編者按：本刊組織編輯于2018年4月赴河北邢臺(tái)，對(duì)該市的教育教學(xué)情況進(jìn)行了調(diào)研并深入到英華小學(xué)等實(shí)地考查和座談，看到了他們數(shù)學(xué)教研方面取得的成效。鑒于此，本刊特約小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專家、冀教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的主要編者之一、原邢臺(tái)市教育局教研室副主任馬增福老師，就小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“核心素養(yǎng)”的內(nèi)容與教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行解讀和總結(jié)。從2018年19/22期開(kāi)始，我們將連續(xù)刊出馬增福老師的文章，以供廣大教師借鑒，以期能引起大家對(duì)“核心素養(yǎng)”的進(jìn)一步思考。

摘 要：在教學(xué)中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就需要教師堅(jiān)持以讀懂《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念為指向；以理解把握教材為重點(diǎn)；以改變課堂教學(xué)方法為手段，結(jié)合人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，簡(jiǎn)析教材中“模型思想”部分內(nèi)容中“核心素養(yǎng)”的體現(xiàn)及其教學(xué)實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；教學(xué)實(shí)踐；模型思想

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2018）31-0004-08

模型思想是2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）新增加的核心概念。所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形象化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象、概括地表述所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)模型一般是實(shí)際事物的一種數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化。在小學(xué)，數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、法則、定律、規(guī)律、數(shù)量關(guān)系、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。“數(shù)學(xué)模型”的主要模型形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)和圖表，因而它與符號(hào)思想有很多相似之處。如，模型思想與符號(hào)化思想都是經(jīng)過(guò)抽象后用符號(hào)或圖表表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式。而不同之處在于，模型思想更加注重如何經(jīng)過(guò)分析抽象建立模型，更加重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決練習(xí)、生活應(yīng)用和科學(xué)研究中的各種問(wèn)題。這也是落實(shí)《課標(biāo)》中“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”的重要方面。小學(xué)模型思想的教學(xué)過(guò)程應(yīng)以“問(wèn)題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與擴(kuò)展”的模式展開(kāi)。問(wèn)題情境：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題。這說(shuō)明發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，也是《課標(biāo)》“兩能變四能”的原因之一。建立模型：“用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律和空間形式”。這一步，主要是通過(guò)觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象得到模型。這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。解釋、應(yīng)用與擴(kuò)展：通過(guò)模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的意義。小學(xué)生模型思想的形成是多方位的，應(yīng)該蘊(yùn)涵于“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等教學(xué)內(nèi)容之中，并與數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、推理能力等緊密結(jié)合。

一、教材中“模型思想”內(nèi)容簡(jiǎn)析

（一）數(shù)與代數(shù)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域涉及到的概念、性質(zhì)、法則、定律、數(shù)量關(guān)系、程序、方程等很多內(nèi)容。而這些內(nèi)容都與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系密切。

1. 概念

如整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的概念，以及由數(shù)概念派生出的數(shù)的讀、寫(xiě)方法，大小比較方法等。而這些內(nèi)容的模型（符號(hào)）建構(gòu)，都經(jīng)歷了“問(wèn)題情境——建立模型——應(yīng)用與擴(kuò)展”的過(guò)程。如：

整數(shù)概念模型的建立、應(yīng)用與擴(kuò)展。無(wú)論是10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)還是億以上大數(shù)的認(rèn)識(shí)，首先經(jīng)歷了從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中發(fā)現(xiàn)需要用數(shù)來(lái)表示事物的順序或事物多少的問(wèn)題，提出用數(shù)字（符號(hào)）來(lái)表示的過(guò)程。然后分析“數(shù)”表示的模式，即數(shù)字在不同的數(shù)位上表示的意義分別是什么，通過(guò)分析、概括抽象出“數(shù)”的表示模型，即某一個(gè)數(shù)位上是幾就表示幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位，同一個(gè)數(shù)字在不同的數(shù)位上表示的意義不同。如5在個(gè)位上表示5個(gè)一，在十位上表示5個(gè)十……在千億位上表示5個(gè)千億等，這樣就完成了用數(shù)表示具體量的模型建構(gòu)。最后通過(guò)模型與外部產(chǎn)生聯(lián)系，用數(shù)表示生活、生產(chǎn)中的事物的數(shù)量等。如一排學(xué)生一共有7人，最后一個(gè)人是第7人；我們班有學(xué)生48人，全校有學(xué)生1890人……某企業(yè)2017年的生產(chǎn)利潤(rùn)用數(shù)量表示是3750萬(wàn)元等。

