☉江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 嚴(yán)振君

學(xué)習(xí)是學(xué)生在教師引導(dǎo)下主動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、方法的過(guò)程，“引導(dǎo)·發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)不僅僅可以用于新授課，對(duì)于復(fù)習(xí)課也同樣適用，引導(dǎo)的目的是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的再現(xiàn)，以及能力、素養(yǎng)的提升.本文結(jié)合《橢圓定義》的復(fù)習(xí)課為例就具體的教學(xué)組織實(shí)施談幾點(diǎn)筆者的看法.

一、創(chuàng)設(shè)情境，回顧初貌

學(xué)生在復(fù)習(xí)課前對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)有了學(xué)習(xí)，復(fù)習(xí)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效在線，有效的復(fù)習(xí)應(yīng)該從具體的問(wèn)題入手.

例如，《橢圓定義》的復(fù)習(xí)課，筆者首先借助于PPT在大屏幕上投影了一個(gè)具體的問(wèn)題.

問(wèn)題1：已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（-6，0），B（6，0），兩條邊AC和BC所在直線的斜率之積等于-，試求頂點(diǎn)C的軌跡方程，根據(jù)所得的方程形式指出其對(duì)應(yīng)的圖形.

借助于這個(gè)問(wèn)題能夠在復(fù)習(xí)伊始就凝聚學(xué)生的注意力，學(xué)生的思維：設(shè)C（x，y），由題設(shè)理可得其軌跡方程為，學(xué)生一眼即可看出該方程對(duì)應(yīng)的是橢圓（當(dāng)然不包含A、B）.

學(xué)生得出上述結(jié)論后，其實(shí)就已經(jīng)完成了對(duì)“橢圓”復(fù)習(xí)的第一個(gè)步驟，順勢(shì)引導(dǎo)可以將學(xué)生的思維引向創(chuàng)新點(diǎn)上去，可以追加如下幾個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題2：你能否從得到的軌跡方程及已知條件出發(fā)，有什么新的發(fā)現(xiàn)？如軌跡方程與定點(diǎn)坐標(biāo)、斜率乘積之間存在著怎樣的關(guān)系？

問(wèn)題3：你能從上述分析出發(fā)，將命題一般化，編制一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

相當(dāng)一部分學(xué)生能夠依葫蘆畫(huà)瓢，生成如下問(wèn)題：已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（a，0），B（-a，0），兩條邊AC和BC所在直線的斜率之積等于-（a＞b），試求頂點(diǎn)C的軌跡方程.學(xué)生很容易得到所編問(wèn)題的答案0），進(jìn)一步可以得到橢圓的“定義”：“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的直線斜率乘積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.”

二、順勢(shì)而導(dǎo)，有所創(chuàng)新

從學(xué)生復(fù)習(xí)總結(jié)出來(lái)的定義出發(fā)，我們還可以進(jìn)一步挖掘.

例如，上述結(jié)論得到后，可以提出如下問(wèn)題引導(dǎo)進(jìn)一步往下思考，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知?jiǎng)?chuàng)新.

問(wèn)題4“：橢圓定義”中的這個(gè)常數(shù)取值可以是任意嗎？

問(wèn)題5：它的軌跡是整個(gè)橢圓嗎？

通過(guò)這樣的問(wèn)題學(xué)生進(jìn)一步歸納出“新的定義”：“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A（1a，0），A（2-a，0）的斜率乘積等于常數(shù)-的點(diǎn)的軌跡加上A1，A2叫做橢圓，此時(shí)k1k2=-∈（-1，0）.

問(wèn)題6：那么，今天得到的兩個(gè)“定義”與教材中我們前面學(xué)習(xí)的橢圓定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程之間存在著怎樣的聯(lián)系呢？

學(xué)生在回憶標(biāo)準(zhǔn)化方程的過(guò)程中將復(fù)習(xí)課上學(xué)生的得到的“定義”與標(biāo)準(zhǔn)化定義進(jìn)行比較、分析，學(xué)生在思考其內(nèi)在聯(lián)系時(shí)會(huì)主動(dòng)搜索切入口，整個(gè)過(guò)程從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)有效延展，學(xué)生關(guān)注方程式變形時(shí)對(duì)應(yīng)的幾何意義.

