◎ 陳晏蓉 汪曉勤
實踐表明,HPM視角下的數(shù)學教學(即融入數(shù)學史的數(shù)學教學)不僅對學生的學習產(chǎn)生了積極的影響,而且也豐富和完善了教師面向教學的數(shù)學知識(MKT),其中包括內(nèi)容與教學知識(KCT)。引入是課堂教學的主要環(huán)節(jié)之一,為整節(jié)課的知識傳授做鋪墊。巧妙的課堂引入可以在短時間內(nèi)吸引學生的注意力,激發(fā)他們的學習動機,并引領(lǐng)他們主動參與到課堂中。因此,關(guān)于如何引入新知是KCT的重要組成部分。
早在20世紀50年代,美國學者瓊斯(P. S. Jones)就曾指出,數(shù)學史為教師提供了引入新課的話題,也為學生提供了發(fā)現(xiàn)新概念或新思想的方法。[1]當代也有數(shù)學教育研究者提出,數(shù)學史豐富了教師的背景知識,教師通過數(shù)學史可以確定引入數(shù)學新知的動機。[1]
近年來,越來越多的一線教師對HPM視角下的數(shù)學教學產(chǎn)生興趣,相關(guān)的課例(本文稱之為“HPM課例”)日益增多。我們關(guān)心的是,在這些課例中,教師是如何引入新知的?數(shù)學史在新知引入中是否起作用?有關(guān)學者的上述論斷是否可以得到印證?
為了回答上述問題,我們對部分高中HPM課例進行了考察和分析,試圖為HPM課例開發(fā)與實踐提供參考。
我們選取2007—2016年10年間發(fā)表的11個HPM課例[2—13]作為研究對象。這些課例所屬課型均為新授課,具體情況如下:6個代數(shù)主題,2個三角學主題,2個解析幾何主題和1個微積分主題。大多數(shù)課例是由大學數(shù)學教育研究人員和中學數(shù)學教師合作開發(fā)而成的,課例研究的流程如圖1所示。[1]實踐中,第二個環(huán)節(jié)“研討與設(shè)計”和第三個環(huán)節(jié)“實施與評價”之間往往會經(jīng)歷多次循環(huán)。
圖1 HPM課例研究的流程
在已經(jīng)開發(fā)的高中HPM課例中,并不是每一個課例都在導入環(huán)節(jié)融入了數(shù)學史,本文中的課例選擇標準是新知引入與數(shù)學史密切相關(guān)。
數(shù)學教學中的新知引入方法很多,不同的作者都曾給出過各自的分類方法,一些作者還提到利用數(shù)學史料來引入[13—14],但對于如何利用數(shù)學史料來引入,迄今很少有人作出進一步的探討。通過分析,發(fā)現(xiàn)在本文所考察的11個HPM課例中,7個采用了問題引入,2個采用了故事引入,1個采用了演示引入,1個采用了實例引入。
問題引入是通過讓學生解決一個或多個具體的問題,在解決問題的過程中引入新知。
在課例“對數(shù)”[2]的導入環(huán)節(jié),教師由計算天文學中一光年的大?。?99792.468×31536000)的問題引入,讓學生從中體會運算之繁,了解16—17世紀天文學家在研究天體運行規(guī)律時要耗費大量的時間進行數(shù)據(jù)運算。接著,通過等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的對應(yīng)關(guān)系,體會數(shù)表的效用與局限,由此引入對數(shù)的概念。
在課例“兩角和與差的三角公式”[3]中,教師根據(jù)古希臘數(shù)學家帕普斯(Pappus)的和角公式幾何模型,設(shè)計一系列問題。
問題1:圖2(a)、圖2(b)展示的是兩角和的正弦公式的證明方法,你能說明其證明過程嗎?
圖2(a)
圖2(b)
圖3(a)
圖 3(b)
問題2:參考了上述證法,再看看圖3(a)、圖3(b),能得到什么結(jié)論呢?
問題3:你能利用問題1與問題2的結(jié)果計算出sin75°與cos75°的值嗎?
問題 4:求 sin25°cos65°+cos25°sin65°與cos40°cos35°-cos40°sin35° 的值。
問題5:問題1和2中的公式是否對任意角α與β都成立?