數(shù)的讀法。數(shù)的讀法是結(jié)合具體情境抽象出如何讀數(shù)模型的。如百以內(nèi)數(shù)的讀法，結(jié)合小棒圖，認(rèn)識(shí)10個(gè)一是1個(gè)十，10個(gè)十是一百；10的數(shù)字“1”在十位上，讀作一十；70的數(shù)字“7”在十位上讀作七十； 23的數(shù)字“2”在十位上，數(shù)字“3”在個(gè)位上，讀作二十三……100的數(shù)字“1”在百位上，讀作一百；個(gè)位上或十位、個(gè)位上連續(xù)的0都不讀。分析讀數(shù)模式，十位上是1讀一十，十位上是2讀二十……個(gè)位上是幾就讀幾（10以內(nèi)數(shù)讀法遷移），個(gè)位上是0不讀。抽象概括讀數(shù)模型：十位上是幾就讀幾個(gè)十，個(gè)位上是幾就讀幾，個(gè)位上或十位、個(gè)位連續(xù)是0時(shí)都不讀。最后，通過(guò)運(yùn)用模型練習(xí)數(shù)出或讀出生活中各種事物的數(shù)量。百以內(nèi)讀數(shù)模型遷移到萬(wàn)以內(nèi)數(shù)讀數(shù)的過(guò)程，首先是遷移到千以內(nèi)數(shù)，遷移的方法是結(jié)合實(shí)物或點(diǎn)子圖，理解哪一位上是幾就讀幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位。如728讀作七百二十八。數(shù)字中間十位上是0的讀數(shù)方法，是在學(xué)生“從一百起，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)到一百二十……”，在數(shù)的過(guò)程中，初步知道百位和個(gè)位都有數(shù)字，十位上是0，這兩個(gè)數(shù)字中間的0要讀出來(lái)。然后遷移到萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)，例7結(jié)合計(jì)算器先認(rèn)識(shí)四位數(shù)的讀數(shù)模式，最高位是千位，從千位讀起，每個(gè)數(shù)位上是幾就讀幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位，如3475讀作三千四百七十五；2080讀作二千零八十……，然后抽象出萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)方法，建立模型。即從高位讀起，哪一位上是幾就讀幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位，中間有一個(gè)或兩個(gè)0，只讀一個(gè)“零”，末尾不管有幾個(gè)0都不讀。最后，運(yùn)用讀數(shù)模型讀出指定的數(shù)或生活中的數(shù)量，掌握讀數(shù)方法。萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)方法遷移到億以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)時(shí)，教材是結(jié)合“數(shù)位順序表”呈現(xiàn)的，學(xué)生嘗試讀數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)如24960000讀作二千萬(wàn)四百萬(wàn)九十萬(wàn)六萬(wàn)的情況，這是萬(wàn)以內(nèi)數(shù)讀法的正遷移，應(yīng)肯定這種讀法是正確的。然后通過(guò)比較“二千萬(wàn)四百萬(wàn)九十萬(wàn)六萬(wàn)”與“二千四百九十六萬(wàn)”，哪種讀法簡(jiǎn)便，知道萬(wàn)級(jí)數(shù)的讀法模式，按級(jí)數(shù)的讀法來(lái)讀，在萬(wàn)級(jí)的末尾加個(gè)“萬(wàn)”字比較簡(jiǎn)便。接著，學(xué)生以填空形式歸納總結(jié)出含有兩級(jí)的數(shù)怎么讀。之后，運(yùn)算模型通過(guò)“做一做”掌握含有兩級(jí)數(shù)的讀法。億以上數(shù)的讀法，由學(xué)生自主嘗試，按“含有兩級(jí)數(shù)的讀法”來(lái)研究含有三級(jí)的數(shù)怎樣讀，歸納總結(jié)出多位數(shù)讀數(shù)模型，即：先分級(jí)，再?gòu)淖罡呒?jí)讀起，讀完億級(jí)或萬(wàn)級(jí)的數(shù)，要加“億”字或“萬(wàn)”字，每一級(jí)中間不管有一個(gè)或兩個(gè)0都只讀一個(gè)“零”，每一級(jí)末尾不管有幾個(gè)0，都不讀。在學(xué)生掌握讀數(shù)方法后，應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生讀數(shù)應(yīng)用練習(xí)。

