張飛飛

【摘要】偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，可見數(shù)形結(jié)合的重要性.本文從以數(shù)化形、以形變數(shù)和形數(shù)互變?nèi)齻€(gè)方面探討了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.通過對數(shù)形結(jié)合中三大類型的具體例題分析，將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，可體會到使用數(shù)形結(jié)合方法解題更加簡單快捷.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)量關(guān)系；數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)生活數(shù)與形的數(shù)學(xué)，在我們的生活中充當(dāng)著不可或缺的角色.而“數(shù)”與“形”是研究數(shù)學(xué)的基本，“數(shù)”與“形”的結(jié)合不僅僅是一種重要的解題方法，更是數(shù)學(xué)中的一種思想方法.一方面，可以借助圖形的特點(diǎn)、性質(zhì)將很多抽象的數(shù)學(xué)概念及數(shù)量關(guān)系形象化、簡易化，給人直覺的啟發(fā)；另一方面，要獲得精確的結(jié)論，可以將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這種“數(shù)”和“形”的相互轉(zhuǎn)化，不僅可以使一些題目的解法簡潔明了，因此，在解題中應(yīng)當(dāng)完整地理解.與數(shù)形結(jié)合有關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，善于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來處理教材和例題.接下來我將闡述數(shù)形結(jié)合的三種方法以及這三種方法在解題中的應(yīng)用技巧.

一、數(shù)形結(jié)合的方法

（一）以數(shù)化形

數(shù)題形解，借助形的生動性和直觀性來闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，數(shù)作為目的的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想.

（二）以形變數(shù)

形題數(shù)解，借助數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，把形轉(zhuǎn)化為數(shù)，即以數(shù)作為手段，形作為目的的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想.

（三）形數(shù)互變

數(shù)形結(jié)合，不僅要想到“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密，還要想到由“數(shù)”的嚴(yán)密性聯(lián)系到“形”的直觀.

二、數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

（一）以數(shù)化形的應(yīng)用

1.圖形法

例1 某校高一5班有學(xué)生45人，每人在暑假里都參加了體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，三項(xiàng)都參加有多少人？

圖1

解 設(shè)A，B，C分別表示參加足球、排球、和游泳的人數(shù)，card（）表示集合元素的個(gè)數(shù)，則：

card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）+card（A∩B∩C）=45，

代入得，25+22+24-12-9-8+card（A∩B∩C）=45.

解得card（A∩B∩C）=3，即三項(xiàng)都參加的有3人.

容斥問題在數(shù)學(xué)中較為常見，一般很難發(fā)現(xiàn)條件之間存在的聯(lián)系，但只要學(xué)會畫圖，利用數(shù)形結(jié)合把抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)化為直觀的圖像，那么這類問題并非難以掌握.

2.圖像法

例2 （2016·高考山東卷）已知函數(shù)f（x）=|x|，x≤m，x2-2mx+4m，x>m， 其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是多少？

解 當(dāng)m>0時(shí)，函數(shù)f（x）=|x|，x≤m，x2-2mx+4m，x>m 的圖像如圖2，當(dāng)x>m時(shí)，f（x）=x2-2mx+4m=（x-m）2+4m-m2>4m-m2，

所以要使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，必須滿足4m-m20），即m2>3m（m>0），解m>3，故m的取值范圍是（3，+∞）.

圖2

借助于圖像研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法，函數(shù)圖像的幾何特殊與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體會了數(shù)形結(jié)合的特征與方法.討論方程的解的個(gè)數(shù)是高考考點(diǎn)之一，利用數(shù)形結(jié)合可以簡化思考過程，解決這類問題應(yīng)注意兩點(diǎn)：

（1）討論方程的解，一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使兩問題轉(zhuǎn)化為討論雙曲線的交點(diǎn)問題，但用此方法討論方程的解一定要注意圖像的準(zhǔn)確性和全面性.

（2）正確做出兩個(gè)函數(shù)的圖像是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合.

（二）以形變數(shù)的應(yīng)用

1.代數(shù)法

例3 在四面體S-ABC中，∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，SA=a，SB=b，SC=c，高SO=h.證明：1a2+1b2+1c2=1h2.

