☉江蘇省錫東高級中學(xué) 蔡曉紅

數(shù)形結(jié)合方法是數(shù)學(xué)思想方法之一，它將“數(shù)”與“形”有機(jī)地聯(lián)系到一起，實(shí)現(xiàn)了以數(shù)助形，以形助數(shù).從某種角度來講，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，而對于數(shù)學(xué)知識來講，無論“數(shù)”還是“形”都是呈現(xiàn)的方式，領(lǐng)會運(yùn)用“數(shù)”、“形”能夠降低數(shù)學(xué)的難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量.因此，筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，概述了數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則，并從定義、性質(zhì)及同角這三個方面，探究了數(shù)形結(jié)合方法在三角函數(shù)中的應(yīng)用，以期數(shù)學(xué)結(jié)合方法能夠科學(xué)、合理地運(yùn)用到數(shù)學(xué)中，使學(xué)生掌握靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法的技巧，提高學(xué)生的解題效率和正確率.

一、數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則

數(shù)形結(jié)合思想既是一種解題思想，又是一種解題方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想是指，通過數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為空間圖像、空間圖像轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”、“形”兩者結(jié)合的解題思想和方法.通過研讀高中教科書發(fā)現(xiàn)，教材中擁有大量、復(fù)雜的空間圖像問題和數(shù)量關(guān)系問題，而在解決問題的過程中，教師如若能夠潛移默化地將“數(shù)形結(jié)合方法”滲透其中，既能夠降低學(xué)生“學(xué)”和教師“教”的難度，還能夠提高學(xué)生“學(xué)”和教師“教”的效率.可見，數(shù)形結(jié)合方法運(yùn)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有必要性.而數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不要盲目實(shí)施，而是要尊重等價性和雙向性原則，否則會適得其反.

等價性原則主要是指在“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的過程中，要確?！皵?shù)”與“形”的對等.實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合方法確實(shí)能夠降低某些問題的難度，激發(fā)學(xué)生解題的積極性，提高學(xué)生解題的效率和正確率，但是如若“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化不等價，就定然不會獲取正確的答案.

雙向性原則就是指在分析數(shù)量關(guān)系和空間圖像的過程中，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的優(yōu)勢結(jié)合.如在求取函數(shù)最值問題時，就要將函數(shù)圖像與“數(shù)”進(jìn)行整合，這樣以來，通過觀察圖像，就能夠輕易獲取正確的答案，若數(shù)形結(jié)合方法未遵循“雙向性原則”，解題過程可能會出現(xiàn)各種問題，進(jìn)而與正確答案失之交臂，而“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化也失去了應(yīng)有的意義.

二、數(shù)形結(jié)合方法在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐

數(shù)形結(jié)合方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的解題思路和方法，實(shí)踐證明，科學(xué)合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，不僅能夠提高課堂的教學(xué)質(zhì)量和效率，還能夠強(qiáng)化學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解，促使學(xué)生完成知識內(nèi)化.而三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它具有抽象性、難度大等特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣不高，導(dǎo)致課堂的教學(xué)效果不甚理想.結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識的特征，筆者在日常的教學(xué)中，采用了數(shù)形結(jié)合方法，取得了理想的教學(xué)效果.

1.數(shù)形結(jié)合方法在三角函數(shù)定義教學(xué)中的應(yīng)用

從定義來看，三角函數(shù)就是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，因此在定義教學(xué)中，教師應(yīng)該合理地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合方法”，強(qiáng)化學(xué)生對于三角函數(shù)定義的理解，從而提高學(xué)生運(yùn)用“定義”解決問題的能力.結(jié)合學(xué)生解決問題的過程可以發(fā)現(xiàn)，定義求解一般運(yùn)用“取點(diǎn)法”和“單位圓”的方法，而相比較而言，單位圓的方法更為簡便，且解題的速度更快.

分析：由已知條件可知，解決此問題可以通過“取點(diǎn)法”、“單位圓”兩種方法進(jìn)行解題.

表1 的正弦值、余弦值、正切值的解決方法及過程

表1 的正弦值、余弦值、正切值的解決方法及過程

方法一取點(diǎn)法 方法二單位圓y y A圖O 60° x x M O 30°P（1，y）P（x，y）解（略） （略）將角5π 將角5π 3放置到直角坐標(biāo)系xOy中，并換一個單位圓，而角5π 3的正弦值、余弦值及正切值.3的正弦值、余弦值及正切值.備注 兩種方法都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合法，但比較而言，單位圓較為簡潔，僅僅需要知道點(diǎn)P的橫坐標(biāo)就可以得到答案評注3放置到直角坐標(biāo)系xOy中，并在角的邊上取點(diǎn)P，并從點(diǎn)P向Ox的正方向引垂線PA，構(gòu)建直角△PAO.通過點(diǎn)P的坐標(biāo)可以得出Rt△PAO的各個邊長，然后結(jié)合定義，就可以得出角5π 3的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，并由點(diǎn)P向x軸引垂線PM.結(jié)合三角函數(shù)在單位圓里的特殊性質(zhì)，輕松、便捷地就可以得到角5π

