劉 誠， 邱 天 爽*， 李 景 春， 李 蓉

( 1.大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部, 遼寧 大連 116024；2.國家無線電監(jiān)測(cè)中心， 北京 100037 )

0 引 言

以最小均方(LMS)算法、遞歸最小二乘(RLS)算法為代表的一類自適應(yīng)濾波算法在信道均衡、系統(tǒng)辨識(shí)、噪聲消除等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用．LMS算法原理簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，但是收斂速度較慢；RLS算法在收斂速度上比LMS算法快一個(gè)數(shù)量級(jí)，而它的代價(jià)是增加了計(jì)算復(fù)雜度[1]．

作為LMS算法的擴(kuò)展又不同于LMS算法，仿射投影算法(APA)利用當(dāng)前以及過去一段時(shí)間的輸入值和觀測(cè)值，即一個(gè)N階的向量作為輸入數(shù)據(jù)，取代LMS算法以單點(diǎn)作為輸入數(shù)據(jù)的方法，可以有效地減少樣本的梯度噪聲，適用于輸入數(shù)據(jù)頻譜不平穩(wěn)的情況．其算法性能介于LMS算法與RLS算法之間，在收斂速度和計(jì)算復(fù)雜度之間取得較好的平衡[2]．目前，針對(duì)仿射投影算法的研究主要集中在使用變步長的方法改善收斂性能上，文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]均利用仿射投影誤差的范數(shù)修正步長的大小，沒有從根本上改進(jìn)算法的抗噪聲能力．文獻(xiàn)[5]用階躍函數(shù)改進(jìn)仿射投影算法的代價(jià)函數(shù)，由于階躍函數(shù)只能取最大或最小值，在強(qiáng)脈沖噪聲環(huán)境下算法的收斂速度下降．

傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法常以最小均方誤差準(zhǔn)則(MSE)作為代價(jià)函數(shù)，這樣在假設(shè)噪聲服從高斯分布或至少具有有限的二階統(tǒng)計(jì)量的情況下，傳統(tǒng)的算法會(huì)取得較好的收斂性能．而在自然環(huán)境或許多工程技術(shù)應(yīng)用中，噪聲常表現(xiàn)出一種脈沖狀的非高斯性，并且往往具有很大的幅度，在數(shù)學(xué)上用穩(wěn)定分布的模型來描述這一類噪聲．目前常用的自適應(yīng)濾波算法大多數(shù)的代價(jià)函數(shù)都是基于最小均方誤差準(zhǔn)則，包括仿射投影算法在內(nèi)的這一類算法在穩(wěn)定分布的噪聲下會(huì)出現(xiàn)失調(diào)或者不收斂等情況[6]，無法滿足自適應(yīng)濾波的要求．針對(duì)穩(wěn)定分布噪聲的情況，Liu等在文獻(xiàn)[7]中提出了最大相關(guān)熵準(zhǔn)則(MCC)，基于這種準(zhǔn)則開發(fā)的算法，可以在脈沖噪聲條件下表現(xiàn)出較好的性能．在參數(shù)估計(jì)方面，文獻(xiàn)[8]將MSE與MCC相結(jié)合修正仿射投影算法的目標(biāo)函數(shù)，并在混合高斯噪聲環(huán)境下取得較好收斂效果．文獻(xiàn)[9]將最大相關(guān)熵準(zhǔn)則與韌性子空間跟蹤算法結(jié)合，證明了該算法在穩(wěn)定分布噪聲以及混合高斯噪聲模型下具有更優(yōu)的子空間跟蹤性能．

在實(shí)際應(yīng)用中，特別是在無線電監(jiān)測(cè)環(huán)境下，接收信號(hào)常常會(huì)遇到脈沖性噪聲的影響，使得無線定位或參數(shù)估計(jì)的結(jié)果與真實(shí)值有較大偏離．此外，若被監(jiān)測(cè)的信號(hào)是運(yùn)動(dòng)的，則需要采用自適應(yīng)算法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)估計(jì)．由此可見，無線電監(jiān)測(cè)的實(shí)際問題亟須設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)一種對(duì)于脈沖性噪聲有較好抑制作用的自適應(yīng)濾波或參數(shù)估計(jì)方法．綜上，本文以最大相關(guān)熵準(zhǔn)則為代價(jià)函數(shù)，改進(jìn)仿射投影算法，推導(dǎo)出適用于脈沖噪聲下的基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的仿射投影算法(MCCAPA)．并以SαS穩(wěn)定分布(對(duì)稱α穩(wěn)定分布)為脈沖噪聲模型，通過實(shí)驗(yàn)證明本文算法在適用于脈沖噪聲環(huán)境的同時(shí)，具有較快的收斂速度和較好的收斂性能．

