李清 余本嵩 金棟平

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016)

引言

航天器中攜帶的液體燃料對其動力學(xué)有重要影響[1]. 當(dāng)航天器在變軌機(jī)動過程中極易導(dǎo)致貯箱內(nèi)的液體晃動, 造成對容器壁沖擊, 嚴(yán)重影響充液航天器的穩(wěn)定性, 給姿態(tài)控制等帶來很大影響[2]. 因此，液體晃動受到廣泛關(guān)注.

早期, Abramson從理論分析、數(shù)值計算、實驗等對液體晃動進(jìn)行了系統(tǒng)和深入的研究[3]. Ibrahim對液體晃動動力學(xué)研究進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)[4]. 岳寶增結(jié)合我國近年來的研究成果, 系統(tǒng)介紹了計算大幅非線性晃動的數(shù)值方法, 包括Galerkin法、ALE有限元方法等[5]. 其中, 液體晃動的等效力學(xué)模型受到學(xué)者的關(guān)注[6,7]. Kang等建立了液體火箭晃動試驗的簡化單擺模型, 研究了粘性阻尼對縱向激勵下的火箭內(nèi)液體晃動穩(wěn)定性的影響[8]. 李青等建立了液體晃動與航天器橫向運動耦合的動力學(xué)方程, 發(fā)現(xiàn)耦合作用會擴(kuò)大不穩(wěn)定區(qū)域[9]. Kana等利用球-擺模型研究了貯箱內(nèi)液體旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性, 指出使用一個常量參數(shù)的系統(tǒng)模型不能描述液體的旋轉(zhuǎn)運動[10].

在外激勵的作用下, 充液系統(tǒng)具有十分復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為. 鐘順等通過流體勢函數(shù)進(jìn)行模態(tài)展開, 分析了“混沌同步性”這一現(xiàn)象[11]. Stephen等利用有限元法及有限差分法研究了封閉的液晃系統(tǒng)在受到不同方向激勵時的液體晃動非線性動力學(xué)[12]. 王為等實驗研究了工程上常見的半球形容器中的液體晃動, 發(fā)現(xiàn)可以將晃動過程分為比較明顯的線性和非線性兩個部分[13]. 岳寶增等研究了微重力環(huán)境下的三維貯箱液體的非線性晃動[14].

已有針對液體晃動穩(wěn)定性的研究, 大多是參數(shù)一定條件下的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析, 未見阻尼、儲液量及貯箱大小對穩(wěn)定性的影響研究. 此外, 現(xiàn)有研究大多考慮液體晃動的動力學(xué), 而利用等效力學(xué)模型分析非線性晃動行為的研究較少. 本文在基于等效擺模型的基礎(chǔ)上, 針對小幅晃動, 得到液體晃動的等效Mathieu方程, 并利用攝動法給出晃動穩(wěn)定性邊界.

1 基本方程

研究圖1所示的液晃系統(tǒng)及其相應(yīng)的等效擺模型. 等效擺模型由貯箱、單擺、等效質(zhì)量m0組成,等效模型的參數(shù)為[4]:

(1)

(2)

m0=mT-m1

(3)

式中l(wèi)1、h、d、m1、mT分別表示等效擺長、貯箱內(nèi)液體高度、貯箱直徑、第一階晃動質(zhì)量、液體的總質(zhì)量.

圖1 充液系統(tǒng)和等效擺模型Fig.1 A liquid-filled tank and its equivalent model

在縱向位移激勵下, 系統(tǒng)動力學(xué)方程為:

(4)

式中A為激勵幅值，Ω為激勵頻率. 設(shè)液體小幅晃動, 并令τ=Ωt/2,δ=4g/(Ω2l1),ε=2A/l1, 則有Mathieu方程:

θ″+(δ-2εcos2τ)θ=0

(5)

式中“′”表示對無量綱時間求導(dǎo)數(shù). 當(dāng)計入阻尼時, 則有:

θ″+2μθ′+(δ-2εcos2τ)θ=0

(6)

其中μ=2ξ1ω1/Ω, 這里ξ1和ω1分別代表液體晃動的一階阻尼比和一階晃動頻率.

