闞猛 王賀元 段文元

(遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 錦州 121001)

引言

1963年洛倫茲在著名論文“決定論非周期流”中討論了天氣預(yù)報(bào)的困難和大氣湍流現(xiàn)象,給出了三個(gè)變量的自治方程,即著名的Lorenz系統(tǒng).這是在耗散系統(tǒng)中,由一個(gè)確定的方程能導(dǎo)出混沌解的第一個(gè)實(shí)例,從而揭開了對(duì)混沌現(xiàn)象深入研究的序幕.半個(gè)世紀(jì)以來,許多物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家對(duì)混沌的理論和應(yīng)用做出了重要的貢獻(xiàn),使人們對(duì)混沌現(xiàn)象的自然規(guī)律及其在自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中表現(xiàn)有了一個(gè)廣泛而深刻的認(rèn)識(shí)[1-5].

同軸圓筒間旋轉(zhuǎn)流動(dòng)的Couette-Taylor流問題是近一個(gè)世紀(jì)以來人們普遍關(guān)注的熱點(diǎn)問題[6-12],Couette-Taylor流系統(tǒng)在柱坐標(biāo)下其形式為：

(1)

邊界條件為：

其中ur,uφ,uz為速度分量.

由于它在研究流動(dòng)的失穩(wěn)、從分岔到混沌、直至發(fā)展為湍流過程中流動(dòng)形態(tài)的可觀測性、以及它在湍流研究中的基礎(chǔ)性地位及其在流體機(jī)械、石油化工等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,國際上將它列為非線性科學(xué)的范例之一,根據(jù)兩圓筒的半徑比、內(nèi)外圓筒旋轉(zhuǎn)方式、旋轉(zhuǎn)角速度等的不同,這種流動(dòng)會(huì)產(chǎn)生多種復(fù)雜的流動(dòng)形態(tài),如Couette流動(dòng)、Taylor渦流、螺旋Taylor漩渦、波狀Taylor渦流、波狀螺旋漩渦、調(diào)制波狀螺旋漩渦、湍狀Taylor渦流等二十余種,存在著多種演化到湍流的方式,提供了從層流到湍流過渡非常好的例子.該問題所包含的這些復(fù)雜多變的流動(dòng)形態(tài)引發(fā)了眾多研究者開展相關(guān)的理論分析、數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)觀測研究.

由于圓筒間Couette-Taylor流的全局吸引子是結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜和難于計(jì)算的,而且湍流的發(fā)生通常表現(xiàn)為少數(shù)模態(tài)的失穩(wěn),所以我們采用簡化模態(tài)的低模分析方法進(jìn)行數(shù)值仿真.低模分析方法理論基礎(chǔ)和依據(jù)是慣性流形和近似慣性流形理論(它們被認(rèn)為是一種包含全局吸引子,且指數(shù)吸引所有軌道的低維光滑流形),也就是無窮維動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為通常源于簡單的起源,并可由簡單方程來分辨.這種簡化模態(tài)的低模分析方法不但可以克服Couette-Taylor 流問題性質(zhì)不好把握的困難,而且所得到的類Lorenz方程組將包含非常豐富而有意義的內(nèi)容,這對(duì)探討Navier-Stokes方程的分歧、湍流等非線性現(xiàn)象是十分有意義的.

混沌系統(tǒng)的定性研究中,最終有界性的研究起著一個(gè)非常重要的作用.如果一個(gè)混沌系統(tǒng)在相空間內(nèi)具有全局吸引緊集,則平衡位置、周期解、概周期解,混沌吸引子將不可能在全局吸引集之外.俄羅斯學(xué)者Leonov通過長期的研究,分別用德文、俄文發(fā)表了很多關(guān)于Lorenz混沌系統(tǒng)方面的論著,他得到了Lorenz系統(tǒng)全集吸引集的一個(gè)圓柱形估計(jì)式和一個(gè)球形估計(jì)式,這是混沌系統(tǒng)中全局最終有界的第一個(gè)結(jié)果.由于它化全局為局部、化無窮為有限的功能,在很多方面都有重要的應(yīng)用.最近廖曉昕在Leonov的基礎(chǔ)上給出了關(guān)于Lorenz系統(tǒng)全局吸引集合正向不變集的改進(jìn)了的新結(jié)果[13,14],較大地簡化了Leonov所得的兩個(gè)著名估計(jì)式的復(fù)雜證明且比Leonov的結(jié)果更精確.