數(shù)的大小比。數(shù)的大小比較模型是在一年級(jí)上冊(cè)建構(gòu)的。教材從具體情境中事物的比多、比少引入，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。即猴子與香蕉比多少，一個(gè)猴子對(duì)一個(gè)香蕉，3個(gè)猴子與2個(gè)香蕉比多1個(gè)，也就是猴子多，香蕉少；猴子與梨比，3個(gè)猴子與4個(gè)梨比少1個(gè)，也就是猴子少，梨多。這種比多少的方法（模式）雖然直觀、清楚，但很麻煩。然后通過(guò)分析3只猴子與2個(gè)香蕉數(shù)的大?。ㄕJ(rèn)識(shí)了2添上1是3），得出3大于2。將事物數(shù)量的比較多少轉(zhuǎn)化為數(shù)的大小比較。介紹符號(hào)表達(dá)模式：為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便、表達(dá)方便，把“大于”兩個(gè)字用“>”符號(hào)表示，把“小于”兩個(gè)字用“<”符號(hào)表示。因?yàn)?大于2，可以寫(xiě)作“3>2”；3小于4可以寫(xiě)作“3<4”。3大于2，也可以說(shuō)是2小于3，所以可以寫(xiě)成“2<3”。抽象模型：在比較數(shù)的大小書(shū)寫(xiě)時(shí)，把大數(shù)寫(xiě)在“開(kāi)口”一邊，小數(shù)寫(xiě)在“尖角”的一邊，如果大數(shù)寫(xiě)在符號(hào)左邊，小數(shù)寫(xiě)在右邊，用“>”連接；如果大數(shù)寫(xiě)在符號(hào)右邊，小數(shù)寫(xiě)在左邊，用“<”連接。模型應(yīng)用：通過(guò)“做一做”練習(xí)題掌握數(shù)大小比較方法。模型拓展：隨著學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的深入和生活經(jīng)驗(yàn)的豐富，數(shù)的大小比較模型在學(xué)習(xí)方面將拓展到多位數(shù)的大小比較、小數(shù)的大小比較、分?jǐn)?shù)的大小比較以及幾個(gè)數(shù)的大小比較并排序，只是比較方法在變，模型不變。在生活中將應(yīng)用模型進(jìn)行分析、判斷和定論。如二年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)了萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的大小比較后可以解決這方面的問(wèn)題：李伯伯家和王叔叔家去年種了同樣大的一塊小麥田，李伯伯家收小麥1350千克，王叔叔家收小麥1420千克。誰(shuí)家的收成好一些？在學(xué)習(xí)了速度、時(shí)間和路程的數(shù)量關(guān)系后，可判斷這樣的問(wèn)題：甲、乙兩輛小汽車同時(shí)從縣城開(kāi)往省城，到達(dá)省城時(shí)甲車用了120鐘，乙車用了90分鐘。哪輛汽車的速度快一些？

2.性質(zhì)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要性質(zhì)有減法的性質(zhì)、除法的性質(zhì)、小數(shù)的基本性質(zhì)、商不變的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)等。

減法的性質(zhì)。四年級(jí)下冊(cè)“加法運(yùn)算定律”例4是減法的性質(zhì)。教材以情境加問(wèn)題方式呈現(xiàn)：一本書(shū)共234頁(yè)，一位叔叔昨天看到第66頁(yè)，今天又看了34頁(yè)，還剩下多少頁(yè)？可以讓學(xué)生試完成。教材呈現(xiàn)了學(xué)生交流的三種解題模式。首先理解算理，重點(diǎn)使學(xué)生明確“234-66-34”和“234-（66+34）”列式的道理，每一步算的是什么？然后觀察三位同學(xué)都是怎樣算的，認(rèn)為哪種計(jì)算簡(jiǎn)便？之后由三種計(jì)算模式結(jié)果相等，推出兩個(gè)等式，即：①234-66-34=234-（66+34）；②234-66-34=234-34-66。觀察兩個(gè)等式，抽象數(shù)學(xué)模型。由等式①可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，等于減去這兩個(gè)數(shù)的和。由等式②可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，交換減數(shù)的位置差不變。驗(yàn)證：可以讓學(xué)生自主舉例檢驗(yàn)減法性質(zhì)的正確性。驗(yàn)證無(wú)誤后抽象出減法性質(zhì)字母表達(dá)式，即：a-b-c=a-（b+c）；a-b-c=a-c-b。應(yīng)用：完成“做一做”練習(xí)題及解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。擴(kuò)展：一個(gè)數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)等于減去這幾個(gè)數(shù)的和。

3.數(shù)量關(guān)系

教材在四年級(jí)上冊(cè)安排了“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”和“速度×?xí)r間=路程”常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系。教材中涉及到的數(shù)量關(guān)系還很多，如：工作效率×工作時(shí)間=工作總量、每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)、利潤(rùn)=出售價(jià)-成本、利息=本金×利率×?xí)r間、奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)、總數(shù)÷總份數(shù)=平均數(shù)等，另外，加、減、乘、除各部分之間關(guān)系、計(jì)量單位的換算等內(nèi)容也都是數(shù)量關(guān)系的內(nèi)容，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是結(jié)合相應(yīng)內(nèi)容安排的。

