張曄 陳向煒

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,蘇州 215009) (2.商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院,商丘 476000)

引言

法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Lagrange在著作《分析力學(xué)》中, 應(yīng)用數(shù)學(xué)分析的方法得到第二類Lagrange方程, 為Lagrange力學(xué)系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ). 而后Hamilton[1,2]提出了Hamilton原理和正則方程, 推廣了Lagrange系統(tǒng).牛青萍[3]從Bertrand原理出發(fā)給出了一階非線性非完整系統(tǒng)的Lagrange方程. 梅鳳翔等[4-8]研究了Lagrange系統(tǒng)對(duì)稱性、守恒量及其逆問題.郭永新等[9]用現(xiàn)代幾何方法對(duì)Lagrange系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究.張毅等[10]研究了Lagrange系統(tǒng)對(duì)稱性的攝動(dòng)與Hojman型絕熱不變量. Lagrange系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究已經(jīng)有成熟的理論[3-11], 但在Lagrange系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究方面所涉不多, 只有系統(tǒng)周期性[12-19]及解的穩(wěn)定性[20-22]研究的相關(guān)成果.對(duì)一般的Lagrange方程研究其動(dòng)力學(xué)行為比較困難, 故本文研究了典型的Lagrange系統(tǒng). 弱非線性耦合二維各向異性諧振子是一典型而常見的Lagrange系統(tǒng)力學(xué)模型, 在力學(xué)、分子與原子物理、聲學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值. 樓智美等[23]對(duì)其一階近似Lie對(duì)稱性與近似守恒量進(jìn)行了研究, 本文將研究其動(dòng)力學(xué)行為, 用Lyapunov間接法及梯度系統(tǒng)對(duì)其奇點(diǎn)進(jìn)行分析, 并利用龐加萊截面獲得系統(tǒng)在相空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡.

1 弱非線性耦合二維各向異性諧振子的奇點(diǎn)

弱非線性耦合二維各向異性諧振子的Lagrange函數(shù)為:

(1)

由(1)得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

(2)

(3)

2 奇點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.1 用Lyapunov間接法判斷系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性

Lyapunov間接法指的是先把非線性方程在奇點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)線性化, 然后利用線性方程來判斷奇點(diǎn)的穩(wěn)定性.

系統(tǒng)(3)在O(0,0,0,0)處的線性化系統(tǒng)為:

(4)

解得其特征根為:

首先，相關(guān)教師應(yīng)該注重中職語文教學(xué)內(nèi)容與職業(yè)發(fā)展需求。顯而易見，中職院校在對(duì)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)的過程中，與普通高中有共通之處，但是也有一定程度上的區(qū)別。中職院校與普通高中相比而言，對(duì)學(xué)生的教學(xué)目標(biāo)存在差異。中職院校應(yīng)該更加注重培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)能力，從而能夠促使學(xué)生更好地適應(yīng)社會(huì)?；诖?，教師在進(jìn)行中職語文教學(xué)的過程中，不能局限于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀與寫作能力，應(yīng)該將教學(xué)內(nèi)容與職業(yè)發(fā)展需求進(jìn)行完美結(jié)合，從而能夠有效打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，創(chuàng)新新型教學(xué)模式，提高中職語文教學(xué)的時(shí)效性?；诖耍處煈?yīng)該將學(xué)生的專業(yè)課程與中職語文進(jìn)行結(jié)合。

λ1=iω1,λ2=-iω1,λ3=iω2,λ4=-iω2

(5)

由(5)知方程有四個(gè)純虛根, 此時(shí)奇點(diǎn)O(0,0,0,0)為系統(tǒng)的橢圓點(diǎn), 由于特征方程無重根, 可知線性化方程(4)的奇點(diǎn)是穩(wěn)定的, 此時(shí)不能判斷原系統(tǒng)(3)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性.

(6)

解得其特征值為:

(7)

由(7)知方程有一個(gè)正的實(shí)根、一個(gè)負(fù)的實(shí)根和一對(duì)共軛純虛根, 此時(shí)奇點(diǎn)P1為系統(tǒng)的一類鞍點(diǎn), 線性系統(tǒng)(6)的奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的, 原系統(tǒng)(3)的奇點(diǎn)P1也是不穩(wěn)定的.

經(jīng)計(jì)算知奇點(diǎn)P2與P1有相同的特征根, 故奇點(diǎn)P2和奇點(diǎn)P1具有相同的性質(zhì).

