例，使教學(xué)研究有的放矢，增強教學(xué)的實效性。

一、教學(xué)設(shè)計原則

1.在教學(xué)內(nèi)容上，立足高職學(xué)生的學(xué)情，選取專業(yè)學(xué)習(xí)需要的數(shù)學(xué)知識和生產(chǎn)生活中涉及的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識專業(yè)化和專業(yè)知識數(shù)學(xué)化相互貫通的能力。

2.在教學(xué)形式上，區(qū)別于傳統(tǒng)的以講授數(shù)學(xué)理論知識為主要目的的數(shù)學(xué)課，融入數(shù)學(xué)文化知識，著眼于以講授數(shù)學(xué)思想、方法、精神為主，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和運用數(shù)學(xué)的思維模式、技巧和策略分析、解決在專業(yè)領(lǐng)域中或生活中遇到的實際問題為目的。

3.在教學(xué)手段上，合理運用信息技術(shù)，創(chuàng)設(shè)可視化的數(shù)學(xué)教學(xué)情境，借助圖片、動態(tài)圖像和視頻，使數(shù)學(xué)歷史人物以及抽象的數(shù)學(xué)概念、原理、公式等變得形象、具體、生動，讓思維過程可視化。

二、教學(xué)設(shè)計案例

（一）極限的概念

高等數(shù)學(xué)課程首先從講授極限的概念開始，數(shù)學(xué)討論的問題也從有限進入無限，從靜態(tài)進入動態(tài)。因此，可進行如下教學(xué)設(shè)計：

情境設(shè)計：三國時期的劉徽割圓術(shù)提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣”，這些很樸素的事實均體現(xiàn)了極限的思想。同時，借助信息技術(shù)，展示圓分割的動態(tài)過程。數(shù)學(xué)文化的融入使學(xué)生了解了中國數(shù)學(xué)史和中國數(shù)學(xué)文化。

引入新課：引入“芝諾悖論”——“阿基里斯追龜”和“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的典故，領(lǐng)會、理解極限的思想，由此講授自變量趨于一點時極限的概念。

數(shù)學(xué)文化：芝諾說，“阿基里斯追龜，永遠(yuǎn)也追不上。”這就是著名的“芝諾悖論”，“追龜說”雖然違背了生活常識，但當(dāng)時的古希臘人卻無法證明“追龜說”錯在何處，這就成為希臘數(shù)學(xué)史上有名的難題，直到17世紀(jì)微積分學(xué)產(chǎn)生，這個問題才算基本解決［3］。

將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，距離轉(zhuǎn)化為數(shù)列100，10，1，0.1，……，數(shù)列最終項會無限接近于0。這就蘊含了極限的思想。

課后反思：什么是悖論？有哪些悖論？

在概念理解中融入數(shù)學(xué)文化，通過有趣的故事激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和熱情，進而加深學(xué)生對概念的理解和認(rèn)識，奠定高等數(shù)學(xué)基本的思想觀點，逐步引導(dǎo)學(xué)生從初等數(shù)學(xué)知識向高等數(shù)學(xué)知識過渡。而數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題、創(chuàng)新方法、創(chuàng)造思想并解決問題的介紹有助于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

（二）無窮小

無窮小是個抽象的概念，學(xué)生難于理解，如何形象具體的刻畫概念是教學(xué)難點，教學(xué)中可進行如下教學(xué)設(shè)計：

課前查閱資料：第二次數(shù)學(xué)危機，了解無窮小、無窮大的概念。

新課講授：檢查學(xué)生課前預(yù)習(xí)情況，總結(jié)以求極限的變化過程來闡明無窮小，以此讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識發(fā)展的歷程，再由例題使學(xué)生明確無窮小與極限的關(guān)系及無窮小性質(zhì)在求極限時的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)文化：向?qū)W生介紹第二次數(shù)學(xué)危機產(chǎn)生的原因，“貝克萊悖論”的提出引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生［4］。

在學(xué)生自主學(xué)習(xí)課外知識的過程中，使學(xué)生了解科學(xué)家為數(shù)學(xué)研究和發(fā)展不斷研究奮斗的精神，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)同感，感悟前人的數(shù)學(xué)思想。課內(nèi)教師總結(jié)提升，調(diào)動課堂教學(xué)的活躍氣氛，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識發(fā)展規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生進行科學(xué)思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

該內(nèi)容為公式講授，內(nèi)容抽象枯燥，考慮從學(xué)生認(rèn)知水平出發(fā)，用形象、生動、直觀的方法，將難點進行轉(zhuǎn)化、分解，借助特殊曲線方程和數(shù)學(xué)文化，再到實際應(yīng)用，從另一個角度對問題進行剖析，使學(xué)生更容易接受和掌握知識，以達到理想的教學(xué)效果。教學(xué)設(shè)計如下：

復(fù)習(xí)導(dǎo)入：復(fù)習(xí)已學(xué)知識——復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；給出一類特殊函數(shù)，考慮如何計算導(dǎo)數(shù)。

情境設(shè)計：顯函數(shù)與隱函數(shù)的區(qū)分及定義。通過幾個方程，讓學(xué)生從形式上理解顯函數(shù)和隱函數(shù)的不同，進而給出定義。

構(gòu)建新知：隱函數(shù)的求導(dǎo)方法。

方法應(yīng)用：笛卡爾葉形線對應(yīng)的曲線方程求導(dǎo)。笛卡兒葉形線是一個代數(shù)曲線，首先由笛卡兒在1638年提出，笛卡兒葉形線的隱式方程為：

x3+y3-3axy=0

數(shù)學(xué)文化：介紹解析幾何之父——笛卡爾的生平，勒內(nèi)·笛卡爾是著名的法國哲學(xué)家、科學(xué)家和數(shù)學(xué)家［5］。