1 研究背景

1.1 SαS分布噪聲模型

SαS分布噪聲模型是唯一一類滿足廣義中心極限定理的分布．與高斯分布相比，SαS分布具有更厚的統(tǒng)計(jì)拖尾，因此在時(shí)域上具有顯著的脈沖特性，可以很好地描述自然環(huán)境下或工程技術(shù)應(yīng)用中具有較強(qiáng)脈沖性的噪聲類型，其噪聲模型的特征函數(shù)可以表示為

(1)

式中：0<α≤2，為特征指數(shù)，用于描述穩(wěn)定分布過程的脈沖程度，且α取值越小，表現(xiàn)出越強(qiáng)的脈沖性，當(dāng)α=2時(shí)，穩(wěn)定分布退化為高斯分布；a∈R，為位置參數(shù)，表示分布的均值或中值；γ∈(0，∞)，為分散系數(shù)，用于描述分布的分散情況[10-11]．通過上述模型可以很好地構(gòu)造出在實(shí)際中普遍存在的具有較強(qiáng)脈沖性的非高斯現(xiàn)象．因此，本文選擇SαS分布來構(gòu)造脈沖噪聲環(huán)境．

1.2 最大相關(guān)熵準(zhǔn)則

對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，其相關(guān)熵的定義為

Vσ(X，Y)=E[κσ(X-Y)]

(2)

其中E[·]為期望，κσ(·)為核函數(shù)，σ為核長．

核函數(shù)可以減少把輸入數(shù)據(jù)從低維空間到高維空間映射后產(chǎn)生的計(jì)算量，同時(shí)映射到高維空間的維數(shù)越大，區(qū)分輸入數(shù)據(jù)差異的性能越好．其中，高斯核函數(shù)可以將輸入數(shù)據(jù)映射到無限維空間，而其余的方法只能映射到有限維空間，故選擇高斯核函數(shù)代入相關(guān)熵的表達(dá)式可得到：

(3)

文獻(xiàn)[7]提出了相關(guān)熵可以誘導(dǎo)出一個(gè)測(cè)度距離(correntropy induced metric，CIM)，并給出CIM的表達(dá)式為CIM(X，Y)=[κσ(0)-Vσ(X，Y)]1/2．實(shí)際上，最大相關(guān)熵準(zhǔn)則是依據(jù)最大化相關(guān)熵Vσ(X，Y)等價(jià)于最小化CIM(X，Y)這一性質(zhì)的，即當(dāng)測(cè)度距離越小時(shí)，兩個(gè)變量的相似程度越高，其相關(guān)熵的值越大．因此，依據(jù)最大相關(guān)熵準(zhǔn)則，當(dāng)Vσ(X，Y)取得最大值時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的誤差e(i)=X(i)-Y(i)最小[12]．

2 算法介紹

2.1 仿射投影算法

設(shè)u為n×1維的零均值隨機(jī)變量，d為一個(gè)零均值隨機(jī)標(biāo)量，w為自適應(yīng)濾波器的系數(shù)向量，給出基于最小均方誤差準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)為

minJ(w)=E[(d-wTu)2]

(4)

由式(4)可知，仿射投影算法濾波器權(quán)值的最佳解表達(dá)式為

w＾=argminwE[e2(w)]

(5)

w(i)=w(i-1)+η(Ru+εI)-1[rdu-Ruw(i-1)]

(6)

其中ε為平滑因子，是一個(gè)小的正數(shù)；η為人工設(shè)定的步長．在實(shí)際的濾波過程中，理論上無法獲得完整的協(xié)方差矩陣，仿射投影算法采用當(dāng)前與之前共K個(gè)時(shí)刻的輸入值和觀測(cè)值來估計(jì)Ru和rdu的值，即

R＾u=1KU(i)UT(i)

r＾du=1KU(i)d(i)

(7)

