☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 吳潔瑩

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 徐章韜

一、試題再現(xiàn)

題目已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

這道試題是2017年高考全國新課標Ⅰ理科卷的21題.考查的內(nèi)容是函數(shù)單調(diào)性與零點的知識，這些知識是學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中已經(jīng)非常熟練掌握的.求解這道試題的思路，學(xué)生也已基本掌握，關(guān)鍵就在于計算能力與轉(zhuǎn)換思維.

二、試題分析

1.第（1）問的分析

第（1）問是對含參數(shù)的函數(shù)進行求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性.這樣簡單的函數(shù)求導(dǎo)問題對學(xué)生來說沒有難度.導(dǎo)數(shù)f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1，要判斷函數(shù)單調(diào)性即要判斷f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1的符號正負，一般情況下先令導(dǎo)數(shù)為0.此時，對于基礎(chǔ)一般的學(xué)生來說，求解極值點會比較困難，他們難發(fā)現(xiàn)可將ex當作整體，將原導(dǎo)函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為f′（x）=2a（ex）2+（a-2）ex-1，導(dǎo)數(shù)為0時這是一個關(guān)于ex的一元二次方程，即f′（x）=2a（ex）2+（a-2）ex-1=（2ex+1）（aex-1）=0.當a≤0時，方程無解，f′（x）＜0；當a＞

綜上：當a≤0時，f（x）在R上單調(diào)遞減；當a＞0時，f（x）

第（1）問學(xué)生的解答難點在于對導(dǎo)函數(shù)形式轉(zhuǎn)換以及對參數(shù)a的分類討論，若能將導(dǎo)函數(shù)進行因式分解，之后對參數(shù)a的分類討論也將不再是難點.在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上，簡單二次函數(shù)的因式分解不是問題，然而高考數(shù)學(xué)壓軸題的考查總是源于教材又高于教材.經(jīng)筆者對歷年高考題和各省市近幾年函數(shù)壓軸題的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，一般函數(shù)的壓軸題第一問都是判斷函數(shù)單調(diào)性，有時含參有時不含參，但不論是怎樣的單調(diào)性分析，大部分都要考查學(xué)生對復(fù)雜函數(shù)進行因式分解的能力（也可稱為運算能力），進而判斷函數(shù)單調(diào)性.對復(fù)雜函數(shù)進行因式分解在高考中已經(jīng)是不可缺少的能力.

2.第（2）問的分析

在已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x有兩個零點時，求參數(shù)a的取值范圍.求解這一問一般有兩個思路，思路1：利用函數(shù)圖形判斷函數(shù)零點；思路2：轉(zhuǎn)化函數(shù).下文將從這兩個思路對此試題進行分析.

思路1分析：由第（1）問中對函數(shù)單調(diào)性的判斷，可畫出函數(shù)圖形，判斷在哪種情況下函數(shù)圖像與x軸有兩個不同的交點.顯然，當a≤0時，f（x）在R上單調(diào)遞減，此時函數(shù)不可能有兩個零點，故a≤0不成立；當a＞0時，f（x）畫出函數(shù)簡圖，如圖1.

圖1

圖2

（f-1）=ae2x-1+（a-2）e-1-（-1）=，故可

思路2分析：函數(shù)（fx）=ae2x+（a-2）ex-x有兩個零點，求參數(shù)a的參數(shù)范圍.這個思路也很明顯，學(xué)生能快速想到，直接令（fx）=0，則a=，得到a關(guān)于x的方程，由于（fx）=0有兩個解，不妨設(shè)這兩個解分別為x1，x2，其中x1＜.接下來就

可以從幾個角度去分析參數(shù)a的參數(shù)范圍.

圖3

由圖像明顯可以看出，0＜a＜1.

從角度1分析，這也是學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中已經(jīng)練習(xí)過的內(nèi)容，分離參數(shù)，兩函數(shù)的交點個數(shù)即是原函數(shù)的零點個數(shù)，學(xué)生處理的難點在于分離參數(shù)的過程及對參數(shù)方程的單調(diào)性判斷，這個函數(shù)求導(dǎo)具有一定的難度，判斷單調(diào)性需要學(xué)生有較強的運算能力與觀察能力.

角度2：利用放縮法，先猜后證.

①式-②式得a（ex1-ex2）（ex1+ex2+1）=x1-x2+2（ex1-ex2），所為函數(shù)y=ex上兩點斜率的導(dǎo)數(shù)且恒大于0，故當函數(shù)有兩個零點時a＞0.接下來要討論的就是當制.一般想法是通過x1，x2的限制，利用不等式知識求解a的取值范圍，但x1，x2之間到底具有怎樣的關(guān)系還不明確.此時考慮當x→0時，a→1；當x→+∞時，a→0，故可猜測a＜1.由泰勒展開式

從角度2分析，前半部分函數(shù)有兩個零點，得到①、②兩式，基本都能想到，甚至判斷出a＞0也比較簡單.關(guān)鍵點與難點在于不等式知識在此方法中的運算，并且需要有一定的邏輯推理能力，在壓軸題中考查的數(shù)學(xué)基本能力是學(xué)生在平時練習(xí)需要歸納總結(jié)的.

三、教學(xué)反思

上文中對該試題的兩問進行了詳細的分析，指出了易錯點與難點，且對第（2）問進行了多角度的分析.這都是教師在教學(xué)、學(xué)生在復(fù)習(xí)中應(yīng)該高度重視的問題，從而改進教學(xué)與學(xué)習(xí)方法.