2 縱向激勵下系統(tǒng)的穩(wěn)定性邊界

考慮小阻尼比, 利用攝動法確定系統(tǒng)穩(wěn)定性邊界. 對于0≤|ε|?1, 根據(jù)待求周期解θ(t)及穩(wěn)定性邊界δ(ε), 可得:

(7)

其中ur(r=1,2,3,…)以π或2π為周期. 將上式代入方程(8), 比較ε同次冪系數(shù), 可得:

(8)

(9)

δ2θ0-2μ2θ0′

(10)

方程(12)周期解形如:

(11)

式中δ0=n2(n=0,1,2,3…).

a.δ0=0, 穩(wěn)定性邊界為:

(12)

b.δ0=1, 穩(wěn)定性邊界為:

(13)

c.δ0=4, 穩(wěn)定性邊界為:

(14)

3 算例分析

由于外激勵頻率是實數(shù), 因而只需考慮穩(wěn)定性條件(13-14), 從而獲得穩(wěn)定性區(qū)域, 下文中斜線填充區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)域、空白區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域.

圖2 阻尼對穩(wěn)定性的影響Fig.2 Effect of damping on stability

首先, 分析阻尼對穩(wěn)定性的影響. 設(shè)圓柱形貯箱直徑0.9m, 充液高度0.4m, 計算等效力學(xué)參數(shù)后求得穩(wěn)定性區(qū)域, 如圖2所示。從圖2可見, 隨阻尼增大, 亞諧波和諧波不穩(wěn)定區(qū)域逐漸變小, 不穩(wěn)定區(qū)域向高幅值處移動.

其次,考慮儲液高度對穩(wěn)定區(qū)域的影響. 設(shè)貯箱直徑d=0.9m, 貯箱內(nèi)液體高度分別設(shè)為0.5m、0.3m和0.1m. 幅-頻穩(wěn)定性邊界如圖3所示. 從圖3可見，隨儲液高度的減少, 不穩(wěn)定性區(qū)域逐漸減小, 不穩(wěn)定區(qū)域向低頻移動. 這是因為液體高度減小使整個系統(tǒng)的阻尼變小.

圖3 貯箱直徑對穩(wěn)定性的影響Fig.3 Effect of liquid diameter on stability

假設(shè)貯箱內(nèi)充液高度為0.4m, 貯箱直徑分別設(shè)為0.9m、0.8m和0.7m. 幅-頻穩(wěn)定性邊界如圖4所示. 從圖4可以看出, 在貯箱內(nèi)液體高度保持不變的情況下, 隨著貯箱半徑的減少, 其不穩(wěn)定性區(qū)域明顯增大且向高頻移動. 這是因為隨直徑減小, 系統(tǒng)阻尼變小, 晃動頻率增大.

綜合上述分析結(jié)果, 可知充液高度和貯箱直徑減小將導(dǎo)致穩(wěn)定性區(qū)域變小, 這是由于充液高度和貯箱直徑減小使得貯箱液體減少以致系統(tǒng)阻尼變小. 此外, 充液高度變小使晃動頻率下降; 貯箱直徑減小使晃動頻率增大, 表現(xiàn)為圖3和圖4中不穩(wěn)定性區(qū)域分別向低頻和高頻移動.

圖4 液面高度對穩(wěn)定性的影響Fig.4 Effect of liquid height on stability

為了驗證上述結(jié)果的正確性, 我們在圖4(c)上取兩個點A(20, 0.01)和B(20, 0.2), 初始條件取為(0.01, 0), 計算系統(tǒng)響應(yīng)如圖5所示. 從圖5可見, 當(dāng)所取點在穩(wěn)定性區(qū)域內(nèi)時, 響應(yīng)收斂; 當(dāng)所取點在不穩(wěn)定性區(qū)域內(nèi)時, 響應(yīng)發(fā)散.