其中U(i)=(u(i-K+1) …u(i))n×K，d(i)=(d(i-K+1) …d(i))T．將估計(jì)值代入式(6)，得到仿射投影算法的遞推公式為

w(i)=w(i-1)+ηU(i)[UT(i)U(i)+εI]-1·

[d(i)-UT(i)w(i-1)]

(8)

2.2 基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的仿射投影算法

仿射投影算法在高斯噪聲環(huán)境下可以取得較好的收斂性能，但是在脈沖噪聲環(huán)境下，由于它的代價(jià)函數(shù)是基于最小均方誤差準(zhǔn)則的，不存在有限的二階或高階統(tǒng)計(jì)量，會(huì)使算法性能退化，或者出現(xiàn)不收斂的情況．為此，本文提出基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的仿射投影算法(MCCAPA)，使得其在脈沖噪聲環(huán)境下取得較好的效果．

minE[ρ(e(i))]=minE[κσ(0)-κσ(e(i))]=

minE[(1-exp(-e2(i)/

maxE[exp(-e2(i)/2σ2)/

maxE[κσ(e(i))]

(9)

式中“?”表示等價(jià)轉(zhuǎn)換，根據(jù)上式的轉(zhuǎn)換得到基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)為

maxJ(w)=maxE[κσ(e(i))]=

wnTu(i))2/2σ2)]

(10)

由代價(jià)函數(shù)可以得到基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的仿射投影算法濾波器最佳權(quán)值表達(dá)式為

w＾=argmaxwE[κσ(e(w))]

(11)

應(yīng)用平滑牛頓遞歸算法推導(dǎo)出遞歸方程：

w(i)=w(i-1)+η(Ru+εI)-1J(w)=

(12)

其中e(i)為n×K階矩陣．

根據(jù)M估計(jì)自適應(yīng)濾波理論，可以得到最大相關(guān)熵準(zhǔn)則代價(jià)函數(shù)的維納解為

(13)

式中：Rκ，u為輸入矩陣U(i)的自協(xié)方差矩陣，rκ，du為輸入矩陣U(i)與目標(biāo)矩陣d(i)的互協(xié)方差矩陣，應(yīng)用仿射投影算法原理得到估計(jì)式為

R＾κ，u=1KU(i)UT(i)

r＾κ，du=1KU(i)d(i)

(14)

將上式代入式(12)，利用矩陣求逆引理，得到MCCAPA的遞推公式為

(15)

其中e(i)=d(i)-UT(i)w(i-1)．

給出MCCAPA實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)初始化w(0)=0，選擇步長η，核長σ．

(2)計(jì)算

y(i)=UT(i)w(i-1)

e(i)=d(i)-y(i)

(3)重復(fù)(2)至均方誤差值收斂于穩(wěn)態(tài)誤差．

MCCAPA利用最大相關(guān)熵準(zhǔn)則作為代價(jià)函數(shù)，先由迭代誤差代入最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)計(jì)算出一個(gè)權(quán)值k(i)，再代入迭代公式進(jìn)行迭代．當(dāng)?shù)`差e(i)受到脈沖噪聲的影響而增大時(shí)，權(quán)值k(i)減小，將權(quán)值代入迭代公式得到濾波器系數(shù)w(i)的變化較小，從而保證了算法不會(huì)受到脈沖噪聲的影響而出現(xiàn)不收斂或收斂性能下降的情況；反之，當(dāng)?shù)`差e(i)較小時(shí)，權(quán)值k(i) 較大，保證了算法可以取得較快的收斂速率．

MCCAPA通過誤差自適應(yīng)地控制迭代公式中濾波器系數(shù)的大小，既可以在迭代過程中使得濾波器系數(shù)免受脈沖噪聲的影響，保證算法的收斂性能，也可以在噪聲較小時(shí)快速調(diào)整濾波器的系數(shù)，保證算法的收斂速度．

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本文采用維納模型構(gòu)建的非線性信道均衡問題來考查各算法性能，其模型結(jié)構(gòu)如圖1所示．

在維納模型中，輸入信號(hào)先經(jīng)過線性變換，再經(jīng)過非線性變換，施加噪聲，得到接收機(jī)接收信號(hào)r(n)[13]．本文仿真信號(hào)采用BPSK信號(hào)，線性變換公式為

x′(n)=x(n)+0.5x(n-1)