在課例“正弦定理”[4]中,教師以流星的測量問題引入。如圖4所示,O為地球球心,A、B為觀測者所在位置,觀測者相距500km,AD、BD為地平線,交于D點,從A、B觀測流星 C,仰角分別為 α=23.2°、β=44.3°,求流星與兩位觀測者的距離分別是多少。而后,教師通過引導學生將實際問題抽象為數(shù)學問題,即在三角形中,已知兩角及所夾邊,求其余兩邊的問題。從而引入本節(jié)課的主題。
流星測量引入是根據(jù)10世紀阿拉伯天文學家阿爾·庫希(al-Kuhi)的流星測量方案改編而成的。
在課例“均值不等式”[5]中,教師首先介紹了《幾何原本》第六卷命題13:求作兩條已知線段的比例中項(即幾何中項)。歐幾里得的作法如圖5所示。設(shè)AC、CB是兩條已知線段,它們在同一條直線上,以AB為直徑作半圓ADB,在點C處作AB的垂線CD,交半圓周于D,則CD就是所求的幾何中項。
圖4
圖5
據(jù)此,教師設(shè)計了以下問題串。
問題1:結(jié)合圖5,證明CD是AC和CB的幾何中項。
問題2:在圖5中作出AC和CB的算術(shù)中項,然后比較算術(shù)中項和幾何中項的大小。
問題4:正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)何時相等?請結(jié)合圖5加以說明。
在課例“曲線與方程”[6]中,教師通過古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯(Apollonius)的“二線”和“三線”軌跡問題引入:求到兩條相互垂直的定直線距離相等的動點軌跡以及到兩條平行線距離乘積與到第三條與它們垂直的直線距離的平方相等的動點軌跡。阿波羅尼奧斯原問題中,直線的位置關(guān)系是任意的,并且距離之比或距離乘積與距離平方之比為任意常數(shù),教師對其進行了特殊化的處理。
在課例“數(shù)系擴充與復(fù)數(shù)的引入”[7]的開始,教師提出一個具體情景中的問題:要用20分米長的彩帶制作一個面積為24平方分米的長方形框架,應(yīng)該如何確定長和寬?學生通過求解得出長為6分米,寬為4分米。接著,教師給出卡丹(G. Cardan)在《大術(shù)》中提出的問題:“和為10,乘積為40的兩數(shù)分別是多少?”教師由卡丹的解法引入虛數(shù)的概念。
在課例“導數(shù)的幾何意義”[8]中,教師通過三個具體的問題引入:
·我們很容易畫出平面的反射光線,那么在曲面上光是如何反射的呢?
·已知某物體的運行軌跡,我們?nèi)绾未_定它的速度方向呢?
·我們很容易確定斜坡的坡度,但拱橋的坡度又如何確定呢?
三個問題分別對應(yīng) 17 世紀數(shù)學家研究過的三大問題——光在曲面上的反射問題、曲線運動的速度方向問題以及曲線的夾角問題,正是這三大問題促使數(shù)學家對曲線的切線進行研究。此處教師巧妙地運用了數(shù)學史。
所謂故事引入,即將數(shù)學史上有關(guān)知識的發(fā)生背景以故事的形式講述給學生,以此來引入新知。
在課例“函數(shù)的零點”[9]中,教師由以下故事引入:在神圣羅馬帝國時期,人們經(jīng)常在公共場所舉辦數(shù)學競賽。比賽常常吸引眾多的觀眾,其盛大景況堪與今天的明星演唱會相媲美。神圣羅馬帝國皇帝腓特烈二世也是個數(shù)學迷。有一次,他舉辦了一場宮廷數(shù)學競賽,其中一道競賽題是求三次方程x3+2x2+10x=20的根。來自比薩的大數(shù)學家斐波那契(L. Fibonacci)成功地獲得了它的近似解,并精確到了小數(shù)點之后的6位數(shù)字。斐波那契贏得了比賽,深受皇帝的贊賞。教師進而引導學生作出相應(yīng)的三次函數(shù)圖像,尋找方程根與函數(shù)圖像之間的關(guān)系。