自從1990年P(guān)ecora和Carroll提出混沌同步的思想以來,混沌同步研究一直是非線性科學(xué)領(lǐng)域備受關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一.研究表明,混沌同步在物理化學(xué)、生物、力學(xué)、腦科學(xué)、電子學(xué)、信息科學(xué)、保密通訊等領(lǐng)域均具有十分誘人的應(yīng)用前景和巨大的市場潛在價(jià)值,而混沌同步在混沌保密通訊中的應(yīng)用尤其令人矚目.

本文研究了選取簡正模后得到的三模類Lorenz型方程動(dòng)力學(xué)行為與仿真問題,解釋了Couette-Taylor流實(shí)驗(yàn)中觀察到的部分渦流的演化過程.在Lorenz系統(tǒng)全局吸引集和正向不變集的基礎(chǔ)上,給出了Couette-Taylor流的三模系統(tǒng)的全局吸引集和正向不變集,最后,對(duì)于該三模系統(tǒng),設(shè)計(jì)了線性反饋控制律,實(shí)現(xiàn)全局指數(shù)同步,并利用計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了有效性.

1 Couette-Taylor流低模分析與數(shù)值仿真

如果內(nèi)圓筒旋轉(zhuǎn),外圓筒靜止,在低雷諾數(shù)的情況下,基本Couette流是唯一的,就是說當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度很小時(shí),流體繞圓筒的軸線作水平圓周運(yùn)動(dòng),這種流動(dòng)叫做Couette流動(dòng).當(dāng)ω到達(dá)某個(gè)臨界值ω1c時(shí),Couette流動(dòng)逐漸失去穩(wěn)定性,出現(xiàn)新的定常流動(dòng),該流動(dòng)呈軸對(duì)稱形式,沿軸線方向規(guī)則地分布著旋渦,相鄰的旋渦是反向的,我們把它叫做Taylor渦流,即在通過軸的子午面內(nèi),沿Z軸方向呈現(xiàn)周期性旋渦,并且關(guān)于Z軸成鏡面反射對(duì)稱.Taylor旋渦是環(huán)形渦,它仍然是定常流動(dòng),而且是穩(wěn)定的.如果ω繼續(xù)增大,越過第二臨界值ω2c時(shí),Taylor旋渦轉(zhuǎn)化成Taylor行進(jìn)波,這是一種沿旋轉(zhuǎn)軸均勻運(yùn)動(dòng)的波,破壞了對(duì)時(shí)間和旋轉(zhuǎn)軸的不變性,但仍是一種周期性運(yùn)動(dòng),并且在一個(gè)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)標(biāo)架里,流動(dòng)看來還是定常的,這樣的周期運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)波.當(dāng)ω繼續(xù)增大時(shí),第三次轉(zhuǎn)變發(fā)生,流動(dòng)變成擬周期,它的次頻率作為調(diào)制旋轉(zhuǎn)波,再經(jīng)過若干階段,進(jìn)入湍流.簡化模型通常是處理無窮維問題的常用方法,為獲得無窮維系統(tǒng)Couette-Taylor流問題的動(dòng)力學(xué)行為,對(duì)其進(jìn)行低維分析是非常有意義的,而且經(jīng)典的湍流理論認(rèn)為湍流是一種具有有限個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng),這在Navier-Stokes方程全局吸引子分?jǐn)?shù)維的有限性方面已獲得強(qiáng)有力的支持,因此采用低模分析方法來討論Couette-Taylor流問題是切實(shí)可行的.

文獻(xiàn)[6]利用同軸圓筒間隙區(qū)域Stokes算子的特征函數(shù)作為基函數(shù)對(duì)周期性邊界條件Navier-Stokes方程進(jìn)行傅里葉展開,截取傅里葉級(jí)數(shù)的前三項(xiàng),得到下列混沌系統(tǒng)：

(2)

這里x,y,z為狀態(tài)變量,它們均為時(shí)間t的函數(shù),σ,a,b,c都是正的參數(shù),r為雷諾數(shù).

其定點(diǎn)(x0,y0,z0)滿足下列條件：

當(dāng)acr<σ時(shí),系統(tǒng)只有一個(gè)定態(tài)O(0,0,0),此定態(tài)表示系統(tǒng)流體處于繞中心軸旋轉(zhuǎn)的層流狀態(tài),即Couette流動(dòng)(圖1).

圖1 Couette-Taylor流Fig.1 Couette-Taylor flow

當(dāng)acr≥σ時(shí),有以下三個(gè)定態(tài)：

由于在P+,P-處x,y,z變量之值都不為零,因此定態(tài)P+,P-表示已出現(xiàn)穩(wěn)定的Taylor渦流的狀態(tài)(圖2).當(dāng)這種流動(dòng)失穩(wěn)時(shí)將產(chǎn)生Taylor行進(jìn)波(圖3).