速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系。教材呈現(xiàn)了兩個(gè)問(wèn)題并要求學(xué)生自己解答。（1）一輛汽車每小時(shí)行70千米，4小時(shí)行多少千米？（2）一人騎自行車每分鐘行225米，10分鐘行多少米？學(xué)生能輕松解答。完成解答后，觀察、分析并交流“這兩個(gè)問(wèn)題有什么共同點(diǎn)？”發(fā)現(xiàn)情境與問(wèn)題模式，都是知道每小時(shí)或每分鐘行的路程，還知道行了幾小時(shí)或幾分鐘，求的問(wèn)題都是一共行了多少路程。在此基礎(chǔ)上，介紹“路程、速度和時(shí)間”的名稱，并將上面兩問(wèn)題中的數(shù)量、問(wèn)題與名詞建立聯(lián)系，如每小時(shí)行70千米是這輛汽車的速度。之后將模式抽象成模型，即速度×?xí)r間=路程。應(yīng)用：解決“做一做”中的問(wèn)題及生活中求路程的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。擴(kuò)展：四年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“乘、除法各部分之間關(guān)系”后，推出“路程÷速度=時(shí)間”和“路程÷時(shí)間=速度”；學(xué)習(xí)“相遇問(wèn)題”后，推出“速度和×相遇時(shí)間=總路程”；六年級(jí)學(xué)習(xí)反比例后推出反比例模型“兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量叫做成反比例的量，這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系”；字母關(guān)系式模型是“xy =K”。圖像模型如圖：

4.程序

程序是指事情進(jìn)行的前后次序。如：計(jì)算方法、四則運(yùn)算的估算方法、四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序、求近似數(shù)的方法、解決問(wèn)題的一般步驟、單位之間換算的思維方法等。

四則混合運(yùn)算中有括號(hào)的混合運(yùn)算順序。教材在四年級(jí)下冊(cè)“四則運(yùn)算”中安排了認(rèn)識(shí)中括號(hào)的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩級(jí)四則混合運(yùn)算和含有小括號(hào)的四則混合運(yùn)算。例4（1），總結(jié)學(xué)過(guò)的四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，通過(guò)添加小括號(hào)，進(jìn)一步明確小括號(hào)的作用是改變運(yùn)算順序。在含有小括號(hào)的算式里，要先算小括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；小括號(hào)外面按照先算乘、除法，再算加、減法的順序進(jìn)行。（2）在96÷（12+4）×2基礎(chǔ)上加上中括號(hào)“[ ]”，變成另一個(gè)算式96÷[（12+4）×2]，提出“運(yùn)算順序是怎樣？”的問(wèn)題。這里不需要學(xué)生探索，教師可以直接說(shuō)明：一個(gè)算式里既有小括號(hào)又有中括號(hào)，要先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算括號(hào)外面的。讓學(xué)生運(yùn)算這一模型完成（2）的計(jì)算。應(yīng)用：通過(guò)“做一做”進(jìn)一步掌握小括號(hào)里含有兩級(jí)運(yùn)算和含有小括號(hào)、中括號(hào)的運(yùn)算順序。

（二）圖形與幾何

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“圖形與幾何”領(lǐng)域涉及到圖形的概念、特性、性質(zhì)、公式、數(shù)量關(guān)系、操作程序等很多內(nèi)容。這些內(nèi)容也都與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系密切。

1.概念

無(wú)論哪一種圖形概念的建立，小學(xué)階段都依賴具體的實(shí)物、圖形或圖片，提供給學(xué)生充分的觀察，體驗(yàn)、感受、交流的機(jī)會(huì)。教材中長(zhǎng)（正）方體、長(zhǎng)（正）方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓、角、圓柱、圓錐等概念，都是從具體物體上剝離并抽象形成的，經(jīng)歷了從生活原型到模型的建構(gòu)過(guò)程。如：四年級(jí)下冊(cè)“三角形的認(rèn)識(shí)”。本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了線段、角和直觀認(rèn)識(shí)了三角形的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。三角形的認(rèn)識(shí)，教材設(shè)計(jì)了四個(gè)層次。①?gòu)闹黝}圖中找三角形引入本課的學(xué)習(xí)，感受三角形在日常生活中隨處可見(jiàn)。②提出教材中“畫(huà)一個(gè)三角形”的要求。觀察所畫(huà)的各種三角形，理解“圍成”的含義，即每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連。之后歸納出三角形概念的模型：由三條線段圍成的圖形叫做三角形。③結(jié)合教師和學(xué)生畫(huà)出的三角形，認(rèn)識(shí)三角形各部分名稱。提出“說(shuō)一說(shuō)三角形有幾條邊？幾個(gè)角？幾個(gè)頂點(diǎn)？”的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)所畫(huà)各種三角形的觀察與三個(gè)問(wèn)題的交流，形成三角形在頭腦中的模型表象：三角形有三條邊、三個(gè)角、三個(gè)頂點(diǎn)。盡而學(xué)會(huì)用字母A、B、C表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及用字母表示三角形。④學(xué)習(xí)三角形的底和高。教師結(jié)合“畫(huà)三角形的高”的過(guò)程，介紹三角形的“底”和“高”。思考討論：三角形可以畫(huà)幾條高？三角形的高在什么位置？然后試著畫(huà)出三角形的三條高（理解直角三角形兩條直角邊互為底邊上的高及畫(huà)鈍角三角形的高都是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)）。三角形的底和高也是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，而應(yīng)用是結(jié)合圖形描述三角形的各部分名稱，能畫(huà)出三角形的高。