在課例“遞推數(shù)列”[10]中,教師以古代印度的故事引入:在世界中心貝那拉斯的圣廟里,一塊黃銅板上插著三根寶石針。梵天在創(chuàng)造世界的時候,在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片,這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜,總有一個僧侶按照下面的法則移動這些金片:一次只移動一片,不管哪根針上,小片必須在大片上面。僧侶們預(yù)言,當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時,世界將在一陣霹靂聲中毀滅,而梵天塔、宇宙和眾生也都將同歸于盡。由此引入漢諾塔游戲。
演示引入即教師設(shè)計具有啟發(fā)性和趣味性的實驗活動或是使用自備的教具、動態(tài)課件,通過實際操作來引入新知。
在課例“拋物線概念”[11]中,教師借鑒古希臘數(shù)學家發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的過程,通過圓錐模型,展示了橢圓和雙曲線的截法,然后引導學生思考:用平行于母線的平面去截圓錐,能截出什么圖形?教師用實物(實際上是一個拋物面)來擬合圓錐的截口,然后將該實物與二次函數(shù)的圖像進行比較,從而引出拋物線。
所謂“實例引入”,即將歷史上與本課所教內(nèi)容有關(guān)的具體例子用于引入部分。
在課例“數(shù)列概念”[12]中,教師以兩河流域泥版(公元前7世紀)上記錄的一張月相變化表(見表1)作為第一個實例來引入數(shù)列概念:將滿月分成240部分,則從新月開始,每天的月相變化情況見表1。該表呈現(xiàn)的其實是一個月相數(shù)列:前5項構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列,第6—15項構(gòu)成公差為16的等差數(shù)列。
表1 月相變化表
M·克萊因(M. Kline)曾提出四個數(shù)學課程原理——興趣原理、動機原理、直觀原理和文化原理[15],而波利亞(G. Pólya)則提出三個數(shù)學教學原理——主動學習原理、最佳動機原理和階段序進原理[16]。根據(jù)上述原理,結(jié)合課堂引入的功能,我們認為,一種理想的新知引入方式至少需要具備以下基本特征:
(1)可學性,即引入建立在學生已有知識基礎(chǔ)之上,易于為學生所理解;
(2)有效性,即引入能夠有效地揭示新知的必要性,激發(fā)學生的學習動機;
(3)關(guān)聯(lián)性,即引入能夠為后面的相關(guān)知識服務(wù);
(4)趣味性,即引入能夠激發(fā)學生學習新知的興趣。
根據(jù)上述特點,我們對各HPM課例中的引入方式特征進行分析。
“對數(shù)”是人教版高中數(shù)學必修1中的內(nèi)容,教科書通過人口增長模型y=13×1.01x來引入,符合知識的邏輯順序,但不符合歷史順序。對數(shù)的發(fā)明源于數(shù)學家簡化大數(shù)乘除運算的動機,在歷史上,其主要功能就是簡化計算。發(fā)明對數(shù)的主要方法是利用等差和等比數(shù)列之間的對應(yīng)關(guān)系,事實上,“對數(shù)”中的“對”,就是“對應(yīng)”的意思。HPM課例試圖通過歷史的重構(gòu),有效地揭示了對數(shù)的必要性,為對數(shù)的運算法則埋下伏筆,具備有效性、關(guān)聯(lián)性和趣味性特點。
“函數(shù)的零點與方程的根”是人教版高中數(shù)學必修1中的內(nèi)容,教科書由二次函數(shù)圖像與x軸交點和一元二次方根之間的關(guān)系,引出函數(shù)的零點概念。學生對于一元二次方程的解法已經(jīng)耳熟能詳,為何還要通過二次函數(shù)的圖像來解方程?HPM課例則通過斐波那契求解三次方程的故事引入,學生不了解三次方程的解法,通過作圖發(fā)現(xiàn)三次方程的根與函數(shù)圖像之間的關(guān)系,更能激發(fā)學生的學習動機和興趣,因而滿足有效性、關(guān)聯(lián)性和趣味性特點,但可學性上不如教科書。
“兩角和差的三角公式”是人教版高中數(shù)學必修4中的內(nèi)容,教科書由電視發(fā)射塔的高度測量引入,貼近生活實際,體現(xiàn)了新知的必要性。HPM課例中由帕普斯和角公式幾何模型引入,直接為和角公式的推導服務(wù),具備關(guān)聯(lián)性特點,但未能體現(xiàn)有效性。