2.2 用梯度系統(tǒng)判斷系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性

當(dāng)用Lyapunov間接法無法判斷奇點(diǎn)的穩(wěn)定性時(shí), 可用Lyapunov直接法判斷奇點(diǎn)的穩(wěn)定性, 但還沒有普遍適用的求Lyapunov函數(shù)的辦法; 還可以用梯度系統(tǒng)的方法判斷奇點(diǎn)的穩(wěn)定性, 若原系統(tǒng)(3)可化為梯度系統(tǒng)或斜梯度系統(tǒng), 便可以用梯度系統(tǒng)或斜梯度系統(tǒng)的性質(zhì)判斷奇點(diǎn)的穩(wěn)定性. 定常的Lagrange系統(tǒng)都是斜梯度系統(tǒng).

斜梯度系統(tǒng)的微分方程為[16]:

(8)

方程(8)中的函數(shù)V=V(x)稱為能量函數(shù), 矩陣(aij)是反對(duì)稱的, 即有aij=-aji.

斜梯度系統(tǒng)有以下性質(zhì)[16]：

1)能量函數(shù)V是斜梯度系統(tǒng)的積分; 2)如果V可以是Lyapunov函數(shù), 那么斜梯度系統(tǒng)的解xi=xi0(i=1,2,…,m)是穩(wěn)定的.

下面將系統(tǒng)(3)化為斜梯度系統(tǒng), 令a1=x1,a2=x2,a3=x3,a4=x4, 并取:

則:

(9)

顯然, 系統(tǒng)(3)可化為梯度系統(tǒng). 考慮能量函數(shù)V的正定性, 將函數(shù)V化為(10)式:

(10)

式(10)的系數(shù)矩陣的順序主子式為:

3 系統(tǒng)在相空間中的軌跡

規(guī)則運(yùn)動(dòng)階段 圖1中(a)(b)是E分別取10和25時(shí), 系統(tǒng)相軌跡在龐加萊截面上的截點(diǎn). 由其可以看出每個(gè)圖都有很多截點(diǎn)所構(gòu)成的閉曲線, 這表示系統(tǒng)在相空間中做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng). 隨著E的增大, 截面的面積也逐漸增大, 曲線并沒有破裂,僅發(fā)生了光滑形變, 這表示曲線可以承受一定的擾動(dòng). 此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是規(guī)則的, 主要做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).

圖1 E分別為10、25時(shí)的截面圖Fig.1 Section poincare surface of different energy(a) E=10; (b) E=25

混動(dòng)運(yùn)動(dòng)與規(guī)則運(yùn)動(dòng)并存 隨著E的增加, 曲線破裂, 出現(xiàn)小范圍內(nèi)的混沌. 隨著E的增加, 曲面破裂產(chǎn)生更小的閉曲面,E繼續(xù)增加破裂的曲面增多并出現(xiàn)不規(guī)則運(yùn)動(dòng), 此時(shí)規(guī)則運(yùn)動(dòng)與不規(guī)則運(yùn)動(dòng)并存, 如圖2(a)(b)(c).

混沌運(yùn)動(dòng)階段E繼續(xù)增大至其鞍點(diǎn)值時(shí), 如圖2(d), 此時(shí)幾乎所有曲面都破裂, 系統(tǒng)主要做混沌運(yùn)動(dòng).

圖2 E分別為41、45、46.7、50時(shí)的截面圖Fig.2 Section poincare surface of different energy(a) E=41; (b) E=45; (c) E=46.7; (d) E=50

4 結(jié)論

隨著總能E的增大, 系統(tǒng)經(jīng)歷了規(guī)則運(yùn)動(dòng)、規(guī)則運(yùn)動(dòng)與混沌并存、混沌運(yùn)動(dòng)3個(gè)階段, 每個(gè)階段都有不同的運(yùn)動(dòng)特征. 在規(guī)則運(yùn)動(dòng)階段, 系統(tǒng)主要做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng); 規(guī)則運(yùn)動(dòng)與混沌并存時(shí), 曲面開始破裂, 產(chǎn)生小范圍內(nèi)的混沌; 在混沌運(yùn)動(dòng)階段, 絕大部分曲面破裂, 系統(tǒng)主要做混沌運(yùn)動(dòng). 通過圖像研究, 定性地認(rèn)識(shí)了弱非線性耦合二維各向異性諧振子在相空間中的運(yùn)動(dòng), 當(dāng)非線性耦合系數(shù)δ取值極小時(shí), 系統(tǒng)主要做準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).

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