2. 特性

三角形特性：三角形任意兩邊的和大于第三邊。教學(xué)設(shè)計(jì)可分為五個(gè)層次。（1）先結(jié)合插圖提出“從小明家到學(xué)校有幾條路線？哪一條最近？”的問(wèn)題，用自己的生活經(jīng)驗(yàn)說(shuō)明走直路最近。再將生活情境“小明家、郵局和學(xué)?！比齻€(gè)位置看作三個(gè)點(diǎn)，連結(jié)三個(gè)點(diǎn)，將路線圖抽象成三角形ABC幾何圖形。測(cè)量AC、AB、BC的長(zhǎng)度，并計(jì)算出“AB+BC”的長(zhǎng)度和與AC比較，說(shuō)一說(shuō)發(fā)現(xiàn)了什么？?jī)牲c(diǎn)間所有連線中線段最短（數(shù)學(xué)模型），這條線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離。感受計(jì)算結(jié)果與生活經(jīng)驗(yàn)的一致性。（2）假設(shè)A、C兩點(diǎn)固定，B點(diǎn)可以移動(dòng)，想象B點(diǎn)如何移動(dòng)，“AB+BC”的長(zhǎng)度和與AC的長(zhǎng)度越來(lái)越接近？猜想當(dāng)B點(diǎn)位于什么位置時(shí)，AB+BC=AC。此時(shí)圖形還是三角形嗎？成了什么圖形？接著思考、猜想：什么情況下三條線段能組成三角形？什么情況下不能？（3）小組操作實(shí)驗(yàn)，用教材中提供的四組長(zhǎng)度的紙條或小棒來(lái)拼三角形。記錄下能或不能拼成三角形的三個(gè)紙條的長(zhǎng)度，分析三個(gè)紙條的長(zhǎng)度，你能發(fā)現(xiàn)什么？第①、④兩組的任何兩邊長(zhǎng)度的和都比另一邊長(zhǎng)，能拼成三角形，第②、③兩組兩條較短邊的和等于或小于第三邊的長(zhǎng)度，不能拼成三角形。（4）交流、總結(jié)（數(shù)學(xué)模型）：三角形的任意兩邊的和大于第三邊。任意兩邊的和等于或小于第三邊都不能拼成三角形。（5）應(yīng)用：①用本課所學(xué)知識(shí)解釋為什么小明從家與學(xué)校走中間的路近？②判斷下面三組線段能否圍成一個(gè)三角形？說(shuō)明理由。A.3厘米、7厘米、5厘米；B.6厘米、1厘米、3厘米；C.8厘米、3厘米、5厘米。擴(kuò)展：一個(gè)活動(dòng)角，角的兩邊分別剪剩下9厘米和7厘米。要加上多長(zhǎng)一根小棒能拼成一個(gè)三角形？這根小棒最長(zhǎng)是幾厘米，最短是幾厘米？說(shuō)出理由。

3. 公式

“圖形與幾何”內(nèi)容有很多的公式，長(zhǎng)（正）方形、圓周長(zhǎng)公式，長(zhǎng)（正）方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓面積公式，長(zhǎng)（正）方體、圓柱、圓錐體積公式等，這些每一個(gè)公式都是數(shù)學(xué)模型。無(wú)論哪一個(gè)公式的建構(gòu)都經(jīng)歷了“問(wèn)題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與擴(kuò)展”的過(guò)程。如圓面積公式。圓面積公式是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了圓，知道了圓的各部分名稱、圓的半徑?jīng)Q定圓的大小，同時(shí)具有了轉(zhuǎn)化思想解決未知圖形面積基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。教材從“每平方米草皮8元。這個(gè)圓形草坪的占地面積是多少平方米？”的問(wèn)題情境引入，提出“怎樣計(jì)算一個(gè)圓的面積呢？”。首先猜想：計(jì)算圓的面積可能與圓的什么有關(guān)系？如何把圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖形，轉(zhuǎn)化成什么圖形來(lái)計(jì)算面積？接著按照教材設(shè)計(jì)，驗(yàn)證猜想。提出“在硬紙上畫(huà)一個(gè)圓，把圓分成若干（偶數(shù)）等份，然后剪開(kāi)，用這些近似等腰三角形的小紙片拼一拼，能發(fā)現(xiàn)什么？”的操作要求和問(wèn)題思考。通過(guò)操作可發(fā)現(xiàn)：圓的形狀變了，面積不變。圓形變成了近似長(zhǎng)方形（或平行四邊形），圓周長(zhǎng)的一半就是近似長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圓的半徑就是近似長(zhǎng)方形的寬。之后根據(jù)等量變換推理出圓面積計(jì)算公式及字母表達(dá)式，建立圓面積計(jì)算的模型。應(yīng)用：應(yīng)用圓面積公式解決草坪面積和花錢(qián)問(wèn)題。擴(kuò)展：用圓面積公式解決圓環(huán)面積計(jì)算及生活中和圓面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。

