辛春雨, 馬宏源, 孟書生, 王 野

(1. 白城師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院, 吉林 白城 137000； 2. 鄭州科技學(xué)院 基礎(chǔ)部, 鄭州 450064)

單光子在量子信息和量子通訊等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-2]. 當(dāng)可實(shí)現(xiàn)單光子源的系統(tǒng)被經(jīng)典場(chǎng)驅(qū)動(dòng)時(shí), 在原子腔系統(tǒng)中產(chǎn)生子Poisson光, 即光子阻塞效應(yīng)[3-8]. 在光子阻塞現(xiàn)象中, 僅當(dāng)腔中的光子離開腔后下一個(gè)光子才會(huì)產(chǎn)生. 為實(shí)現(xiàn)光子阻塞效應(yīng), 要求系統(tǒng)中的非線性要遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的衰減率. 通過三階非線性(Kerr非線性)系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)光子阻塞. 光子阻塞可應(yīng)用于單光子晶體管[9]、 干涉儀[10]和量子光學(xué)二極管[11]中. 文獻(xiàn)[12]提出了一種新的機(jī)制實(shí)現(xiàn)光子阻塞, 在該機(jī)制下, 實(shí)現(xiàn)強(qiáng)光子反聚束僅要求系統(tǒng)的非線性強(qiáng)度遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的衰減率, 其機(jī)制為不同驅(qū)動(dòng)耗散路徑間的量子干涉[13-19].

文獻(xiàn)[20-23]研究了三模二階非線性系統(tǒng)中的非傳統(tǒng)光子阻塞, 當(dāng)3個(gè)模式a,b,c的頻率關(guān)系為2ωa=2ωb=ωc時(shí), 該系統(tǒng)中可發(fā)生非傳統(tǒng)光子阻塞. 本文通過假設(shè)3個(gè)模式a,b,c的頻率關(guān)系為ωa=ωb=2ωc, 推導(dǎo)一個(gè)新的Hamilton量, 并解析和數(shù)值研究該系統(tǒng)的非傳統(tǒng)光子阻塞.

1 模 型

根據(jù)文獻(xiàn)[22]推導(dǎo)一個(gè)Hamilton量. 由介電材料對(duì)電場(chǎng)的非線性反饋可得

(1)

(2)

且

進(jìn)行歸一化. 能量密度的經(jīng)典表達(dá)式為

(3)

其中:

(4)

系統(tǒng)總的Hamilton量為

(5)

其中：Fb(Fc)和φb(φc)分別表示對(duì)模b(模c)的驅(qū)動(dòng)場(chǎng)強(qiáng)度和相位；ωL為驅(qū)動(dòng)頻率.

為方便, 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行框架旋轉(zhuǎn). 定義算符

則相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)操作為

在該操作下可得

(6)

其中Δi=2ωi-2ωL(i=a,b),Δc=ωc-ωL分別表示模a,b,c與驅(qū)動(dòng)激光間的失諧. 由于ωa=ωb=2ωc, 因此失諧間的關(guān)系滿足Δa=Δb=2Δc. 系統(tǒng)密度矩陣的演化由主方程支配, 主方程的形式為

其中κa,κb,κc分別表示模a,b,c的衰減率. 超算符定義為

不失一般性, 假設(shè)3個(gè)模式的衰減率相等, 即κa=κb=κc=κ. 光子的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)由穩(wěn)態(tài)下的零時(shí)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)描述, 定義為

2 物理機(jī)制

本文考慮模c的光子阻塞, 其機(jī)制為不同路徑間光的量子干涉. 系統(tǒng)的能級(jí)結(jié)構(gòu)及躍遷路徑[14]如圖1所示. 由圖1可見, 模c的雙光子激發(fā)共有3條躍遷路徑：

圖1 系統(tǒng)的能級(jí)結(jié)構(gòu)及躍遷路徑Fig.1 Energy level structures and transition paths of system

1) 直接輸入兩光子至模c,

2) 在模b上激發(fā)一個(gè)光子, 且該光子通過二階非線性交換至模c, 即

；

3) 模b中產(chǎn)生一個(gè)光子, 該光子先線性交換至模a, 再通過二階非線性交換至模c, 即

當(dāng)滿足阻塞條件時(shí), 3條路徑上的光子到達(dá)模c時(shí)干涉相消, 干涉的結(jié)果為光子不能占據(jù)態(tài)|002〉. 當(dāng)J=0時(shí), 干涉路徑變?yōu)閮蓷l, 當(dāng)J≠0時(shí),J的變化可改變?chǔ)盏亩x域.