“正弦定理”是人教版高中數(shù)學必修5中的內(nèi)容,教科書由直角三角形三邊與三角的數(shù)量關(guān)系引入。HPM課例中由歷史上流星測量問題的引入,揭示了正弦定理的必要性,更具有效性和趣味性。
“數(shù)列的概念”是人教版高中數(shù)學必修5中的內(nèi)容,教科書由畢達哥拉斯形數(shù)引入,是少數(shù)運用數(shù)學史的典型例子之一。形數(shù)突出了數(shù)列中序的特征,也為數(shù)列通項公式概念做好鋪墊,但未能有效地揭示數(shù)列的必要性。HPM課例運用兩河流域月相表,反映了數(shù)列知識與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系,從而凸顯新知的必要性,具備有效性、趣味性特點。但由于該數(shù)列的通項公式不易導出,因而在關(guān)聯(lián)性上不如畢達哥拉斯形數(shù)。
“遞推數(shù)列”是人教版高中數(shù)學必修5中的內(nèi)容,教科書直接通過幾個遞推數(shù)列的例子來引入,學生感到比較突兀。HPM課例則通過漢諾塔的故事引出一個游戲,從操作中得出遞推數(shù)列,寓教于樂,體現(xiàn)了可學性、趣味性、有效性和關(guān)聯(lián)性。
“均值不等式”是人教版高中數(shù)學必修5中的內(nèi)容,教科書采用第24屆國際數(shù)學大會會標引入,融入了數(shù)學史元素,但更適用于不等式a2+b2≥2ab。HPM課例由《幾何原本》第六卷命題13引入,更適用于均值不等式且有助于問題串的設(shè)計以及均值不等式鏈的建立,在關(guān)聯(lián)性上更勝一籌。兩種引入在有效性上均體現(xiàn)不夠。
“曲線與方程”是人教版高中數(shù)學選修2-1中的內(nèi)容,教科書通過平面直角坐標系中平分一三象限的直線方程y=x以及圓的方程,建立曲線與方程之間的關(guān)系,該引入建立在學生學過的直線和圓的基礎(chǔ)上,具有可學性的特點,但在有效性上有所欠缺。HPM課例則再現(xiàn)了阿波羅尼奧斯的“二線”軌跡問題和“三線”軌跡問題,學生用原有幾何知識可以解決前者,但難以解決后者,從而感受到幾何方法的局限性與解析方法的必要性,因而既體現(xiàn)了可學性,也體現(xiàn)了有效性。
“拋物線的定義與方程”是人教版高中數(shù)學選修2-1中的內(nèi)容,教科書直接通過對二次函數(shù)圖像的思考以及運用《幾何畫板》作圖引出本節(jié)內(nèi)容,幾何畫板的動態(tài)演示讓學生對于拋物線有一個直觀的認知;HPM課例則通過實物模型的展示,再現(xiàn)了數(shù)學史上拋物線的發(fā)現(xiàn)過程,解決了“為什么拋物線屬于圓錐曲線”以及拋物線焦點的來源問題,體現(xiàn)了有效性、關(guān)聯(lián)性和趣味性的特點。
“數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入”是人教版高中數(shù)學選修2-2中的內(nèi)容,教科書通過方程x2+1=0引入,符合數(shù)系擴充的邏輯順序。在初中階段,學生已經(jīng)習慣于“一個數(shù)的平方為正數(shù)”以及“方程允許無解”這樣的觀念。為什么一個方程非要有解不可呢?教科書的引入雖然直接、快速,但未能有效地解決虛數(shù)概念必要性問題。HPM課例則通過卡丹問題,讓學生看到“兩個數(shù)的和為實數(shù),但這兩個數(shù)卻都不是實數(shù)”的事實,從而引發(fā)認知沖突,有效地揭示了新知的必要性。
表2 各HPM課例的新知引入特點
“導數(shù)的幾何意義”是人教版高中數(shù)學選修2-2的內(nèi)容,教科書由切線的動態(tài)形成過程引入,缺乏必要的鋪墊。HPM課例借鑒歷史,通過三個現(xiàn)實問題——“光在曲面上的反射”“曲線運動的速度方向”和“拱橋的坡度”引入,揭示切線研究的必要性,以此激發(fā)學生的學習動機。