4. 操作程序

“圖形與幾何”內(nèi)容有很多需要按操作程序進(jìn)行測(cè)量和畫(huà)圖的內(nèi)容。主要有：測(cè)量線段長(zhǎng)度、測(cè)量角大小、畫(huà)指定長(zhǎng)度線段、畫(huà)指定度數(shù)的角、畫(huà)平行線、畫(huà)垂線、畫(huà)長(zhǎng)（正）方形、畫(huà)簡(jiǎn)單圖形平移或旋轉(zhuǎn)后的圖形、畫(huà)簡(jiǎn)單的線路圖等。如四年級(jí)上冊(cè)用量角器畫(huà)指定度數(shù)的角。此內(nèi)容是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了量角器及學(xué)會(huì)用量角器測(cè)量角大小的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。教材呈現(xiàn)了用量角器畫(huà)60°角的分步示意圖和畫(huà)圖步驟（畫(huà)角的操作模型），即：（1）畫(huà)一條射線，使量角器的中心和射線的端點(diǎn)重合，0°刻度線和射線重合。（2）在量角器60°刻度線的地方點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。（3）以畫(huà)出射線的端點(diǎn)為端點(diǎn)，通過(guò)剛畫(huà)的兩點(diǎn)畫(huà)出一條射線。學(xué)生畫(huà)圖的難點(diǎn)在第（2）步，因?yàn)榱拷瞧魃?0°刻度線（里圈和外圈）有兩個(gè)。所以進(jìn)行第（2）步時(shí)要讓學(xué)生討論：用量角器畫(huà)指定度數(shù)的角時(shí)，量角器有兩圈刻度，找里圈還是外圈刻度點(diǎn)？通過(guò)討論，形成結(jié)論（找刻度線的操作模型）：當(dāng)先畫(huà)的那條射線是與內(nèi)圈的零刻度線重合，那么找點(diǎn)時(shí)就應(yīng)該在內(nèi)圈找所要畫(huà)的角刻度線；如果先畫(huà)的那條射線是與外圈的零刻度線重合，那么找點(diǎn)時(shí)就應(yīng)該在外圈找所要畫(huà)的角刻度線。畫(huà)圖應(yīng)用：做一做，用量角器畫(huà)指定度數(shù)的角，尤其是開(kāi)口向左、向上或向下的角。擴(kuò)展：在四年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)三角形分類后，可以擴(kuò)展到畫(huà)指定度數(shù)的三角形及后面學(xué)習(xí)畫(huà)簡(jiǎn)單的路線圖。

（三）統(tǒng)計(jì)與概率

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域涉及到分類整理、數(shù)據(jù)收集整理、平均數(shù)、條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖和可能性等內(nèi)容。這些內(nèi)容大都與程序模型或圖示模型聯(lián)系密切。

1.分類整理

教材在一年級(jí)下冊(cè)安排了“分類整理”的內(nèi)容。

例1按指定標(biāo)準(zhǔn)分類整理；例2自己確定標(biāo)準(zhǔn)分類整理。兩個(gè)例題的呈現(xiàn)方式?jīng)Q定了教學(xué)要按照以下程序進(jìn)行。

如例2，情境問(wèn)題：教材呈現(xiàn)了有男女大人、孩子準(zhǔn)備參加游戲活動(dòng)的場(chǎng)景，提出“分兩組做游戲，他們可以怎樣分組呢？”的問(wèn)題。確定分類標(biāo)準(zhǔn)：可以按大人和孩子分，也可以按男、女分。分類整理：按自己確定的分類標(biāo)準(zhǔn)（按大人和孩子分），數(shù)出人數(shù)填在表格中。觀察分析：觀察表格中的數(shù)據(jù)，了解分類的結(jié)果（8個(gè)大人、4個(gè)孩子）。形成結(jié)論：按大人和孩子分的結(jié)果是大人多，孩子少。解釋問(wèn)題：按大人和孩子分，大人多，孩子少，孩子們自己不會(huì)做游戲，不合適?？梢愿淖兎诸惙椒?，按男、女分怎么樣？

