劉 彪， 馬 雅 麗， 王 德 倫， 黎 康 康

( 大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

兩剛體間的純滾運(yùn)動(dòng)在很多常用機(jī)械中有著廣泛而重要的應(yīng)用．通常采用機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)純滾運(yùn)動(dòng)，而機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于如何利用軌跡綜合方法確定機(jī)構(gòu)的尺寸[1-2]．機(jī)構(gòu)軌跡綜合問(wèn)題以離散點(diǎn)或連續(xù)軌跡的方式給出，其實(shí)現(xiàn)方法分為精確點(diǎn)綜合和近似綜合[3]．在精確點(diǎn)綜合難以實(shí)現(xiàn)的情況下可以使用近似綜合．

一般來(lái)說(shuō)，近似綜合又分為直接綜合和間接綜合．直接綜合法直接根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理求解機(jī)構(gòu)方案，如Hrones[4]使用連桿曲線集分析四桿機(jī)構(gòu)，Kramer[5]使用Hooke-and-Jeeves搜索法，Subbian等[6]使用連續(xù)法處理多項(xiàng)式方程來(lái)實(shí)現(xiàn)四桿機(jī)構(gòu)軌跡生成綜合，但這些數(shù)值方法往往難以處理高階非線性方程組．王德倫等[7]提出了自適應(yīng)擬合方法和法向誤差的鞍點(diǎn)規(guī)劃模型用于四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合．為了同時(shí)保證有效性和高精度，許多優(yōu)化算法也被用于機(jī)構(gòu)軌跡綜合，如遺傳優(yōu)化算法[8]、模擬退火法[9]等．間接綜合法[10-11]是從預(yù)先建立的軌跡圖譜中搜索匹配的軌跡，輸出機(jī)構(gòu)構(gòu)型和尺寸，該方法依賴(lài)于海量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)容量和計(jì)算機(jī)快速檢索能力．

純滾剪切機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)需要同時(shí)保證純滾運(yùn)動(dòng)軌跡和剪切性能，如用于中厚鋼板剪切的滾剪機(jī)，為保證剪切質(zhì)量，理想剪切動(dòng)作應(yīng)保證上下剪刃作純滾運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有滑移．現(xiàn)有方法往往選擇保證若干關(guān)鍵點(diǎn)精確運(yùn)動(dòng)的方式完成設(shè)計(jì)，或?qū)ι霞羧袆?dòng)態(tài)最低點(diǎn)軌跡優(yōu)化[12]，但非關(guān)鍵點(diǎn)處易出現(xiàn)較大的運(yùn)動(dòng)誤差和水平滑移．因此，本文通過(guò)研究剪刃完整滾切運(yùn)動(dòng)的動(dòng)、定瞬心線與接觸線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立一種新型的以最優(yōu)化瞬心線為基礎(chǔ)的純滾運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)綜合模型，以期獲得最優(yōu)化的機(jī)構(gòu)尺寸，使得滾剪機(jī)在整個(gè)剪切過(guò)程中具有最小的運(yùn)動(dòng)誤差和水平滑移量，提高剪切質(zhì)量．

1 運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)模型

剛體作相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)速度相同的點(diǎn)稱(chēng)為速度瞬時(shí)中心，簡(jiǎn)稱(chēng)速度瞬心或瞬心．瞬心在固定剛體平面內(nèi)的軌跡稱(chēng)為定瞬心線，在運(yùn)動(dòng)剛體平面內(nèi)的軌跡稱(chēng)為動(dòng)瞬心線．純滾運(yùn)動(dòng)意味著兩個(gè)剛體間相對(duì)運(yùn)動(dòng)沒(méi)有滑移，瞬時(shí)接觸點(diǎn)相對(duì)速度為零．因此，只要?jiǎng)?、定瞬心線分別符合剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)的接觸線，就可以保證兩剛體做純滾運(yùn)動(dòng)．

滾剪機(jī)的理想剪切運(yùn)動(dòng)應(yīng)為上剪刃和下剪刃相對(duì)純滾運(yùn)動(dòng)．本文選擇二自由度連桿式滾剪機(jī)作為設(shè)計(jì)對(duì)象，其機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示[13]．以下推導(dǎo)該七連桿機(jī)構(gòu)的瞬心線運(yùn)動(dòng)方程．

