☉江蘇省蘇州市吳江平望中學 沈亞平

“最近發(fā)展區(qū)”理論要求我們立足于學生的認知基礎來設計教學，引導學生按部就班地完成數(shù)學的學習.在教學中，筆者發(fā)現(xiàn)通過學生初中已有的二次函數(shù)認知基礎，能夠高效促進很多高中數(shù)學知識的建構，這樣的教學能幫助學生完善認知體系，實現(xiàn)能力提升.

一、結合二次函數(shù)的解析式，進行函數(shù)概念教學

學生在初中階段已經(jīng)學習過函數(shù)，在高中階段他們還要結合集合與映射對函數(shù)進行重新定義，即用映射的觀點來說明函數(shù).教學中我們可以將二次函數(shù)作為學生的認知橋梁，重新認識函數(shù)的概念.

我們用映射來理解二次函數(shù)，即一個集合A到另外一個集合B的映射f：A→B，使得B中的每一個元素y=ax2+bx+c（a≠0）都與A中的元素x存在對應關系，記作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.其中“ax2+bx+c”就是對應法則，也表示定義域中的每一個元素在值域中的象，這樣的說明能夠為學生在認識函數(shù)概念時提供一個相對較為明確的認識，而且在學生對函數(shù)值的表示有所認識之后，我們還可以引導學生研究以下問題：

例1已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

上述問題在處理時，可以將f（x+1）理解為自變量等于“x+1”的函數(shù)值.

變式：已知f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

在對應法則f下，定義域中的元素“x+1”的象就是“x2-4x+1”，要反過來求元素“x”的象，其問題的本質就是求解對應法則，以下介紹兩種做法：

（1）將所提供的表達式寫成關于“x+1”的多項式；

（2）代換處理：設t=x+1，則x=t-1，因此有f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6.

通過以上問題的分析，學生將對函數(shù)概念形成全新的認識，這其中也滲透著化歸和轉化的數(shù)學研究思想.

二、結合一元二次方程，引導學生進行模塊化思維

學生對于一元二次方程的學習較為離散，為了幫助學生更好地掌握對應知識，并形成模塊化認識，我們可以這樣來進行教學.

現(xiàn)有一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），通過配方可

探究一：如何通過系數(shù)來推斷方程根的個數(shù)？（研究根的判別式）

探究二：如何從方程的根來探求方程系數(shù)的特點？（回憶韋達定理）

探究三：怎樣結合一元二次方程與二次函數(shù)來研究一元二次不等式？

探究三的處理可以結合一個具體的二次函數(shù)來進行，比如，有二次函數(shù)y=x2+2x-3，我們讓學生畫出對應的圖像，并指導學生觀察函數(shù)圖像上y=0時所對應的x取值分別為1和-3；當y＜0時，則-3＜x＜1.通過以上的分析和處理，學生將逐漸了解初高中數(shù)學之間的關聯(lián)，同時這也幫助學生找到了數(shù)學學習的方法，他們由此認識到不等式應該是等式的一種延展，而且解不等式與解等式還存在一定的差別.比如，學生會輕松解得x2+2x-3=0的兩個根是1和-3，但是在處理不等式x2+2x-3＜0時，他們會錯誤地解出x＜-3或x＞1，這時我們就有必要讓學生知道在處理不等式問題時函數(shù)圖像的重要性，數(shù)形結合的思想在此得到滲透.

通過以上問題的處理，我們以一元二次方程為結點，引導學生結合對二次函數(shù)的認識來搭建相應的知識網(wǎng)絡，通過學生模塊化的思維將相關知識進行了系統(tǒng)化的整理，這樣的處理有助于學生將已有認知融會貫通.而且學生還將更加清晰地把握問題的結構和本質，并由此形成問題解決的辦法和策略，這樣的處理可以讓他們深度領會知識之間的關聯(lián)，進而讓他們體會到數(shù)學知識發(fā)展的脈絡.

三、研究二次函數(shù)的單調性，發(fā)展學生的知識遷移能力

對于函數(shù)的單調性，學生在初中階段實際上是有所認識的，只不過沒有進行嚴謹?shù)臄?shù)學訓練而已.到了高中階段，學生要建構單調性的概念，并從多個角度對單調性進行認識，這樣的處理有助于學生強化對已有認識的理解，而且配合新學概念，他們的認識還將更加深刻而嚴謹，當然新舊知識的融合還將訓練學生的知識遷移能力，學生也將由此感受到初高中數(shù)學學習的緊密關系.