在學(xué)生復(fù)習(xí)的過(guò)程中，順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓的焦半徑公式，并滲透降維（化歸）思想.

三、精選例題，鞏固方法

數(shù)學(xué)課必須精選例題來(lái)促進(jìn)知識(shí)、方法的內(nèi)化，在基本知識(shí)和方法復(fù)習(xí)完畢后，本節(jié)課可以選擇如下三個(gè)例題引導(dǎo)學(xué)生在做題時(shí)完成思想方法的鞏固與應(yīng)用.

例2 已知橢圓=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)P，線段PF1的中點(diǎn)正好落在y軸上，求|PF1|與|PF2|的比值.

例3 已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（-6，0），B（6，0），兩條邊AC和BC所在直線的斜率之積等于，試著求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

例1和例2旨在促進(jìn)學(xué)生在應(yīng)用規(guī)律的過(guò)程中進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)知識(shí)、方法的強(qiáng)化，例3相對(duì)于課上的問(wèn)題1僅僅將-改為了，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)啟了又一次有意義的探索.

四、教后反思

學(xué)生在學(xué)習(xí)“橢圓、雙曲線的第二定義”時(shí)，對(duì)于例子的證明，學(xué)生是完全可以勝任的，不過(guò)學(xué)生在“右準(zhǔn)線”的產(chǎn)生原因上往往會(huì)感到難，困惑橢圓外為什么會(huì)出現(xiàn)如此一條直線，所以借助于該方式來(lái)定義橢圓，學(xué)生就會(huì)感覺(jué)“別扭”，有部分學(xué)生百思不得其解，甚至?xí)杏X(jué)學(xué)習(xí)起來(lái)很茫然，為此切忌照搬教材，而應(yīng)該從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，將學(xué)生已有與之相近的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為“固著點(diǎn)”向外發(fā)散，從焦半徑表達(dá)式入手找準(zhǔn)線，這樣做固然有其優(yōu)點(diǎn)，能夠?qū)E圓與拋物線的定義很好地銜接，同時(shí)又能夠兼顧曲線與方程的純粹性、完備性，不過(guò)問(wèn)題就在于焦半徑公式的化簡(jiǎn)不容易理解，它需要與橢圓方程聯(lián)立，計(jì)算較為煩瑣，本文從具體的問(wèn)題出發(fā)，給學(xué)生帶來(lái)了一節(jié)以“研究”貫穿始終的課堂，完成重點(diǎn)知識(shí)的復(fù)習(xí)，從一個(gè)具體問(wèn)題的探索引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的一個(gè)新的定義，然后回到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)復(fù)習(xí)中來(lái)，在推導(dǎo)的過(guò)程中挖掘和進(jìn)一步探索，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)多個(gè)橢圓的定義之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系及焦半徑公式的幾何意義，將多個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)溝通在一起，形成了濃縮型的知識(shí)塊，學(xué)生對(duì)“橢圓定義”有了更為全面的理解，而且借助于具體的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生步步深入，有所發(fā)現(xiàn)，學(xué)生有充足的過(guò)程體驗(yàn)，學(xué)習(xí)欲望有效激發(fā)，在發(fā)現(xiàn)進(jìn)程中探究、應(yīng)變的能力有所提升，不僅知識(shí)與方法獲得了進(jìn)一步鞏固，學(xué)生還獲得了成功的喜悅，通過(guò)這樣的復(fù)習(xí)學(xué)生對(duì)圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)有了更為清晰的認(rèn)識(shí)，以后觸類旁通，將這種學(xué)習(xí)經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)遷移過(guò)來(lái)，有助于“雙曲線的第三定義和焦半徑公式”的推導(dǎo)，而且能夠主動(dòng)地構(gòu)建其與第一、第二定義間存在的內(nèi)在聯(lián)系，這才是學(xué)習(xí)能力真正的提升.F