圖2 Taylor渦流Fig.2 Taylorvortex圖3 Taylor行進(jìn)波Fig.3 Travelingwave

如表1給出了當(dāng)r連續(xù)變化時(shí)系統(tǒng)(2)定態(tài)的性質(zhì)及對(duì)應(yīng)的Couette-Taylor流實(shí)際流動(dòng).

表1 當(dāng)r連續(xù)變化時(shí)系統(tǒng)(2)的定態(tài)的性質(zhì)及對(duì)應(yīng)的Couette-Taylor流實(shí)際流動(dòng)Table 1 Property of the equilibrium points in system (2) and corresponding actual flow of Couette-Taylor flow with the increasing of r

接下來對(duì)Couette-Taylor流三模系統(tǒng)混沌行為進(jìn)行數(shù)值仿真：

取σ=9.35,a=0.758,b=1.45,c=8.4,r=60,通過計(jì)算機(jī)仿真,系統(tǒng)(2)混沌吸引子,Lyapunov指數(shù)譜,龐加萊截面,功率譜,分別如圖(4)(5)(6)(7)所示,說明該系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象.

圖4 系統(tǒng)(2)混沌吸引子Fig.4 Chaotic attractors of system (2)

2 Couette-Taylor流三模系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性分析

本節(jié)給出該混沌系統(tǒng)(2)的全局指數(shù)吸引集和正向不變集的估計(jì)式.

首先我們?cè)谶@里給出一些相關(guān)定義.令X=(x,y,z),假設(shè)X(t)=X(t,t0,X0)是混沌系統(tǒng)(2)的解.

圖5 系統(tǒng)(2)最大Lyapunov指數(shù)譜Fig.5 Maximum Lyapunov spectrum of system (2)

圖6 系統(tǒng)(2)的龐加萊截面Fig.6 Poincaré section of system (2)

圖7系統(tǒng)(2)的功率譜Fig.7 Power spectrum of system (2)

V(X)=mx2+y2+(z-mc-ar)2

(3)

(4)

證明 構(gòu)造一個(gè)廣義正定的徑向無界Lyapunov函數(shù)：

V(X)=mx2+y2+(z-mc-ar)2

(5)

計(jì)算沿著系統(tǒng)(2)的正半軌線關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù),有：

=2mx(-σx+cy)+2y(-xz+arx-y)+

2(z-mc-ar)(xy-bz)

=-2mσx2-2y2-2bz2+2(ar+mc)bz

=-V+(1-2σ)mx2-y2+(1-2b)z2+

2(ar+mc)(b-1)z+(mc+ar)2

=-V+F(X)

(6)

定義函數(shù)：

F(X)=(1-2σ)mx2-y2+(1-2b)z2+

2(ar+mc)(b-1)z+(mc+ar)2

計(jì)算F(x,y,z)關(guān)于(x,y,z)的極Lagrange極值.因?yàn)镕(X)為二次函數(shù),其局部極大值為全局極大值,因此計(jì)算F(x,y,z)極大值F(X0).因此,令:

因此可以給出系統(tǒng)(2)的如下一些估計(jì)式：

1) 當(dāng)m=0時(shí),我們便得到了系統(tǒng)(2)的圓柱形估計(jì)式：

2) 當(dāng)m=1時(shí),我們便得到了系統(tǒng)(2)的球形公式：

3) 當(dāng)m=1/c時(shí),我們便得到系統(tǒng)(2)的一個(gè)新的橢球形公式：

4) 當(dāng)m=ar/c時(shí),我們便得到系統(tǒng)(2)的另一個(gè)橢球形公式：

下面利用集合論中交集的思想,取前幾種估計(jì)式的交集,以期望獲得更佳的估計(jì)結(jié)果.

定理2設(shè)a>0,b>0和r≥1,則下列圓柱體

(7)

為系統(tǒng)(2)的一個(gè)全局吸引集和正向不變集,其中ε>1為任意正數(shù).