圖1 七連桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

如圖1所示，桿AB和EF是原動(dòng)件，桿CDG是從動(dòng)件作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)．在定鉸鏈點(diǎn)H處建立定坐標(biāo)系H-xy，在桿CDG上的CD中點(diǎn)L處建立動(dòng)坐標(biāo)系L-xmym．各桿長(zhǎng)度分別記為{Li，i=1，2，…，11}，各桿的相位角和角速度分別記為{θi，i=1，2，…，6}和{ωi，i=1，2，…，6}．對(duì)閉環(huán)HGDEFKH和閉環(huán)HGCBAFKH列閉環(huán)矢量方程：

HG+GD+DE=HK+KF+FE

(1)

HG+GC+CB=HK+KF+FA+AB

(2)

將式(1)和(2)投影在固定坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸上，得

L6cosθ6+L5cosθ5+L4cosθ4+L11-

L2cosθ2=0；

L6sinθ6+L5sinθ5+L4sinθ4-L10-

L2sinθ2=0

(3)

L6cosθ6+L8cos(θ5+α)+L3cosθ3+L9+

L11-L1cosθ1=0；

L6sinθ6+L8sin(θ5+α)+L3sinθ3-L10-

L1sinθ1=0

(4)

該機(jī)構(gòu)通過(guò)齒輪傳動(dòng)共用一個(gè)動(dòng)力源，即原動(dòng)件桿AB和EF做等速同向轉(zhuǎn)動(dòng)，二者相位差θ1-θ2=θC，其中θC為定值．由此可以確定式中各角度．

分別將方程組(3)、(4)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得出速度方程組如下：

-L6ω6sinθ6-L5ω5sinθ5-L4ω4sinθ4+

L2ω2sinθ2=0；

L6ω6cosθ6+L5ω5cosθ5+L4ω4cosθ4-

L2ω2cosθ2=0

(5)

-L6ω6sinθ6-L8ω5sin(θ5+α)-L3ω3sinθ3+

L1ω1sinθ1=0；

L6ω6cosθ6+L8ω5cos(θ5+α)+L3ω3cosθ3-

L1ω1cosθ1=0

(6)

其中ω2=ω1為原動(dòng)件的角速度．求解方程組(5)和(6)即可確定式中各角速度．理想的設(shè)計(jì)方案要求桿CDG在純滾剪切過(guò)程中相對(duì)于機(jī)架產(chǎn)生純滾運(yùn)動(dòng)．在整個(gè)純滾剪切過(guò)程中，速度瞬心P相對(duì)于從動(dòng)件CDG形成動(dòng)瞬心線，相對(duì)于機(jī)架形成定瞬心線，分別對(duì)應(yīng)圖1中的曲線P1和P2．

為了便于定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換，在桿CDG的運(yùn)動(dòng)平面上引入動(dòng)坐標(biāo)系G-xGyG．記速度瞬心P在定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(x，y)和(xm，ym)，使用坐標(biāo)變換矩陣將各點(diǎn)從動(dòng)坐標(biāo)系變換到定坐標(biāo)系中，則兩組坐標(biāo)存在如下關(guān)系：

r=MHGMGLrm

(7)

其中r=(xy1)T，rm=(xmym1)T，MHG為坐標(biāo)系H-xy與G-xGyG間的齊次坐標(biāo)變換方程，MGL為坐標(biāo)系G-xGyG與L-xmym間的齊次坐標(biāo)變換方程，分別由下式給出：

(8)

式(8)中θ5與θ6分別為桿L5與L6的方位角．β1與β2分別為兩坐標(biāo)系的相對(duì)轉(zhuǎn)角．記LGL為桿GL的桿長(zhǎng)，將上式代入式(7)并對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

x．y．0?è?????÷÷÷=

(9)

xm=LGLω5cos(β1+β2)+

L6ω6cos(β2+θ6-θ5)；

ym=LGLω5sin(β1+β2)+

L6ω6sin(β2+θ6-θ5)

(10)

將式(10)代入式(7)，則可以得到定瞬心線方程：

x=LGL(ω5+1)cos(β1+θ5)+

L6(ω6+1)cosθ6；

y=LGL(ω5+1)sin(β1+θ5)+

L6(ω6+1)sinθ6

(11)

至此動(dòng)瞬心線和定瞬心線都可以求解出來(lái)，在此基礎(chǔ)上即可以搜索連桿機(jī)構(gòu)的最優(yōu)化尺寸和桿件角度，使得機(jī)構(gòu)構(gòu)件的動(dòng)、定瞬心線以純滾運(yùn)動(dòng)的方式配合運(yùn)動(dòng)．