2.數(shù)據(jù)收集整理

教材在二年級(jí)下冊(cè)安排了“數(shù)據(jù)收集整理”的內(nèi)容。數(shù)據(jù)收集整理的過(guò)程也要滲透程序模型，使學(xué)生了解數(shù)據(jù)收集整理的方式方法，但可以根據(jù)“問(wèn)題情境”簡(jiǎn)化或增加程序。二年級(jí)下冊(cè)“數(shù)據(jù)收集整理”例1，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受以下程序模型。

情境問(wèn)題：例1，選擇方法：在全班進(jìn)行調(diào)查；收集數(shù)據(jù)：舉手或填寫(xiě)表格；歸納整理：填寫(xiě)統(tǒng)計(jì)表；觀察分析：分析表格中喜歡每種顏色的人數(shù)；初步結(jié)論：喜歡藍(lán)色的人數(shù)最多，如果這個(gè)班訂做校服，選擇藍(lán)色合適；檢驗(yàn)校正：征求其它班級(jí)的意見(jiàn)……

3.復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖

教材在四年級(jí)下冊(cè)安排了“復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖”。本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)式統(tǒng)計(jì)表和單式條形統(tǒng)計(jì)圖基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。學(xué)生已經(jīng)知道了復(fù)式統(tǒng)計(jì)表的基本模型，知道了在單式條形統(tǒng)計(jì)圖（立式）中，橫軸一般表示“項(xiàng)目”，縱軸一般表示“數(shù)量”，縱軸上1格可以表示1個(gè)單位，也可以表示幾個(gè)單位。單式統(tǒng)計(jì)圖的建構(gòu)模型可以遷移到繪制復(fù)式統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)中。本課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是學(xué)會(huì)繪制簡(jiǎn)單的復(fù)式統(tǒng)計(jì)圖并根據(jù)復(fù)式統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行分析和判斷。問(wèn)題情境：學(xué)生補(bǔ)充完成單式統(tǒng)計(jì)圖。觀察發(fā)現(xiàn)：要想直觀看到城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村在某一年人數(shù)的多少情況，很不方便。提出猜想：兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的單式統(tǒng)計(jì)表可以合并成一個(gè)復(fù)式統(tǒng)計(jì)表，兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的單式條形統(tǒng)計(jì)圖，是否也可以合并成一個(gè)復(fù)式統(tǒng)計(jì)圖呢？建立模型。觀察（79頁(yè)）不完整的立式復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖，與單式條形統(tǒng)計(jì)圖比較，有哪些相同點(diǎn)？有哪些不同點(diǎn)？相同點(diǎn)是：橫軸都是表示年份，都有四個(gè)年份。縱軸都是表示人數(shù)，1個(gè)刻度表示10萬(wàn)人。不同點(diǎn)是：同一年份把城鎮(zhèn)人數(shù)與鄉(xiāng)村人數(shù)排在了一起，左邊是城鎮(zhèn)人數(shù)的條形圖，右邊緊靠著是鄉(xiāng)村人數(shù)的條形圖，城、鄉(xiāng)條形圖用不同的顏色表示，在圖中還標(biāo)出了城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村的圖例。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生自己補(bǔ)充完成其它年份條形圖的繪制。分析復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)勢(shì)：能直觀看到同一年份城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村人數(shù)的多少及不同年份城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村人數(shù)的變化。應(yīng)用：回答教材中提出的四個(gè)問(wèn)題及“做一做”中的習(xí)題。最后，介紹橫式的復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖的基本模型。