表2總結(jié)了各課例中新知引入的基本特征。由表2可知,絕大多數(shù)HPM課例的新知引入都具備可學性、有效性和關(guān)聯(lián)性特點。雖然一些課例在新知引入上也注重趣味性,但鑒于高中生(特別是數(shù)學基礎(chǔ)較好的學生)的特點,一些教師主要關(guān)注數(shù)學史對學生認知上而非情感上的助益,因而引入的趣味性不足。
綜上所述,我們所考察的11個HPM課例在新知引入中主要采用了問題引入、故事引入、演示引入和實例引入這四種方式,其中,問題引入方法采用得最多。通過數(shù)學史的融入,多數(shù)課例的引入能夠有效地揭示新知的必要性,體現(xiàn)“知識之諧”,從而激發(fā)學生的學習動機;同時,也能滿足通常的引入所應(yīng)具備的可學性和關(guān)聯(lián)性特點。數(shù)學史在為一線教師提供新知引入的素材的同時,也幫助教師更好地理解新知發(fā)生的動因,從而設(shè)計出更合理、更有效的引入。因此,HPM課例印證了本文引言部分所提及的數(shù)學史的價值。我們有理由相信,HPM課例中的新知引入設(shè)計為現(xiàn)行教科書提供了有益的補充。
另一方面,部分HPM課例的引入未能兼顧四種特點,因而在數(shù)學史料的選擇、裁剪和加工上,還有很大的完善空間。此外,HPM課例的設(shè)計和實施需要建立在對教科書的深入理解之上。
[1] 汪曉勤. HPM:數(shù)學史與數(shù)學教育[M]. 北京:科學出版社,2017.
[2] 金惠萍,王芳. HPM視角下的對數(shù)概念教學[J].教育研究與評論(中學教育教學),2014(9):28-34.
[3] 張小明. 兩角和差的三角公式推導——數(shù)學史融入數(shù)學教學的案例研究[J]. 數(shù)學教學,2007(2):42-44.
[4] 張筱瑜,汪曉勤. “正弦定理”:用歷史拓思維、潤情感[J]. 教育研究與評論(中學教育教學),2015(6):21-25.
[5] 張小明. 均值不等式的 HPM 學習單設(shè)計[J]. 中學數(shù)學教學參考(高中版),2012(10):68-70.
[6] 石和飛. “曲線與方程”:用古希臘軌跡問題串聯(lián)[J]. 教育研究與評論(中學教育教學),2016(3):52-56.
[7] 方國青,王芳. HPM視角下“數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入”課例研究[J]. 數(shù)學教學,2013(4):4-29.
[8] 王芳,汪曉勤. HPM視角下“導數(shù)幾何意義”的教學[J]. 數(shù)學教育學報,2012,21(5):57-60.
[9] 陳飛. “函數(shù)的零點”:用歷史故事和問題激發(fā)動機[J]. 教育研究與評論(中學教育教學),2015(12):28-31.
[10] 李玲. “遞推數(shù)列”:從漢諾塔游戲出發(fā)[J]. 教育研究與評論(中學教育教學),2015(9):19-23.
[11] 徐超. 拋物線概念教學:重構(gòu)數(shù)學史[J]. 教育研究與評論,2015(8):26-31.
[12] 李玲,汪曉勤. 數(shù)列概念:通過歷史體現(xiàn)“奇、趣、本、用”[J]. 教育研究與評論(中學教育教學),2016(4):61-65.
[13] 張守波.淺談中學數(shù)學教學導入新課的方法.數(shù)學通報,1996,35(1):1-2.
[14] 于鴻麗.數(shù)學課堂教學的導入技能[J].中學數(shù)學教學參考,2007(1-2):10-12.
[15] Kline M. The ancients versus the moderns:a new battle of the books[J]. Mathematics Teacher,1958,51(6):418-427.
[16] Pólya G. Mathematical Discovery[M]. New York:John Wiley & Sons,1965:132-133.