關于二次函數(shù)（fx）=ax2+bx+c（a≠0），學生在初中階段已經(jīng)認識到，當a＞0時，在其對稱軸x=-的右側，y將跟隨x的增加而增加，我們可以據(jù)此引導學生建立增函數(shù)的定義：如果對于某定義域內的某個區(qū)間D上任意兩個自變量x1和x2，當x1＜x2時，有（fx1）＜（fx2），這表明函數(shù)在該區(qū)間D上為增函數(shù).

二次函數(shù)（fx）=ax2+bx+c（a≠0），當a＞0時，其單調增區(qū)間為 [-，+∞ ）；當a＜0時，其單調增區(qū)間為 （-∞ ，-].由此可見，二次函數(shù)的單調性與a的取值情形以及對稱軸有關，這里包含著分類討論的思想.教師可以通過下面的問題來訓練學生的思維遷移能力.

例2求二次函數(shù)f（x）=x2-12x+3的對稱軸和單調區(qū)間.

變式一：已知二次函數(shù)f（x）=x2+4ax+2在區(qū)間（-∞，6）上為減函數(shù)，在（6，+∞）上為增函數(shù)，請確定a的取值.

變式二：已知二次函數(shù)f（x）=x2+4ax+2在區(qū)間［2，4］上為單調函數(shù)，請確定a的取值.

學生通過上述問題的處理，將結合初中已學知識來同化高中數(shù)學的新內容，這也將在一定程度上激活學生的求知欲望，同時學生原有的固定且單一的數(shù)學思維也將由此而發(fā)生進化，他們將逐漸適應放散且動態(tài)的高中數(shù)學思維，而且他們也將更加深刻地體會到高中數(shù)學的獨有魅力.

四、分析二次函數(shù)的最值，引導學生發(fā)展多維思考能力

相比于初中階段，高中數(shù)學更加復雜且靈活，而且高中數(shù)學問題的處理尤其需要學生展開多維思考，從而對問題形成更加全面且深入的認識.

初中生已經(jīng)對二次函數(shù)的最值有所認識，對一個二次函數(shù)（fx）=ax2+bx+c（a≠0）來講，學生知道當函數(shù)有最值

探究一：圍繞初中函數(shù)最值的認識來研究高中某變化函數(shù)的最值.

例3 已知二次函數(shù)y=x2-2x-2，x∈R，求該函數(shù)的最值.

變式一：已知二次函數(shù)y=x2-2x-2，請分別確定當x∈［-2，0］，x∈［0，2］時函數(shù)的最小值和最大值.

變式二：已知二次函數(shù)y=x2-ax-2，求函數(shù)在x∈［0，2］上的最小值和最大值.

探究二：從二次函數(shù)最值出發(fā)研究恒成立問題.

設（fx）=ax2+bx+c（a≠0），（fx）＞0在全集R上恒成立

例4已知f（x）=x2+2（a-2）x+4.

（1）若對于一切x∈R，f（x）＞0恒成立，請確定a的取值范圍.（最值）

（2）若對于一切x∈［-3，1］，f（x）＞0恒成立，請確定a的取值范圍.（最值）

（3）若對于一切x∈［1，2］，f（x）＞0恒成立，請確定a的取值范圍.（參數(shù)分離）

（4）若對任意a∈［-1，1］，f（x）＞0恒成立，請確定實數(shù)x的取值范圍.（換元）

學生通過上述問題的處理和比較，將總結出基本的解題策略，他們會逐步地由初中單一的知識體系過渡到高中多維的知識體系，并在對比中發(fā)現(xiàn)更快的解題策略.以上問題大多與二次函數(shù)有關，但是由于題設的變化，問題的內涵已經(jīng)有所調整，因此學生在問題的處理中需要靈活地進行應對.

綜上所述，教師要讓學生認識到高中階段的學習其實是初中數(shù)學的有效延伸和拓展，從學生熟悉的二次函數(shù)出發(fā)來創(chuàng)設情境引導學生建構高中數(shù)學學習，這樣的處理將充分利用學生的基礎，將學生的認知發(fā)展和智慧提升導向更高的層次.

1.朱松林.變式延伸從最近發(fā)展區(qū)開始［J］.中學數(shù)學月刊，2013（1）.

2.李紅婷.數(shù)學問題解決教學設計及其實施策略［J］.數(shù)學通報，2007（6）.F