(16)

圖1 維納非線性信道模型

非線性變換公式為

y(n)=x′(n)-0.5[x′(n)]2-0.2[x′(n)]3

(17)

將BPSK信號(hào)通過式(16)、(17)處理后，再施加穩(wěn)定分布噪聲，最終得到接收信號(hào)r(n)．

SαS分布在α<2時(shí)二階矩?zé)o界，因此引入廣義信噪比(generalized SNR，Rgsn)的概念．本文將在不同α取值以及不同廣義信噪比的情況下討論MCCAPA與APA的收斂速度和誤差性能的差別，并將討論在不同核長選擇的情況下，MCCAPA的誤差性能．

實(shí)驗(yàn)1在MCCAPA的核長取值、步進(jìn)取值均為最佳的條件下，設(shè)定廣義信噪比為10 dB，在廣義信噪比較理想的情況下比較噪聲的沖激程度對(duì)各算法的影響．α=1.8時(shí)，噪聲沖激程度較小，接近于高斯噪聲，進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，得到兩種算法的學(xué)習(xí)曲線如圖2所示．可以觀察到，MCCAPA取得較快的收斂速度，APA收斂速度較慢．學(xué)習(xí)曲線穩(wěn)定后MCCAPA的誤差控制性能要稍好于APA．

圖2 α=1.8時(shí)學(xué)習(xí)曲線

逐步減小α的取值，使噪聲的沖激程度不斷加大．當(dāng)α=1.1時(shí)，如圖3所示，在受到嚴(yán)重沖激噪聲干擾的情況下，MCCAPA收斂速度較快，且出現(xiàn)波動(dòng)后可以快速收斂．而APA會(huì)出現(xiàn)學(xué)習(xí)曲線突變后不收斂的情況，不適用于強(qiáng)沖激噪聲的惡劣情況．

圖3 α=1.1時(shí)學(xué)習(xí)曲線

繼續(xù)減小α的值，MCCAPA受沖激噪聲的影響不大，且具有較好的韌性，而APA則出現(xiàn)不收斂的情況，算法不適用．圖4給出了在廣義信噪比為10 dB時(shí)均方誤差隨α變化的情況，可以觀察到，MCCAPA在脈沖噪聲環(huán)境下的穩(wěn)態(tài)誤差要小于APA，且在強(qiáng)脈沖噪聲環(huán)境下，APA不收斂，無法使用．

圖4 GSNR為10 dB時(shí)均方誤差隨α變化情況

實(shí)驗(yàn)2設(shè)α=1.6保持不變，改變廣義信噪比的值，觀察兩種算法在不同廣義信噪比下的性能．在廣義信噪比較高的情況下，兩種算法的收斂情況與圖2相似．逐步減小廣義信噪比的值，當(dāng)廣義信噪比為4 dB時(shí)，如圖5所示，APA會(huì)發(fā)生不收斂的情況，MCCAPA收斂性能較好，并且MCCAPA 收斂速度更快，穩(wěn)態(tài)波動(dòng)較小．

圖5 GSNR為4 dB時(shí)學(xué)習(xí)曲線

圖6給出在α=1.6保持不變的情況下改變廣義信噪比，兩種算法在迭代第600次時(shí)均方誤差隨廣義信噪比的變化情況．

圖6 α=1.6時(shí)均方誤差隨廣義信噪比變化情況

當(dāng)廣義信噪比的值小于8 dB時(shí)，APA會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定誤差變大的情況，算法的收斂性能較差．如圖6所示，在廣義信噪比較大，即實(shí)驗(yàn)環(huán)境較理想的情況下，兩種算法的穩(wěn)態(tài)誤差相差不大，MCCAPA 的誤差較小，體現(xiàn)了自適應(yīng)濾波的效果較好．隨著廣義信噪比的減小，兩種算法的穩(wěn)定誤差都會(huì)隨之增大，然而在較為惡劣的情況下，APA的誤差會(huì)顯著增加，可以看出MCCAPA在收斂性能以及誤差控制上優(yōu)于APA．