二、在教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的模型思想

（一）模型思想需要教師在教學(xué)中逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟

模型思想作為一種數(shù)學(xué)思想要學(xué)生真正有所感悟需經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。在這一過(guò)程中，學(xué)生總是從相對(duì)簡(jiǎn)單到相對(duì)復(fù)雜，從相對(duì)具體到相對(duì)抽象，逐步積累經(jīng)驗(yàn)，掌握建模方法，逐步形成用模型去進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣。教師在教學(xué)中要注意根據(jù)學(xué)生的年齡特征和不同學(xué)段的要求，逐步滲透模型思想。如：在第一學(xué)段，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境中抽象出整數(shù)、整數(shù)四則運(yùn)算概念和方法、整數(shù)的讀寫(xiě)方法、整數(shù)的大小比較方法、兩級(jí)混合運(yùn)算的程序等；從簡(jiǎn)單幾何體到平面圖形的過(guò)程抽象出各種圖形模型及特征、特性等；從觀察物體、圖形的運(yùn)動(dòng)抽象出兩視圖與三視圖的轉(zhuǎn)化方法及簡(jiǎn)單的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)概念等；從簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)收集、整理的過(guò)程中學(xué)會(huì)用適當(dāng)?shù)姆?hào)來(lái)表示這些現(xiàn)實(shí)情境中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象，并提出一些力所能及的數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二學(xué)段，通過(guò)一些具體問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生猜想、觀察、分析、抽象出更為一般的模式表達(dá)，如用字母表示各種平面圖形的周長(zhǎng)、面積公式，用字母表示各種立體圖形的體積（容積）公式，用字母表示有關(guān)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)等；總結(jié)出路程、速度、時(shí)間，單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)的關(guān)系式等。通過(guò)一些具體問(wèn)題情境，指導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)、操作，抽象畫(huà)圖程序、定理、公式等。

總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應(yīng)該蘊(yùn)涵于概念、公式、法則、定理、定律、性質(zhì)等的教學(xué)之中，并與數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、計(jì)算能力、推理能力等的培養(yǎng)緊密結(jié)合，模型思想的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。

（二）使學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程

“問(wèn)題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程體現(xiàn)了《課標(biāo)》中的模型思想的基本要求，有利于學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程，也有利于學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中理解、掌握有關(guān)知識(shí)、技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想的本質(zhì)。

上述活動(dòng)過(guò)程完全可以結(jié)合相關(guān)課程內(nèi)容有機(jī)進(jìn)行。比如教材中大部分概念教學(xué)、公式的推導(dǎo)、結(jié)論的拓展等可以按此模式進(jìn)行。

如：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)。問(wèn)題情境：逐個(gè)把4個(gè)蘋(píng)果、2個(gè)蘋(píng)果、1個(gè)蘋(píng)果，平均分成兩份，分的結(jié)果每一份怎樣表示用數(shù)表示？

問(wèn)題情境：三角形內(nèi)角和是180°，凸四邊形、凸五邊形……內(nèi)角和是多少度呢？

探索規(guī)律：把凸多邊形分割成若干個(gè)三角形。分割成三角形的個(gè)數(shù)比多邊形的邊數(shù)少2。

發(fā)現(xiàn)模式：四邊形內(nèi)角和=（4-2）×180°=360°；

五邊形內(nèi)角和=（5-2）×180°=540°；六邊形內(nèi)角和=（6-2）×180°=720°。

建立模型：思考，如果多邊形的邊數(shù)是n，n邊形能分割成多少個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和怎樣求？n邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°。

求解驗(yàn)證：先用n邊形內(nèi)角和公式計(jì)算凸八邊形內(nèi)角和。再畫(huà)一個(gè)八邊形，分割成三角形，計(jì)算出八邊形內(nèi)角和。比較與公式計(jì)算的結(jié)果，驗(yàn)證公式是否適用于求任意凸多邊形的內(nèi)角和。

（三）落實(shí)新《課標(biāo)》增加的“兩基、兩能”

《課標(biāo)》在“總目標(biāo)”中指出：獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，分析和解決問(wèn)題的能力?；舅枷?、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是新增加的“兩基”，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力和提出問(wèn)題能力是新增加的“兩能”。

前面提到“問(wèn)題情境”是建立數(shù)學(xué)模型的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”，是指充分利用教材中“問(wèn)題情境”，引導(dǎo)學(xué)生多方面、多角度的數(shù)學(xué)思考，從一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系，并把這些聯(lián)系提煉出來(lái)?！疤岢鰡?wèn)題”，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)集中地以“問(wèn)題”的形態(tài)表述出來(lái)，以便于研究、探索解決問(wèn)題。如：“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”可以創(chuàng)設(shè)這樣的問(wèn)題情境?？谒阆旅娓鹘M題，你能發(fā)現(xiàn)什么？

“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是建立數(shù)學(xué)模型的主要途徑。這里“基本思想”指學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中運(yùn)用的假設(shè)思想、比較思想、符號(hào)化思想、轉(zhuǎn)化思想、化歸思想、類比思想、代換思想、數(shù)形結(jié)合思想等?！盎顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)” 指學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的直接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、間接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、設(shè)計(jì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。上面“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”模型的建立過(guò)程，教材呈現(xiàn)方式就是應(yīng)用了學(xué)生“折紙”的“直接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”和“數(shù)形結(jié)合思想”，使學(xué)生借助“形”直觀理解算理，進(jìn)而抽象出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算模型，即一個(gè)分?jǐn)?shù)除以一個(gè)整數(shù)，等于用這個(gè)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的倒數(shù)。

（未完待續(xù)）