圖5 時間歷程Fig.5 Time histories of θ

4 結(jié)論

基于等效擺模型研究了液晃系統(tǒng)在縱向簡諧激勵下的晃動穩(wěn)定性. 小幅晃動時, 充液高度及貯箱直徑會明顯影響晃動的穩(wěn)定性邊界. 儲液高度減少, 不穩(wěn)定性區(qū)域逐漸減小, 不穩(wěn)定區(qū)域向低頻移動; 在貯箱內(nèi)液體高度保持不變的情況下, 貯箱半徑減少, 不穩(wěn)定性區(qū)域會明顯增大.

1朱昶帆,唐國安,張美艷. 考慮推進(jìn)劑晃動的火箭液固耦合分析的比擬算法. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2014,12(3):239～242 (Zhu C F, Tang G A, Zhang M Y. The analogy method to coupling analysis of rockets considering propellant sloshing.JournalofDynamicsandControl, 2014,12(3):239～242 (in Chinese))

2Shageer H, Tao G. Modeling and adaptive control of spacecraft with fuelslosh: overview and case studies. In: AIAA Guidance, Navigation and Control Conference and Exhibit, 2007:1～19

3Abramson H N. Thedynamic behavior of liquids in moving containers.AppliedMechanicsReviews, 1966,16(7):199～225

4Ibrahim R A. Liquid sloshing dynamics: theory and applications. New York: Cambridge University Press, 2005:320～362

5岳寶增. 液體大幅晃動動力學(xué). 北京:科學(xué)出版社, 2011:1～142 (Yue B Z. Dynamics of large amplitude liquid slosh. Beijing: Science Press, 2011:1～142 (in Chinese))

6鄧明樂,岳寶增,黃華. 液體大幅晃動類等效力學(xué)模型研究. 宇航學(xué)報, 2016,37(6):631～638 (Deng M L, Yue B Z, Huang H. Study on the equivalent mechanical model for large amplitude slosh.JournalofAstronautics, 2016,37(6):631～638 (in Chinese))

7夏恒新,寶音賀西,鄭亞. 多腔充液晃動的等效特性. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2007,5(4):346～349 (Xia H X, Bao Y H X, Zheng Y. Equivalent characteristics of liquid sloshing in multi-tank.JournalofDynamicsandControl, 2007,5(4):346～349 (in Chinese))

8Kang J Y, Oh H S. Stability of fluid motion in a vehicle subject to harmonic excitations. AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, 2006:21～24

9李青. 充液撓性系統(tǒng)動力學(xué)分析及在航天工程中的應(yīng)用研究[博士論文]. 北京:清華大學(xué), 2010 (Li Q. Dynamic analysis of liquid-filled flexible system and its application studies on aerospace engineering[PhD Thesis]. Beijing: Tsinghua University, 2010 (in Chinese)

10 Kana D D. Validated spherical pendulum model for rotary liquid slosh.JournalofSpacecraft&Rockets, 2015,26(3):188～195

11 鐘順,陳予怒. 工程充液腔體中液體非線性晃動模型及混沌分析. 中國科學(xué)：物理學(xué)力學(xué)天文學(xué), 2013,43(4):372～379 (Zhong S, Chen Y S. Modeling and chaos of the liquid nonlinear sloshing in the engineering liquid-filled cavity.ScienceChinaPhysics,Mechanics&Astronomy, 2013,43(4):372～379 (in Chinese))

12 Stephen J J, Sannasiraj S A, Sundar V. Numerical simulation of sloshing in a rectangular tank under combined horizontal, vertical and rotational oscillations.ProceedingsoftheInstitutionofMechanicalEngineersPartMJournalofEngineeringfortheMaritimeEnvironment, 2016,230(1):95～113

13 王為,夏恒新,李俊峰等. 半球形容器中液體自由晃動非線性現(xiàn)象的實驗研究. 清華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2008,48(11):2009～2012 (Wang W, Xia H X, Li J F, et al. Experimental investigation of nonlinear liquid sloshing in a hemispherical container.TsinghuaUniv(ScienceandTechnology), 2008,48(11):2009～2012 (in Chinese))

14 Yue B Z, Wang Z. Nonlinear phenomena of three-dimensional liquid sloshing in microgravity environment.ScienceBulletin, 2006,51(20):2425～2431