V=y2+(z-ar)2

(8)

沿系統(tǒng)(2)的軌線有：

≤-2y2-bz2+2barz

=-2y2+b(z-ar)2+b(ar)2

≤by2-b(z-ar)2+b(ar)2<0

(9)

將y的最終界代入系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程且用常數(shù)變易法估計(jì)x(t),有：

故有：

(10)

(11)

=-V-2y2+(1-2b)z2+ar(2b-2)z+(ar)2

定義函數(shù)：

3 Couette-Taylor流三模系統(tǒng)的全局指數(shù)同步

所謂混沌同步,指的是對(duì)于不同初始條件出發(fā)的兩個(gè)混沌系統(tǒng),隨著時(shí)間的推移,它們的軌線逐漸一致[15].Pecora和Carroll指出,當(dāng)混沌系統(tǒng)能分解成兩個(gè)子系統(tǒng),而且響應(yīng)系統(tǒng)中所有的條件Lyapunov指數(shù)均小于零時(shí),在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)中會(huì)有混沌同步產(chǎn)生[16].

定義2兩個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)：

(12)

Y=F(t,Y)+μ(X,Y)

(13)

這里X,Y∈Rn,F是n維的非線性函數(shù)；μ是n維的控制輸入函數(shù),我們稱系統(tǒng)(12)是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),系統(tǒng)(13)是響應(yīng)系統(tǒng).

首先設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

(14)

相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)可表示為：

(15)

這里u1,u2,u3為要設(shè)計(jì)的控制函數(shù).

令eT=(ex,ey,ez),ex=x2-x1,ey=y2-y1,ez=z2-z1,則式(15)減去(14)得到的誤差動(dòng)力系統(tǒng)可表示為：

(16)

定義3如果存在常數(shù)α>0,對(duì)任意的t>t0都有V(t)≤V(t0)e-α(t-t0),系統(tǒng)的原點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

如下結(jié)論利用線性反饋同步證明系統(tǒng)全局指數(shù)同步.

定理3對(duì)于誤差系統(tǒng)(16),當(dāng)控制器設(shè)計(jì)如下：

u1=-kex-y2ez,u2=-cex-arex+z2ex,u3=0.

適當(dāng)選擇k>0,使得矩陣

正定,則誤差系統(tǒng)(16)的零解全局指數(shù)穩(wěn)定,從而驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(14)和響應(yīng)系統(tǒng)(15)全局指數(shù)同步.

證明 構(gòu)造一個(gè)正定的徑向無界的Lyapunov函數(shù).

V=ex2+ey2+ez2

計(jì)算V沿著式(16)正半軌線對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)有：

=2ex(-σex+cey-kex-y2ez)+

2ey(arex-ey-z2ex-cex-arex+z2ex)+

2ez(-bez+y2ex)

=-eTPe

(17)

其中,

為了使誤差系統(tǒng)(16)的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的,保證矩陣P是正定的即可.

當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式成立：

2(σ+k)>0

從上面不等式,推得k滿足k>-σ.

因此有：

t≥t0

當(dāng)t→+∞時(shí),V(X(t))→0,從而誤差系統(tǒng)(16)的零解全局指數(shù)穩(wěn)定,因此驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(14)和響應(yīng)系統(tǒng)(15)全局指數(shù)同步.

下面利用四階Runge-Kutta算法來驗(yàn)證上面提出的方法的有效性.

在數(shù)值仿真中,選取步長為0.001,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(14)和響應(yīng)系統(tǒng)(15)的初始條件分別為:

(x1(0),z1(0),y1(0))=(17,14,89)

(x2(0),z2(0),y2(0))=(-25,28,-37)

因此誤差系統(tǒng)的初始條件為(ex(0),ey(0),ez(0))=(-42,14,-126),且定義同步誤差為:

對(duì)于定理3中的控制器,選取控制參數(shù)k=1為系統(tǒng)(16)的控制率,那么響應(yīng)系統(tǒng)(15)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(14)的同步如圖8所示,同步誤差e(t)隨時(shí)間t的變化如圖9所示.從仿真結(jié)果看出,兩個(gè)系統(tǒng)很快達(dá)到同步,誤差很快趨于0.

圖8 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)軌線(紅線)和響應(yīng)系統(tǒng)(藍(lán)線)軌線隨著時(shí)間t的變化Fig.8 Time history of state trajectories for drive system (red line) and response system (blue line)

圖9 誤差隨時(shí)間t變化Fig.9 Time history of error e(t)

4 結(jié)論

本文研究Couette-Taylor流三模類Lorenz方程動(dòng)力學(xué)行為與仿真問題,解釋了Couette-Taylor流實(shí)驗(yàn)中觀察到的部分渦流的演化過程.給出了Couette-Taylor流的三模系統(tǒng)的全局吸引集和正向不變集,實(shí)現(xiàn)了全局指數(shù)同步.所得結(jié)果對(duì)Couette-Taylor流等混沌系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用有一定意義.

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