祁國敏

摘要：數(shù)學(xué)多元表征就是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的言語化表征、視覺化表征、操作化表征等多種外在表征形式。在研究中，言語化表征主要是指：口頭語言、書面語言、形式化的符號語言等;視覺化表征主要是指：教具模型、實(shí)物情景、形態(tài)手勢、圖形、圖表、圖像、組織結(jié)構(gòu)圖等;操作化表征是指：學(xué)生自己動手操作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、日常生活實(shí)踐、教師有目的地組織體驗(yàn)等活動。數(shù)學(xué)教學(xué)中往往需要借助多元表征來提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);多元表征;理解力

中圖分類號：G633.6? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1992-7711（2018）10-0032

2011年我國新頒布的《全日制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化。

美國教育學(xué)家G.M.Bleinkin和A.V.Kelly曾說過：“教育不在于獲得有用的知識或技能，而在于發(fā)展求知能力，不在于學(xué)習(xí)而在于達(dá)成理解，不在于獲得信息，而在于完成智慧”。

在日常教學(xué)中，有些概念看似很簡單，生活中很常見，或者一道數(shù)量關(guān)系并不復(fù)雜的問題，教師在課堂上反反復(fù)復(fù)說了很多遍，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中依然似懂非懂，最后，有些教師沒辦法了，就強(qiáng)行學(xué)生進(jìn)行模仿或者大量的機(jī)械訓(xùn)練從而達(dá)到正確解決問題的目的。如此的教學(xué)，從學(xué)習(xí)心理學(xué)角度，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生并沒有從認(rèn)知的本質(zhì)角度去理解知識，更談不上利用自己已有的信息去主動建構(gòu)知識;從課堂效益角度，這樣的課堂顯然是低效的，學(xué)生思維發(fā)展的空間受到極大的抑制，無法生成學(xué)生自己的數(shù)學(xué)智慧。

研究顯示，對數(shù)學(xué)知識的理解大體上經(jīng)歷了經(jīng)驗(yàn)型認(rèn)識階段、形式化認(rèn)識階段、關(guān)系型認(rèn)識階段和觀念型認(rèn)識階段4個層次水平。也可用以下數(shù)學(xué)理解層次模型來描述學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)理解逐步深入的過程。

在教學(xué)中以及查閱文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，筆者發(fā)現(xiàn)多元表征能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)理解力。正如Hiebert所言，如果一個數(shù)學(xué)概念、方法或事實(shí)被學(xué)生理解了，那么它的內(nèi)在表征就成了認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有機(jī)部分，內(nèi)在表征之間相互聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度決定了數(shù)學(xué)理解的程度。多元表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的各種不同具體形式，內(nèi)在表征是學(xué)生對外在表征內(nèi)化的各種心智表征。外在表征與內(nèi)在表征之間存在著密切關(guān)聯(lián)，外在表征的形式與結(jié)構(gòu)深刻影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，內(nèi)在表征的水平影響外在表征的內(nèi)化程度。

數(shù)學(xué)多元表征就是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的言語化表征、視覺化表征、操作化表征等多種外在表征形式。在研究中，言語化表征主要是指：口頭語言、書面語言、形式化的符號語言等;視覺化表征主要是指：教具模型、實(shí)物情景、形態(tài)手勢、圖形、圖表、圖像、組織結(jié)構(gòu)圖等;操作化表征是指：學(xué)生自己動手操作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、日常生活實(shí)踐、教師有目的的組織體驗(yàn)等活動。

一、借助多元表征提高學(xué)生對數(shù)感認(rèn)識的方法

數(shù)感是小學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)能力之一，是指數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計等方面的感悟。良好的數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。數(shù)感是對數(shù)的一種感悟，它不會像知識、技能的習(xí)得那樣立竿見影，它需要在教學(xué)中潛移默化，積累經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷建立、發(fā)展、感悟的過程。為此，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生建立良好的數(shù)感十分重要。

比如在一年級《數(shù)字規(guī)律》這一課中，這節(jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。對于一年級的學(xué)生來講，如何更好地理解“數(shù)感”這一抽象的數(shù)學(xué)概念，無疑借助多元表征，幫助學(xué)生感悟數(shù)感將會是一個非常好的教學(xué)手段。

上課伊始，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣一個情境：小兔子在家玩拼圖形的游戲。

然后問學(xué)生：小兔子這幾次拼的圖形一樣嗎？有什么變化？大部分同學(xué)的第一反應(yīng)都是直觀的看出拼的圖形也越來越多了。少部分同學(xué)能夠關(guān)注到正方形的個數(shù)，當(dāng)學(xué)生關(guān)注到正方形的個數(shù)的時候，筆者會帶著學(xué)生數(shù)一數(shù)，讀一讀。這一環(huán)節(jié)主要是通過圖形表征、語言表征使學(xué)生對數(shù)列的規(guī)律有一個初步的感悟。接著讓學(xué)生通過不同的表征形式把自己所理解的多3表示出來。可以圈一圈、涂一涂、寫一寫、算一算。在這里面學(xué)生的理解水平也是不同的。

水平1：只能在圖中圈出多3

水平2：能在圖中和數(shù)列中找到3，但表達(dá)不清、不全。

水平3：能在圖中和數(shù)列中找到3，并清楚準(zhǔn)確表達(dá)出來。

水平4：能在圖中和數(shù)列中找到3，并清楚準(zhǔn)確表達(dá)出來，能比較清楚地加以概括。

當(dāng)學(xué)生通過不同的表征形式找到這列數(shù)的規(guī)律后，教師組織學(xué)生大聲的朗讀規(guī)律，分組讀、重點(diǎn)讀，幫助學(xué)生更加深刻地記憶變化數(shù)列中不變的規(guī)律，潛移默化的發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。在本節(jié)課中，筆者設(shè)計了涂一涂、圈一圈、讀一讀、算一算、寫一寫等多種表征方式幫助學(xué)生能夠在變化的數(shù)列中表示出不變的量，真正獲得找規(guī)律的方法，感悟數(shù)感。

二、借助多元表征理解數(shù)學(xué)概念的方法

數(shù)學(xué)概念揭示物質(zhì)的本質(zhì)、屬性與共同特征，具有抽象性、復(fù)雜性、嚴(yán)密性，并蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵，具有固定和同化新知識的功能。一切數(shù)學(xué)規(guī)則的研究、表達(dá)與應(yīng)用都離不開數(shù)學(xué)概念，它是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是學(xué)生計算能力提高，空間觀念形成，思維能力發(fā)展的前提和重要保證。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是一個不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過程。因此數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，有著極其重要的地位。

《有余數(shù)的除法》是一節(jié)概念教學(xué)的課。概念教學(xué)不僅要幫助學(xué)生建立概念的多元表征，而且要根據(jù)需要與情境在外在表征的不同成分之間做出靈活轉(zhuǎn)換。將抽象概念與學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)建立有層次的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在概念的抽象意義、表象模型（或操作）、具體原型（或活動）之間尋找意義與數(shù)學(xué)化的過程。學(xué)習(xí)者需要通過多種表達(dá)形式并與已有的內(nèi)在表象發(fā)生相互作用，以此促進(jìn)或影響學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)理解。