3 解析和數(shù)值結(jié)果

[14]方法求解系統(tǒng)發(fā)生非傳統(tǒng)光子阻塞的最佳條件. 設(shè)計(jì)系統(tǒng)的態(tài)被截?cái)酁?/p>

|ψ〉=C000|000〉+C100|100〉+C010|010〉+C001|001〉+C002|002〉,

(7)

其中|mnp〉表示系統(tǒng)的Fock態(tài)基,m,n,p分別表示模a,b,c上的光子數(shù).

模損失可用非厄米Hamilton方法進(jìn)行處理

可得一組系數(shù)耦合方程. 在弱驅(qū)動(dòng)條件下F?κ, 有|C000|>?|C100|>,|C010|>,|C001|>?|C002|>成立, 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解Cmnp可通過解耦合方程得到. 若假設(shè)g1=g2=g, 則

(8)

考慮模c上發(fā)生強(qiáng)的光子反聚束, 令系數(shù)C002=0, 則可得發(fā)生光子反聚束的最佳條件為

(9)

(10)

當(dāng)式(9)和式(10)同時(shí)滿足時(shí), 光子阻塞才會(huì)發(fā)生. 在Kerr非線性系統(tǒng)中, 兩個(gè)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的相位差包含于阻塞條件中, 由于非線性形式不同, 因此阻塞條件僅與對(duì)模b的驅(qū)動(dòng)相位φb有關(guān). 為方便, 令φb=φ, 將式(9)和式(10)分別變?yōu)?/p>

(11)

(12)

當(dāng)滿足式(11)和式(12)時(shí), 光子不能占據(jù)態(tài)|002〉.

為描述非傳統(tǒng)光子阻塞效應(yīng), 在一個(gè)截?cái)嗟腍ilbert空間中求解主方程, 當(dāng)J/κ取不同值時(shí), 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g(2)(0)隨二階非線性系數(shù)g/κ和驅(qū)動(dòng)φ的變化如圖2所示, 其中Hilbert空間截?cái)酁槟3維、 模b3維和模c6維, 其參數(shù)為Fb/κ=Fc/κ=0.1,Δ值由方程組(11)和(12)的第一個(gè)方程決定. 圖2中虛線表示由方程組(11)和(12)中第二個(gè)方程計(jì)算的解析解, 白色虛線表示發(fā)生阻塞的解析解, 與白色虛線對(duì)應(yīng)的深色區(qū)域表示由數(shù)值解主方程得到的精確數(shù)值解. 由圖2可見, 解析解和數(shù)值解相符. 由方程組(11)和(12)可見, 當(dāng)滿足

κ2cos2(φ)+4(J2-2κ2)sin2(φ)+6Jκsin(2φ)≥0

(13)

時(shí), 將發(fā)生光子阻塞. 由解析解和數(shù)值解可見, 阻塞區(qū)域的周期為2π. 當(dāng)參數(shù)J/κ=4時(shí), 對(duì)應(yīng)的阻塞區(qū)域類似多個(gè)封閉三角形, 且φ的取值在某些范圍內(nèi)阻塞不會(huì)發(fā)生. 當(dāng)J/κ=20時(shí), 阻塞區(qū)域類似正弦曲線, 阻塞區(qū)域變大, 即J/κ發(fā)生變化可引起阻塞區(qū)域的變化, 當(dāng)J/κ足夠大時(shí),φ趨于連續(xù).

綜上, 本文研究了三模二階非線性系統(tǒng)中由弱二階非線性引起的非傳統(tǒng)光子阻塞. 通過計(jì)算主方程的穩(wěn)態(tài)解及二階關(guān)聯(lián)函數(shù)可見, 強(qiáng)光子反聚束可被驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的相位和線性耦合強(qiáng)度控制, 且用非厄米Hamilton方法求得最佳光子阻塞條件與精確的數(shù)值模擬結(jié)果相符.

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