給學(xué)生介紹數(shù)學(xué)家勤奮鉆研的精神、求實嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)，數(shù)學(xué)家的生平和貢獻，有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、拼搏精神及嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度，使他們在知識和文化的熏陶中不斷提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（四）平面圖形的面積計算——極坐標(biāo)情形

該教學(xué)內(nèi)容是定積分的應(yīng)用，對學(xué)生來說是從理論到實踐的思維轉(zhuǎn)變過程，枯燥的理論，難于理解的公式，給學(xué)生造成一定的困擾。融入數(shù)學(xué)文化，可作如下教學(xué)設(shè)計：

情景設(shè)計：播放廣告視頻——百歲山礦泉水廣告，在欣賞廣告片唯美意境的同時，引導(dǎo)學(xué)生弄清楚廣告的創(chuàng)意，即這則廣告源于數(shù)學(xué)家笛卡爾和瑞典公主克莉絲汀的愛情故事。介紹其隱喻的數(shù)學(xué)歷史故事，引出“極坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)”的歷史。（數(shù)學(xué)歷史故事可在網(wǎng)絡(luò)中查找）

新課講解：介紹極坐標(biāo)系概念，結(jié)合PPT中的動態(tài)圖像介紹極坐標(biāo)系的建立；介紹極坐標(biāo)方程定義，以數(shù)學(xué)歷史故事中提到的心形線為例，說明極坐標(biāo)方程的表示形式，并以動態(tài)圖像演示心形線的形成過程（設(shè)疑：心形線圍成的面積是多少？）。講授極坐標(biāo)系下的平面圖形面積，結(jié)合PPT中的動態(tài)圖像給出曲邊扇形的定義，并給出極坐標(biāo)系中的扇形面積計算公式:

實際案例：用圖片形式給出生活和專業(yè)中涉及的案例，引導(dǎo)學(xué)生思考如何計算圖片中的建筑物、島嶼等面積？

方法應(yīng)用：將案例轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，分析講解如何計算心形線圍成的面積。

該教學(xué)設(shè)計通過廣告視頻引出其隱喻的數(shù)學(xué)歷史故事，使學(xué)生了解極坐標(biāo)系和極坐標(biāo)方程的產(chǎn)生和表示形式，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，通過分析生活和專業(yè)涉及的實際問題，講授極坐標(biāo)系中的扇形面積的計算方法。在唯美的傳說故事中，揭示數(shù)學(xué)發(fā)展歷程，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)魅力，洞察數(shù)學(xué)真諦，在數(shù)學(xué)文化所營造的數(shù)學(xué)氛圍里，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣。

（五）定積分應(yīng)用——平面曲線的弧長

該教學(xué)內(nèi)容是定積分的應(yīng)用，可突破傳統(tǒng)教學(xué)方式，避免抽象的公式推導(dǎo)，直接給出弧長計算公式，作如下教學(xué)設(shè)計：

公式給出：直觀給出平面曲線弧長的計算公式。

情景設(shè)計：演示圖片。如高架電纜、鎖鏈、雙曲拱橋——懸鏈線等。

數(shù)學(xué)文化：懸鏈線的發(fā)現(xiàn)。懸鏈線是一種曲線，因其與兩端固定的繩子在均勻引力作用下下垂相似而得名。

問題的起源——達·芬奇《抱銀貂的女人》畫作中，女子脖頸上懸掛的黑色珍珠項鏈形成的曲線應(yīng)該是怎樣的？這就是著名的懸鏈線問題，達·芬奇去世時還沒有找到答案。

發(fā)展——懸鏈線是不是拋物線？

解決問題——雅各布·伯努利、伽利略都曾試圖解決這一問題。最終，雅各布·伯努利的弟弟約翰·伯努利得到正確答案［6］。

實際應(yīng)用：擺線（旋輪線）在擺鐘和建筑物中的應(yīng)用。可進行圖片演示，動態(tài)模擬旋輪線的形成，使學(xué)生形象理解曲線的性質(zhì)和實踐應(yīng)用。

思維拓展：查閱阿基米德螺線的性質(zhì)和實際應(yīng)用。

通過圖片、動畫模擬、數(shù)學(xué)歷史資料，使學(xué)生在學(xué)習(xí)弧長公式的同時，了解所求曲線的特殊性質(zhì)和相關(guān)的實踐應(yīng)用，開拓學(xué)生數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和應(yīng)用價值，在學(xué)習(xí)中體驗這些曲線蘊含的數(shù)學(xué)文化，形成崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；同時，領(lǐng)略科學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真和鍥而不舍的科學(xué)精神。

隨著時代的發(fā)展，結(jié)合現(xiàn)代化教學(xué)手段和豐富的教學(xué)資源，數(shù)學(xué)教學(xué)也不斷地發(fā)生著變化。數(shù)學(xué)教育不僅傳遞知識，也起到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng)的作用。數(shù)學(xué)教師需要不斷學(xué)習(xí)和更新觀念，設(shè)計創(chuàng)新出適合學(xué)生實際情況的教學(xué)案例，將課堂的教學(xué)內(nèi)容與相關(guān)數(shù)學(xué)文化有機結(jié)合起來，使數(shù)學(xué)文化有效滲透教學(xué)中，從而不斷提高人才培養(yǎng)的質(zhì)量。