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

依據(jù)純滾運(yùn)動(dòng)特性方程和剪切性能的相關(guān)要求建立最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束條件，考慮到求解的有效性和便捷性，采用遺傳算法[14]求解即可得到合適的滾剪機(jī)機(jī)構(gòu)尺寸．以下以某鋼廠七連桿式滾剪機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)作為實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明．

2.1 滾剪機(jī)剪刃參數(shù)

滾剪機(jī)的剪刃參數(shù)與剪切過(guò)程有關(guān)，這些參數(shù)包括剪切鋼板寬度B、最大鋼板厚度Tmax、剪切重疊量S和剪切角α，如圖2所示．

圖2 滾剪機(jī)剪刃參數(shù)

鋼板寬度B確定下剪刃的寬度，剪切重疊量S確定剪切過(guò)程中上、下剪刃的重疊量，剪切角α是指下剪刃與圓弧上剪刃切線在接觸點(diǎn)處的夾角．

2.2 優(yōu)化模型

根據(jù)剪刃參數(shù)可以求得期望的上剪刃和下剪刃廓線．建立優(yōu)化模型的目的即是在滿足特定約束的條件下，獲得一組最優(yōu)化機(jī)構(gòu)尺寸使得瞬心線與期望的上、下剪刃軌線之間具有最小的偏差．

(1)優(yōu)化變量

滾剪機(jī)的設(shè)計(jì)變量一般包括桿長(zhǎng)、桿方位角和鉸鏈點(diǎn)位置，將這些設(shè)計(jì)變量作為優(yōu)化變量，記為

t=(t1t2…tn)T，t∈Rn

(12)

其中的每一個(gè)元素ti(i=1，2，…，n)對(duì)應(yīng)著機(jī)構(gòu)的一個(gè)尺寸參數(shù)，如桿長(zhǎng)Lj(j=1，2，…，11)和角度θk(k=1，2，…，6)等，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案可由結(jié)果向量t*表示，即最優(yōu)點(diǎn)．

(2)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使動(dòng)瞬心線盡量逼近上剪刃廓線，同時(shí)定瞬心線盡量逼近下剪刃廓線．基于此，將目標(biāo)函數(shù)定義為兩對(duì)曲線的吻合誤差和，即動(dòng)瞬心線與上剪刃廓線的吻合誤差加上定瞬心線與下剪刃廓線的吻合誤差，由下式給出：

minU(t)
U(t)=U1(t)+U2(t)

(13)

其中U1(t)為動(dòng)瞬心線與上剪刃廓線的吻合誤差，U2(t)為定瞬心線與下剪刃廓線的吻合誤差．分別在上剪刃平面和下剪刃平面上建立用于評(píng)估吻合誤差的坐標(biāo)系Om-xmym和O-xy，如圖3和4所示．

圖3 動(dòng)瞬心線與圓弧上剪刃

圖4 定瞬心線與水平下剪刃

坐標(biāo)系Om-xmym固定在圓弧上剪刃平面上，隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)瞬心線和上剪刃廓線表示為

ym=gmt(xm)
ym=fm(xm)；xm1≤xm≤xmn

(14)

坐標(biāo)系O-xy固定在水平下剪刃平面上，相對(duì)機(jī)架固定，定瞬心線和下剪刃廓線表示為

y=gt(x)
y=f(x)=C；x1≤x≤xn

(15)

其中xn-x1=B，C是常數(shù)，對(duì)應(yīng)著鋼板剪切位置．

誤差U1(t)和U2(t)由下式確定：

(16)

(17)

據(jù)此純滾剪切機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以表示為

(18)

(3)約束條件

滾剪機(jī)設(shè)計(jì)的約束條件主要是一些運(yùn)動(dòng)參數(shù)和剪切性能參數(shù)，包括開(kāi)口度、上下剪刃的剪切重疊量誤差和剪切力峰值．

①開(kāi)口度約束

為了保證被剪鋼板能夠順利通過(guò)，剪切結(jié)束后上下剪刃應(yīng)能產(chǎn)生足夠的間距，該間距稱(chēng)為上下剪刃間的開(kāi)口度，記為J．開(kāi)口度是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，應(yīng)大于鋼板的厚度T，即

J(t)≥T

(19)