實(shí)驗(yàn)3在理想條件下，針對(duì)MCCAPA，討論核長σ對(duì)收斂性能的影響．核長是高斯核中用來抑制噪聲干擾的重要參數(shù)，鑒于目標(biāo)信號(hào)和噪聲的多樣性、復(fù)雜性，無法通過理論推導(dǎo)的方式確定核長的最優(yōu)解，而是通過大量仿真實(shí)驗(yàn)來確定最合適的核長．表1給出廣義信噪比為20 dB、α=1.8 的情況下，核長在0～2.0變化，MCCAPA在迭代第600次時(shí)均方誤差．

表1 均方誤差隨核長的變化情況

觀察可知，當(dāng)核長在0～2.0變化時(shí)，均方誤差總體上呈現(xiàn)出先下降再上升的趨勢(shì)，在σ=0.8時(shí)取得最小值．

4 結(jié) 語

針對(duì)最小均方誤差準(zhǔn)則在脈沖噪聲情況下性能不好的問題，本文使用最大相關(guān)熵準(zhǔn)則修正仿射投影算法的代價(jià)函數(shù)，推導(dǎo)出基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的仿射投影算法．并通過實(shí)驗(yàn)證明在沖激性較強(qiáng)以及信噪比較低等情況下，新算法MCCAPA 都具有比較好的收斂速度與較小的穩(wěn)態(tài)誤差，更加適應(yīng)于實(shí)際應(yīng)用中的情況．

[1] SAYED A H.AdaptiveFilters[M]. New York: Wiley-IEEE Press, 2008.

[2] GONZALEZ A, FERRER M, ALBU F,etal. Affine projection algorithms:Evolution to smart and fast algorithms and applications [J].EuropeanSignalProcessingConference, 2012:6333930.

[3] SHIN H C, SAYED A H, SONG W J. Variable step-size NLMS and affine projection algorithms [J].IEEESignalProcessingLetters, 2004,11(2):132-135.

[4] XIAO Longshuai, WU Ming, YANG Jun. A new efficient filtered-x affine projection sign algorithm for active control of impulsive noise [J].SignalProcessing, 2016,120:456-461.

[5] ZHENG Zongsheng, ZHAO Haiquan. Memory improved proportionate M-estimate affine projection algorithm [J].ElectronicsLetters, 2015,51(6):525-526.

[6] WANG Bing, CUI Guolong, YI Wei,etal. Approximation to independent lognormal sum withα-μdistribution and the application [J].SignalProcessing, 2015,111:165-169.

[7] LIU Weifeng, POKHAREL P P, PRINCIPE J C. Correntropy: properties and applications in non-Gaussian signal processing [J].IEEETransactionsonSignalProcessing, 2007,55(11):5286-5298.

[8] YANG Xiaohan, QU Hua, ZHAO Jihong,etal. Hybrid affine projection algorithm [C] //201413thInternationalConferenceonControlAutomationRoboticsandVision,ICARCV2014. Piscataway: IEEE, 2015:964-968.

[9] 張金鳳,邱天爽,李 森. 沖激噪聲環(huán)境下基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的韌性子空間跟蹤新算法[J]. 電子學(xué)報(bào), 2015,43(3):483-488.

ZHANG Jinfeng, QIU Tianshuang, LI Sen. A robust PAST algorithm based on maximum correntropy criterion for impulsive noise environments [J].ActaElectronicaSinica, 2015,43(3):483-488. (in Chinese)

[10] 邱天爽,張金鳳,宋愛民,等. 脈沖噪聲下基于廣義類相關(guān)熵的DOA估計(jì)新方法[J]. 信號(hào)處理, 2012,28(4):463-466.

QIU Tianshuang, ZHANG Jinfeng, SONG Aimin,etal. The generalized correntropy-analogous statistics based direction of arrival estimation in impulsive noise environments [J].SignalProcessing, 2012,28(4):463-466. (in Chinese)

[11] TSIHRINTZIS G A, NIKIAS C L. Fast estimation of the parameters of alpha-stable impulsive interference [J].IEEETransactionsonSignalProcessing, 1996,44(6):1492-1503.

[12] SINGH A, PRINCIPE J C. Using correntropy as a cost function in linear adaptive filters [C] //2009InternationalJointConferenceonNeuralNetworks,IJCNN2009. Piscataway: IEEE, 2009:2950-2955.

[13] ABD-ELRADY E. A nonlinear approach to harmonic signal modeling [J].SignalProcessing, 2004,84(1):163-195.