沈鵬源

【摘要】本文圍繞高等數(shù)學(xué)中的微積分證明不等式進(jìn)行討論，利用函數(shù)極值、函數(shù)的單調(diào)性以及拉格朗日中值定理等，對(duì)于函數(shù)相關(guān)的不等式加以證明，并通過相關(guān)例子描述在對(duì)不等式進(jìn)行證明時(shí)微積分的應(yīng)用，以及在不同的不等式證明過程中采用不同中值定理的區(qū)別.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；微積分證明；不等式

在高中數(shù)學(xué)中，不等式具有一定的普遍性和困難性，在高等數(shù)學(xué)發(fā)揮著重要的作用，在對(duì)不等式進(jìn)行證明時(shí)，模式并不固定，會(huì)因?yàn)轭}目的不同，解題的方法也不盡相同，具有較強(qiáng)的技巧性和靈活性.而微積分證明不等式對(duì)高等數(shù)學(xué)的發(fā)展具有至關(guān)重要的作用.

一、運(yùn)用函數(shù)最小值、最大值和極值對(duì)不等式加以證明

（一）最小值、最大值和極值的求法

1.最小值、最大值求法

（1）閉區(qū)間[a，b]連續(xù)函數(shù)的最小值與最大值的求法：需要先把可疑點(diǎn)求出來，再把端點(diǎn)a，b和可疑點(diǎn)處的兩個(gè)函數(shù)值進(jìn)行比較，最大者即為最大值，反之則為最小值.

（2）開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的最小值、最大值求法：如果f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，并且極值點(diǎn)具有唯一性，那么這個(gè)極值點(diǎn)就是最小值點(diǎn)或最大值點(diǎn)[1].

2.極值求法

（1）將可疑點(diǎn)求出來，即不可導(dǎo)連續(xù)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn).

（2）通過極值充分條件對(duì)可疑點(diǎn)進(jìn)行判斷，判斷其是否為極值點(diǎn).

（二）證明方法

在相同的“形式”在不等式兩邊出現(xiàn)時(shí)，輔助函數(shù)可以通過此形式來構(gòu)造.

例1 證明：如果p>1，則對(duì)應(yīng)[0，1]中的任意x有：

1≥xp+（1-x）p≥12p-1.

分析 設(shè)輔助函數(shù)f（x）=xp+（1-x）p（0≤x≤1），如果設(shè)g（x）=12p-1，F(xiàn)（0）=f（0）-g（0）=1-12p-1=F（1）≠0（0≤x≤1），所以，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明具有一定的難度.不等式的兩端都為常數(shù)形式，因此，可以運(yùn)用最值的方法進(jìn)行計(jì)算.

證明 設(shè)函數(shù)f（x）=xp+（1-x）p（0≤x≤1）.

有f′（x）=pxp-1-p（1-x）p-1=p[xp-1-（1-x）p-1]，令f′（x）=0，得到唯一駐點(diǎn)x=12，從而，f″12=p（p-1）12p-2+p（p-1）12p-2=2p（p-1）12p-2>0，p>1，所以，x=12是極小值點(diǎn)同時(shí)也是最小值點(diǎn)，最小值為f12=12p-1，兩邊界為f（0）=f（1）=1.

所以1≥xp+（1-x）p≥12p-1.

說明：運(yùn)用該方法需要題設(shè)滿足以下條件：

1.所設(shè)函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在所討論區(qū)間上不屬于單調(diào)函數(shù).

2.可以證明不夠嚴(yán)格的不等式，對(duì)于嚴(yán)格性較強(qiáng)的不等式不能證明[2].

二、運(yùn)用可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)不等式加以證明

可以運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系對(duì)可導(dǎo)函數(shù)類的不等式加以證明，以下是這類函數(shù)的證明方法和特征：

如果f（x），g（x）可導(dǎo)，證明f（x）>g（x）.

證明 1.用減法，設(shè)x>a，可以轉(zhuǎn)換成證明f（x）-g（x）>0.

構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），如果F′（x）>0，F(xiàn)（a）=0，則F（x）單調(diào)遞增，所以，F(xiàn)（x）>F（a）=0，所以F（x）=f（x）-g（x）>0.從而f（x）>g（x）.如果F′（x）不能判斷是否大于0，而F′（a）=0，則求F″（x）.如果F″（x）>0，則F′（x）單調(diào)遞增，即F′（x）>F（a）=0，從而F′（x）單調(diào)遞增，即F′（x）>F′（a）=0，從而F（x）單調(diào)遞增，則F（x）>F（a）=0，所以f（x）>g（x）.

2.用除法，設(shè)a1，從而構(gòu)造輔助函數(shù)：F（x）=f（x）g（x）.F（a）=1或F（b）=1，F(xiàn)′（x）=f′（x）g（x）-g′（x）f（x）g2（x）.

因?yàn)間2（x）>0，所以考察分子可設(shè)為：

φ（x）=f′（x）g（x）-g′（x）f（x），

φ′（x）=f″（x）g（x）+f′（x）g′（x）-f（x）g″（x）-f′（x）g′（x），

φ′（x）=f″（x）g（x）-f（x）g″（x）.

如果φ′（x）>0，F(xiàn)（a）=1，φ（a）=0，則φ（x）單調(diào)遞增，F(xiàn)′（x）>0，即F（x）單調(diào)遞增，此時(shí)F（x）>F（b）=1，即f（x）>g（x）.