②重疊量誤差約束

為獲得穩(wěn)定的剪切質(zhì)量，剪刃在板寬方向的重疊量應(yīng)限制在一定范圍．該值由上剪刃動(dòng)態(tài)最低點(diǎn)k與下剪刃的距離確定，如圖5所示．k點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)由下式給出：

xk=xh-Rsinβ
yk=yh-R(1-cosβ)

(20)

其中R和β分別為上剪刃的圓弧半徑和傾角；(xh，yh)為上剪刃圓弧中點(diǎn)h在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．據(jù)此可得重疊量誤差約束

|ΔS|=|C-yk-S|≤0.1S

(21)

其中S為理論重疊量．

圖5 上剪刃動(dòng)態(tài)最低點(diǎn)k與剪刃圓弧中點(diǎn)h

③剪切力峰值約束

上剪刃的受力主要包含剪切力和摩擦力等，為保護(hù)剪刃，引入剪切力峰值約束以限制通常出現(xiàn)在初始剪切階段的最大剪切力．滾剪機(jī)的剪切力[15]可由下式求得：

(22)

其中T為鋼板厚度，σb和δ為鋼板材料的強(qiáng)度極限和延伸率，Z為轉(zhuǎn)換系數(shù)，r1為剪刃間隙與板厚之比，r2為剪刃下側(cè)到鋼板距離與板厚之比．上式表明剪切力約束可通過(guò)對(duì)剪切角α的處理實(shí)現(xiàn)，因此可將極限剪切角限定在指定的剪切角α0以上，即

αst≥α0

(23)

其中αst為上剪刃初始剪切角，由上剪刃圓弧與被剪鋼板位置的幾何關(guān)系所確定，即

(24)

其中(xo，yo)和(xq，yq)分別為上剪刃圓弧的圓心和鋼板上表面初始剪切接觸點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．

通過(guò)求解上述滾剪機(jī)尺寸優(yōu)化模型即可得到一組最優(yōu)解t*，對(duì)應(yīng)著滿足上下剪刃間純滾運(yùn)動(dòng)要求的最佳機(jī)構(gòu)尺寸．由于模型的目標(biāo)函數(shù)一般為多峰、非線性的，故本文采用遺傳算法來(lái)求解該優(yōu)化問(wèn)題．

3 結(jié)果與分析

3.1 優(yōu)化結(jié)果

以某鋼廠七連桿式滾剪機(jī)作為設(shè)計(jì)實(shí)例，如圖6所示．滾剪機(jī)的原始機(jī)構(gòu)尺寸為AB=EF=115 mm，BC=ED=865 mm，AF=CD=2 400 mm，DG=862 mm，HG=800 mm，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(-1 624，988)．使用真實(shí)的鋼板剪切剪刃參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，如表1所示．

圖6 滾剪機(jī)機(jī)構(gòu)示意圖

表1 滾剪機(jī)的剪刃參數(shù)

使用各桿桿長(zhǎng)和兩曲柄的初始相位角作為優(yōu)化變量，將式(15)中的常數(shù)C設(shè)定為-400 mm，選擇初始剪切角約束為αst≥1.5°．建立滾剪機(jī)優(yōu)化模型并使用遺傳算法求解，即可得到新的機(jī)構(gòu)尺寸設(shè)計(jì)結(jié)果，最后設(shè)計(jì)出的滾剪機(jī)機(jī)構(gòu)尺寸為AB=EF=115 mm，BC=ED=864 mm，AF=CD=2 400 mm，DG=856.68 mm，HG=807 mm，固定鉸鏈F點(diǎn)坐標(biāo)為(-1 638，1 033)；桿AB的初始相位角為113.8°．

3.2 運(yùn)動(dòng)與性能分析

優(yōu)化結(jié)果最重要的運(yùn)動(dòng)性能是保證滾剪機(jī)上、下剪刃間的純滾運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)瞬心線和定瞬心線和上、下剪刃廓線之間具有最小的偏差，通常使用圓弧上剪刃的動(dòng)態(tài)最低點(diǎn)跡線和上剪刃水平滑移量作為評(píng)價(jià)指標(biāo)[12]．剪切性能一般使用剪切角和剪切力作為新舊設(shè)計(jì)結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)．

圖7分別為新舊兩種設(shè)計(jì)方案的定瞬心線與水平下剪刃廓線．優(yōu)化設(shè)計(jì)后的定瞬心線相比原方案在剪切階段具有更好的直線度，即能更好地逼近下剪刃廓線．

