何麗珍

摘 要：本文闡述高中數(shù)學(xué)中反例的作用及其應(yīng)用，同時(shí)也收集了一些與教材相關(guān)的重要反例，它使我們體會(huì)到用反例來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題給人的愉悅，也讓我們認(rèn)識(shí)到反例的應(yīng)用會(huì)使教學(xué)更加的生動(dòng)。但是當(dāng)前，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師對(duì)教學(xué)反例的認(rèn)識(shí)不夠，教材也沒(méi)有給予足夠的重視。雖然證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的作用，但是反例作為問(wèn)題的另一個(gè)方面，也應(yīng)清楚在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。

關(guān)鍵詞：反例;高中數(shù)學(xué);應(yīng)用;作用

眾所周知，要判斷一個(gè)命題的正確性必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推證，而要否定一個(gè)命題，卻要舉出一個(gè)與結(jié)論相矛盾的例子即可。這種與命題相矛盾的例子成為反例。

舉反例和證明同時(shí)是重要的數(shù)學(xué)思維方式，它們是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)側(cè)面。美國(guó)數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆和J.M.H奧姆斯特德指出：“冒著過(guò)于簡(jiǎn)單化的風(fēng)險(xiǎn)，我們可以說(shuō)數(shù)學(xué)由兩大類——證明與反例組成，而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也是朝著兩個(gè)主要的目標(biāo)——提出證明與構(gòu)造反例?！彼晕覀冋f(shuō)數(shù)學(xué)中的反例，既是簡(jiǎn)明有力的否定，又是極有說(shuō)服力的肯定，反例的作用不僅用以否定命題而且也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)真理的一種重要的手段，它有助于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，活躍思維，避免常犯易犯的錯(cuò)誤，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中起著不可估量的作用。

反例在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用及其作用

一、利用反例加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，不僅要重視正面的例子，加以深刻闡明，還要運(yùn)用合適的反例來(lái)領(lǐng)會(huì)概念的含義。學(xué)生在學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)概念時(shí)，常常不能抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特性，不能全面的理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，結(jié)果造成理解上的混淆，而反例的十分簡(jiǎn)明和具有說(shuō)明力的否定，往往能起到正面例子起不到的作用，正確地使用反例，可以活躍學(xué)生的思維，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

如：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

一個(gè)函數(shù)y=f（x）是奇（偶）函數(shù)，必須具備2個(gè)條件：（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;（2）f（-x）=-f（x）[f（-x）=f（x）]學(xué)生在做題時(shí)，往往忽略第一個(gè)條件。

例1：判斷函數(shù)f（x）=（1-x）■的奇偶性。

誤解：因?yàn)榕袛嗪瘮?shù)f（-x）=（1-x）■=■

而f（x）=（1-x）■=■

∴函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)

剖析：錯(cuò)誤在于沒(méi)有注意到f（x）定義域?yàn)榘腴_(kāi)區(qū)間[-1，1），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

正確解法：因?yàn)閒（x）定義域?yàn)榘腴_(kāi)區(qū)間[-1，1），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

∴f（x）是非奇非偶函數(shù)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，通常會(huì)碰到判斷函數(shù)奇偶性的問(wèn)題，久而久之，學(xué)生的頭腦中就忽略“定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”這個(gè)條件，這一反例糾正了學(xué)生對(duì)這一概念的錯(cuò)誤理解，擴(kuò)大了知識(shí)面。

二、利用反例直接解答問(wèn)題

對(duì)于某些結(jié)論否定型問(wèn)題，從正面證明它不成立一般不容易，而舉一個(gè)反例往往能迅速的解決問(wèn)題。

如：關(guān)于極限方面的應(yīng)用

例2：若

解法：反之不成立，若直接說(shuō)明不好入手，若舉反例來(lái)說(shuō)明，學(xué)生們記憶就深刻。例如an=■+n，bn=■-n，顯然 ? ? ? 存在，但 ? 與 ? 均不存在。

“對(duì)則證明，否則舉反例”，對(duì)于這類問(wèn)題，盲目推導(dǎo)證明可能會(huì)陷入窘境，而恰當(dāng)?shù)姆蠢茌p松地解決問(wèn)題。

三、利用反例澄清模糊認(rèn)識(shí)

構(gòu)造反例是推翻命題的一種重要方法，也是發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，修正命題與解法，激發(fā)人們思維的一種好方法。為了澄清學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的模糊認(rèn)識(shí)，常常需要從正反兩個(gè)方面進(jìn)行探索。

如：關(guān)于數(shù)列方面的應(yīng)用

例3：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn=an+bn，問(wèn){cn}是否為等比數(shù)列？

分析：這是一道探索性的問(wèn)題，我們可以先假定{cn}是等比數(shù)列，并設(shè){an}，{bn}的公比分別為p，q（p≠q），在此假設(shè)下，c1，c2，c3也應(yīng)是等比數(shù)列，于是c22=c1·c3

即（a1p+b1q）2=（a1+b1）（a1p2+b1q2）

整理得（p-q）2=0，這與p≠q矛盾，故{cn}不是等比數(shù)列。

顯然，上述的反例c1，c2，c3否定了假設(shè)，從而較快地解決了問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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[2]徐斌艷.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.[M].杭州：浙江教育出版社，2013.