例2 求證sinx>x-16x3（x>0）.

證明 F（x）=sinx-x-16x3，F(xiàn)（0）=0，

F′（x）=cosx-1+x22，F(xiàn)′（0）=0，

F″（x）=-sinx+x，F(xiàn)″（0）=0，

F（x）=-cosx+1≥0，得F″（x）單調(diào)遞增，

F″（x）>F″（0）=0，得F′（x）單調(diào)遞增，

F′（x）>F′（0）=0，得F（x）單調(diào)遞增，

則F（x）>F（0）=0，

即sinx>x-16x3.

本題中F′（x）是否大于0無法判斷，但端點(diǎn)值為0，因此，求F″（x），F(xiàn)″（x）仍然不能判斷是否大于0，但F（0）>0，繼續(xù)求F″（x），F(xiàn)′（x），F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，最后得出需要求證的結(jié)論，還可用定積分的方法來證明.

例3 當(dāng)0≤x≤π2，求證sinx≥2πx.

分析 如果令F（x）=sinx-2πx，F(xiàn)′（x）=cosx-2π，由于導(dǎo)數(shù)符號(hào)的不斷變化，所以輔助函數(shù)F（x）無單調(diào)性，需要重新設(shè)定輔助函數(shù)F（x），可以使用除法.

證明 令F（x）=sinxx，F(xiàn)（0）=limF（x）=1，

Fπ2=2π，

F′（x）=xcosx-sinxx2，令g（x）=xcosx-sinx，g（0）=0，

g′（x）=cosx-xsinx-cosx≤0，

∴g（x）單調(diào)遞減，因此，g（x）≤g（0）=0.

∵F′（x）≤0，∴F（x）單調(diào)遞減，∴F（x）≥Fπ2=2π，

∴sinx≥2πx.

說明：在使用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)不等式進(jìn)行證明時(shí)，不等式兩邊函數(shù)需要具有可導(dǎo)性，而輔助函數(shù)F（x）的構(gòu)造需要在某開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，閉區(qū)間上連續(xù)，并保證閉區(qū)間端點(diǎn)F（x）值為0，F(xiàn)（x）的單調(diào)性需要通過F′（x）的符號(hào)進(jìn)行判斷，通常會(huì)先用減法，如果減法不能成立，且滿足除法的具體要求，則可以使用除法進(jìn)行證明[3].

三、運(yùn)用拉格朗日中值定理對(duì)不等式加以證明

（一）拉格朗日中值定理

設(shè)函數(shù)F（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則有：f（b）-f（a）b-a=f′（ξ），其中ξ∈（a，b），b>a.

（二）證明思想

拉格朗日中值定理存在的方式為等式，運(yùn)用該定理對(duì)不等式加以證明，在拉格朗日的公式中ξ∈（a，b），根據(jù)ξ在（a，b）間的取值可以對(duì)f′（ξ）的取值范圍加以估計(jì)，最終得到不等式[4].

（三）證明步驟

1.對(duì)函數(shù)所在區(qū)間內(nèi)是否滿足拉格朗日中值定理的具體條件加以驗(yàn)證，[a，b]為自變量的所在區(qū)間.

2.求導(dǎo)f（x），得到f′（ξ），并以此建立等式.

f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a，ξ∈（a，b）.

3.f′（ξ）的范圍可以通過ξ的范圍加以確定，從而對(duì)不等式進(jìn)行驗(yàn)證.

例4 設(shè)0

證明 設(shè)f（x）=lnx，則f′（x）=1x，對(duì)于f（x）=lnx在x∈[a，b]運(yùn)用拉格朗日中值定理有l(wèi)nb-lna=1ξ（a，b），ξ∈（a，b），

即lnb-lnab-a=1ξ，∵a2+b2≥2ab，∴1b≥2aa2+b2.

∵ξ1b（0

∵lnb-lnab-a=1ξ，∴2aa2+b2

說明：拉格朗日中值定理將導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值相連接.在本題中并沒有明確ξ的位置，對(duì)于不等式來說，也不必精確，所以可以運(yùn)用中值定理進(jìn)行證明，但要注意f（a）和區(qū)間[a，b]的選擇[5].

四、結(jié) 語

綜上所述，為使用微積分對(duì)不等式加以證明的主要方法，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還要結(jié)合問題的實(shí)際情況對(duì)方法進(jìn)行選擇，部分不等式的證明可以使用多種方法，應(yīng)對(duì)證明方法的選擇技巧加以熟練的掌握，多思考，多總結(jié)，對(duì)微積分的理論和方法加以靈活的運(yùn)用，明確問題的本質(zhì)，找出切入點(diǎn)，將證明不等式的問題簡單快捷地解決.

【參考文獻(xiàn)】

[1]左淑梅.高等數(shù)學(xué)中微積分證明不等式的探討[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013（2）：52-53+55.

[2]王鳳莉.微積分在證明不等式中的應(yīng)用[J].石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（6）：78-80.

[3]劉琛.微積分在不等式證明上的應(yīng)用分析[J].魅力中國，2014（6）：206.

[4]柴云.高等數(shù)學(xué)中微積分證明不等式的探討[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2009（20）：244-247.

[5]王五生，覃麗君.微積分在不等式證明中的應(yīng)用[J].河池學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（5）：6-11.