圖8分別為新舊兩種設(shè)計(jì)方案的動(dòng)瞬心線與圓弧上剪刃廓線．新設(shè)計(jì)方案的動(dòng)瞬心線近似于對(duì)稱(chēng)的圓弧，這意味著動(dòng)瞬心線能夠更好地逼近上剪刃的圓弧形廓線，這與滾剪機(jī)優(yōu)化模型中的目標(biāo)函數(shù)是一致的．

(a) 原方案

(b) 新設(shè)計(jì)方案

圖7 定瞬心線與水平下剪刃廓線

(a) 原方案

(b) 新設(shè)計(jì)方案

圖8 動(dòng)瞬心線與圓弧上剪刃廓線

Fig.8 Moving centrode and lines of upper arc shear blade

圖9和10分別為上剪刃圓弧中點(diǎn)在完整工作周期和剪切階段的跡線．可以看出，新設(shè)計(jì)方案上剪刃在鋼板剪切過(guò)程中的水平滑移量明顯小于原方案，上剪刃更接近純滾運(yùn)動(dòng)．

圖11為上剪刃動(dòng)態(tài)最低點(diǎn)集合的跡線，在鋼板剪切階段該跡線近似為一條直線，其直線度反映了上、下剪刃重疊量的均勻性．原方案的圓弧上剪刃動(dòng)態(tài)最低點(diǎn)在剪切階段的跡線點(diǎn)集標(biāo)準(zhǔn)差為1.890 mm，優(yōu)化設(shè)計(jì)后該值變?yōu)?.352 mm，降低了81.4%，使得設(shè)計(jì)后的上、下剪刃重疊量更加均勻，也意味著更好的鋼板剪切質(zhì)量．

(a) 原方案

(b) 新設(shè)計(jì)方案

(a) 原方案

(b) 新設(shè)計(jì)方案

(a) 原方案

(b) 新設(shè)計(jì)方案

圖12為設(shè)計(jì)前后剪切角和剪切力在鋼板剪切過(guò)程中的變化曲線．原方案的初始剪切角為0.9°，其后剪切角大致穩(wěn)定在2.2°左右；新設(shè)計(jì)方案的滾剪機(jī)初始剪切角變?yōu)榧s1.5°．初始剪切角的變化帶來(lái)了剪切力峰值的改善，原方案的剪切力峰值為1.7×107N，優(yōu)化設(shè)計(jì)后該值為1.2×107N，降低了約29.4%．從圖中也可以看出，剪切力峰值大致與剪切角成反比關(guān)系，因此可以采用提高剪切角的方法降低剪切力峰值．

(a) 剪切角

(b) 剪切力

圖12 設(shè)計(jì)前后的剪切角與剪切力對(duì)比

Fig.12 Comparison of shear angle and stress before and after the design

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種基于瞬心線優(yōu)化的純滾剪切機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)新方法，通過(guò)使用遺傳優(yōu)化算法求解模型即可得到一組最優(yōu)化機(jī)構(gòu)尺寸，使得機(jī)構(gòu)瞬心線與純滾動(dòng)接觸線的誤差最小化．該方法應(yīng)用于某鋼廠的七連桿式滾剪機(jī)設(shè)計(jì)，與原方案相比：

(1)新設(shè)計(jì)方案的上剪刃動(dòng)態(tài)最低點(diǎn)跡線點(diǎn)集標(biāo)準(zhǔn)差降低了81.4%，使得設(shè)計(jì)后的上、下剪刃重疊量更加均勻，從而獲得了更好的鋼板剪切質(zhì)量．

(2)新設(shè)計(jì)方案的上剪刃水平滑移量明顯低于原方案，有利于減少上剪刃磨損，提升剪切效率和剪板質(zhì)量．

(3)新設(shè)計(jì)方案的剪切力峰值相比原方案降低了約29.4%，這有利于提高滾剪機(jī)的動(dòng)力性能，延長(zhǎng)使用壽命．

本文所提出的設(shè)計(jì)模型和方法不僅適用于七桿式純滾剪切機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，而且可以擴(kuò)展到其他類(lèi)型的連桿式純滾機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中．此外，在后續(xù)研究中也可以選擇不同的優(yōu)化求解方法以獲得更好的計(jì)算結(jié)果．

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