2.數(shù)形結(jié)合方法在三角函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中的應(yīng)用

大多數(shù)學(xué)生對于三角函數(shù)的性質(zhì)都較為了解，但是在具體的問題中，并不能夠靈活地運(yùn)用，進(jìn)而導(dǎo)致問題的解決過程不夠順利，甚至得不到正確的答案.性質(zhì)是解決三角函數(shù)相關(guān)問題的重要著手點(diǎn)之一，但是要想合理地運(yùn)用，就需要能夠靈活地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合方法”.因此，作為一線的教育工作者，在日常的教學(xué)實(shí)踐中，要將數(shù)形結(jié)合方法滲透到三角函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中，使學(xué)生準(zhǔn)確把握“數(shù)”和“形”兩者之間的關(guān)系，能夠降低問題的難度，提高學(xué)生解題的正確率和效率.三角函數(shù)性質(zhì)往往被運(yùn)用到不等式、不等式方程及比較大小等問題中，如若能夠?qū)⒕唧w問題轉(zhuǎn)化成為圖形，再結(jié)合性質(zhì)，就能夠輕松地解決問題.

分析：單從已知條件根本找不到著手點(diǎn)，若了解三角函數(shù)的性質(zhì)，可以將其構(gòu)建出“形”，認(rèn)真觀察，就可以得出答案.首先，根據(jù)已知條件，構(gòu)建關(guān)于未知數(shù)x的函數(shù)f（x）=sinx；然后，在直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)f（x）=sinx的圖像（圖1）；最后，結(jié)合題意和三角函數(shù)的性質(zhì)，得出滿足（k∈Z）.

圖1 函數(shù)f（x）=sinx的圖像

評注：將問題轉(zhuǎn)化為求“角”的問題，也要運(yùn)用到“數(shù)形結(jié)合方法”，它利用了正弦圖像和代數(shù)式結(jié)合的方法.針對該題目，不僅要掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，還要能夠完成構(gòu)建函數(shù)的環(huán)節(jié)，并將函數(shù)圖像呈現(xiàn)于大腦中，甚至于紙張上.這樣，降低了題目的難度，還有助于拓展學(xué)生的思維.在此需要注意的就是，該題目解決的方法并僅有這一種，還有“單位圓”的方法，此文中就不詳細(xì)闡述.

3.數(shù)形結(jié)合方法在同角三角函數(shù)關(guān)系教學(xué)中的應(yīng)用

同角三角函數(shù)的關(guān)系是三角函數(shù)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，而通過研讀數(shù)學(xué)教材發(fā)現(xiàn)，同角三角函數(shù)關(guān)系可以從“數(shù)”和“形”兩個角度進(jìn)行理解和掌握.同角三角函數(shù)關(guān)系有平方關(guān)系（表2）和商數(shù)關(guān)系（表2），無論是平方關(guān)系還是商數(shù)關(guān)系都可以從“數(shù)”和“形”兩個角度進(jìn)行推導(dǎo).在實(shí)踐的應(yīng)用中，大多數(shù)學(xué)生不能夠靈活地運(yùn)用三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，歸根究底就是因?yàn)閷W(xué)生未曾真正掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系，導(dǎo)致在實(shí)際問題中，不能夠完成遷移，進(jìn)而導(dǎo)致出現(xiàn)各種問題，長此以往，會降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望.

表2 同角（α）三角函數(shù)關(guān)系

圖2 tanα=-的圖像

解：由定義和圖得知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-3），|OP|=5，所以

評注：利用已知條件畫出對應(yīng)圖像，然后結(jié)合定義，就能夠直觀地將結(jié)果呈現(xiàn)于腦海中，這樣不僅避免了繁雜的代數(shù)運(yùn)算，還提高了學(xué)生的解題效率，更能夠避免由于細(xì)心答疑，而出現(xiàn)“漏符號”的情況.

三、結(jié)束語

高中階段，數(shù)學(xué)學(xué)科中涉及大量的空間圖像、數(shù)量關(guān)系及數(shù)形結(jié)合的問題，而這些問題的難度并不大，關(guān)鍵就是學(xué)生能夠正確地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合方法”.但是，由于受到各種因素的影響，部分學(xué)生對于“數(shù)形結(jié)合方法”的運(yùn)用并不能夠滿足當(dāng)前解題的需求，所以作為一線的教育工作者，要認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合方法的重要性，并將其滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，使學(xué)生“數(shù)”、“形”轉(zhuǎn)化以及“數(shù)”、“形”結(jié)合的能力得到鍛煉和培養(yǎng)，從而能夠從容面對相關(guān)問題，促使學(xué)生的解題效率和正確率得到提高.除此之外，還應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識到，數(shù)形結(jié)合方法并不是萬能的，不能夠盲目運(yùn)用，否則會適得其反.F