分析 因?yàn)镾A，SB，SC已知，所以AB，AC，BC的長度，△ABC的面積S、體積V都可以通過a，b，c來表示，那么就可以驗(yàn)證結(jié)論是否成立，剩下的就是計(jì)算的解題技巧.

圖3

證明 設(shè)△ABC邊上的高為AD，BD=x，則

CD=BC-x=b2+c2-x，

AD2=AC2-CD2=a2+c2-（-x）2，

AD2=AB2-BD2=a2+b2-x2.

即得x=b2b2+c2.

∴AD2=a2+b2-x2=a2+b2-b4b2+c2=a2b2+a2c2+b2c2b2+c2.

∴S△ABC=12a2b2+b2c2+c2a2，

V=h6a2b2+b2c2+c2a2.

另一方面，V=16abc.從而h=abca2b2+b2c2+c2a2.

如果解答一個(gè)幾何問題，用幾何方法的話較難解決，但是它的條件和結(jié)論都很容易用代數(shù)中的式子來表現(xiàn)出來，那么就可以把解決這個(gè)問題的過程轉(zhuǎn)為代數(shù)中的演算來完成.

2.三角法

圖4

例4 （2016·高考四川卷）已知正三角形ABC的邊長為23，平面ABC內(nèi)的動點(diǎn)P，M滿足|AP|=1，PM=MC，則|BM|2的最大值是多少？

解 我們以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為B（3，-3），C（3，3）.由|AP|=1，可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（cosθ，sinθ），其中θ∈[0，2π）.而PM=MC，即M是PC的中點(diǎn)，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為

M3+cosθ2，3+sinθ2.則

|BM|2=3-cosθ22+33+sinθ22=37+12sinθ-π64≤37+124=494.即當(dāng)θ=23π時(shí)，|BM|2取得最大值494.

在幾何解題中，有些不能簡單地用代數(shù)中的式子表現(xiàn)出來，對于此類型的題目，若能借助三角函數(shù)把這些幾何關(guān)系依據(jù)圖形的性質(zhì)寫出式子，這樣就容易把圖形轉(zhuǎn)為對式子的運(yùn)算以及討論.

（三）形數(shù)互變的應(yīng)用

例5 （2017·合肥市一模）過雙曲線x2a2-y2b2=1（b>a>0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c>0）作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點(diǎn)P，Q為坐標(biāo)原點(diǎn).若OE=12（OF+OP），則雙曲線的離心率為.

圖5

解 如圖5所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′（c，0），因?yàn)閽佄锞€的方程為y2=4cx，則F′為拋物線的焦點(diǎn).由于OE=12（OF+OP），所以E為PF的中點(diǎn)，|PF|=2b.又因?yàn)镺為FF′的中點(diǎn)，則OE是△FF′P的中位線.因PF⊥OE且|OE|=a，則PF′⊥FP且|PF′|=2a.設(shè)P（x，y），由拋物線定義有|PF′|=x+c=2a，

則|PF|2=|FF′|2-|PF′|2=4c2-4a2.另一方面，|PF|=（x+c，y），則

|PF|2=（x+c）2+y2=4a2+4c（2a-c），所以4c2-4a2=4a2+4c（2a-c），整理得c2-ac-a2=0，即e2-e-1=0，解得e=5+12或e=1-52（舍）.

解決這類問題往往需要從已知和結(jié)論同時(shí)出發(fā)，認(rèn)真分析找出內(nèi)在的“形”“數(shù)”互變.一般方法是看“形”思“數(shù)”、見“數(shù)”想“形”，實(shí)質(zhì)就是以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”.

數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法，它不僅是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，還是知識的精髓，更是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.因此，我們要注重方法的領(lǐng)悟、概括和總結(jié)，要重視數(shù)學(xué)思想在解解題中的應(yīng)用.

【參考文獻(xiàn)】

[2]徐國央.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（1）：115-116.

[6]柯愛超.“數(shù)形結(jié)合”創(chuàng)高效[J].內(nèi)蒙古教育，2013（8）：34.endprint