1.基本方法的運用要著眼于對此概念的深度理解

在該試題的第（1）問中，學(xué)生的易錯點與難點：對函數(shù)求導(dǎo)之后判斷導(dǎo)數(shù)的符號.導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1，直接令f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1＞0（＜0），求x的取值范圍，一般學(xué)生都會手足無措，這一道題基本上也無望得分.這種問題的出現(xiàn)從表現(xiàn)上看是學(xué)生的計算能力弱，其實不然，關(guān)鍵還在于學(xué)生對二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)概念的理解.基礎(chǔ)稍好的學(xué)生能夠?qū)′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1看作關(guān)于ex的二次函數(shù)，接下來令導(dǎo)數(shù)為0，利用求根方程，討論a的符號，判斷單調(diào)性，這是一種基礎(chǔ)可行的方法，但是過于復(fù)雜，計算過程容易出錯.若能觀察出導(dǎo)函數(shù)可用因式分解的方法轉(zhuǎn)化為f′（x）=（2ex+1）（aex-1），這一問就能大獲圓滿.這種將復(fù)雜因式進行分解的能力在很多高考試題中都考查過，因式分解簡單來說就是將一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，學(xué)生在初中就學(xué)過這樣的方法，然而在高中這種方法還是不會用，這就說明基本概念滲透不深刻.

試題第（2）問的思路一考查的是數(shù)形結(jié)合的方法，只要能根據(jù)第（1）問畫出函數(shù)簡圖，第（2）問基本上也能解決.學(xué)生出錯點在于對函數(shù)零點存在的必要條件不清楚，在人教版選修1-1中就出現(xiàn)過這樣的類似問題.在掌握數(shù)形結(jié)合的方法下，深度挖掘函數(shù)零點存在的條件，這也是一個重要的數(shù)學(xué)概念.

試題第（2）問的思路2分析中的角度1需要學(xué)生掌握的是方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系.函數(shù)有兩個零點即方程有兩個根.利用方程根的定義，設(shè)x1，x2為方程的根，不必將x1，x2具體求出（求不出來）.利用恒等式f（x）=0，將a分離出來，接下來討論與y=a的交點個數(shù).這樣的解題思路也是水到渠成的，不需要過多的技巧性，僅需要學(xué)生理解方程的根與函數(shù)的零點這兩個基本概念，分離參數(shù)法是學(xué)生在眾多練習(xí)中已經(jīng)熟練掌握的方法，然而方法的運用總要建立在一定的概念理解之上，才能更好的解題.

2.練習(xí)的選擇要具有針對性，體現(xiàn)各知識的交互融合

在（1）、（2）兩問的分析中，明顯感覺到這一試題考查的知識點很多，如函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)零點，二次函數(shù)等.高中數(shù)學(xué)知識多，要在一張試卷中涵蓋幾乎所有知識，試題中必將出現(xiàn)知識的交互融合.沒有對高考真題的針對性練習(xí)，很難對眾多知識融合的試題做出快速簡潔的解答，如判斷導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1的符號，學(xué)生難以動手處理.若是在平時有類似的練習(xí)，頭腦中的潛在意識就會促使其用因式分解的方法處理.在歷年高考題中，經(jīng)常會碰到函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式、數(shù)列與不等式等知識的整合，這都需要學(xué)生在平時練習(xí)中總結(jié)歸納.

3.數(shù)學(xué)思想方法要滲透在教學(xué)中

通過對此試題的研究我們發(fā)現(xiàn)，思想方法的考查在高考數(shù)學(xué)中至關(guān)重要，這一試題就考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分離參數(shù)法、放縮法等基本思想方法.對思想方法的考查，就是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.掌握理解思想方法與否將在考試中區(qū)分學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.歷年的高考數(shù)學(xué)壓軸題都會考查到數(shù)形結(jié)合的思想，如2016年全國Ⅰ卷理科第21題：已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個零點，證明x1+x2＜2.［2］這道試題就考查了數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)、函數(shù)與方程等思想方法.又如2016年江蘇高考數(shù)學(xué)第19題：已知f（x）=ax+bx（a，b＞0，a≠1，b≠1）.（2）若0＜a＜1，b＞1，函數(shù)g（x）=f（x）-2有且只有一個零點，求ab的值.［3］這道試題考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、放縮法等思想方法.文2和文3都對高考試題進行了詳細的分析.

四、結(jié)束語

本文以2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科卷的壓軸題為研究對象，對高考試題進行了詳細的分析，并從多角度給出了解題思路與過程.從反思中得到啟示：要深度挖掘教材上的基本概念的含義；要有針對性地練習(xí)；在練習(xí)中要滲透思想方法的教學(xué).教師在教學(xué)中也要引導(dǎo)學(xué)生對一個問題進行多角度剖析并對碰到的問題總結(jié)歸納，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力與反思能力.

1.盛朝陽.2016年高考數(shù)學(xué)四川卷文科壓軸題的研究與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下），2017（3）.

2.徐章韜.MKT：化無形思想為有形技巧——基于對一道“函數(shù)零點”高考試題的分析［J］.教育研究與評論·中學(xué)教育數(shù)學(xué)，2016（8）.

3.徐堅.轉(zhuǎn)換觀點，化繁為簡［J］.數(shù)學(xué)通訊，2016（11，12上）.F