梅鳳翔 李彥敏 吳惠彬

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院, 北京 100081) (2.商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院, 商丘 476000)(3.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 北京 100081)

引言

科學(xué)史研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是學(xué)科史研究.力學(xué)史的一部分是分析力學(xué)史,關(guān)于分析力學(xué)史我國(guó)研究較少,在分析力學(xué)發(fā)展過(guò)程中有許多資料都不是第一手的,而是從別人那里拿來(lái)的第二、第三手的資料.比如說(shuō),Lagrange引入廣義坐標(biāo),翻遍L(zhǎng)agrange原著并未出現(xiàn)此種提法,而廣義坐標(biāo)這個(gè)詞,實(shí)際上是在Lagrange著作問(wèn)世一百多年后才有此種提法.本文就廣義坐標(biāo)的形成和發(fā)展給出一些史料,并提出一些看法.

1 Lagrange的《分析力學(xué)》

1.1 Lagrange在其著作《分析力學(xué)》中提出動(dòng)力學(xué)普遍公式的變換問(wèn)題,指出“利用每個(gè)問(wèn)題的性質(zhì)給出的條件方程,將出現(xiàn)在公式中的各個(gè)變量縮減為小數(shù)目的獨(dú)立變量.”[1]翻遍原著并未出現(xiàn)“廣義坐標(biāo)”(coordonnées généralzées).

1.2 Lagrange用字母ξ,ψ,φ…表示“縮減為小數(shù)目”的新變量.

1.3 Moiseyev指出,Lagrange的“每個(gè)問(wèn)題的性質(zhì)給出的條件方程”就是描述光滑雙面的約束方程,而新變量就像可能位移一樣是彼此獨(dú)立的[2].

1.4 變量ξ,ψ,φ…后來(lái)發(fā)展為q1,q2,q3,…,這就是廣義坐標(biāo)字母的原型.

1.5 Lagrange JL(1736-1813),漢譯拉格朗日,法國(guó)力學(xué)家,數(shù)學(xué)家,分析力學(xué)的奠基人.他的《分析力學(xué)》是名著,由此出現(xiàn)了分析力學(xué)學(xué)科.

2 Bertrand的附錄

2.1 在Lagrange著作附錄Ⅵ中Bertrand寫(xiě)道：“用q1,q2,…,qk表記k個(gè)變量,使得3n個(gè)坐標(biāo)x1,y1,z1…,xn,yn,zn可表為這些變量和時(shí)間t的函數(shù).”[1]

2.2 Bertrand用字母q1,q2,…,qk代替Lagrange的字母ξ,ψ,φ…表示獨(dú)立的新變量.附錄中仍未出現(xiàn)“廣義坐標(biāo)”,但后人沿用了字母q.

2.3 這個(gè)附錄是Bertrand JLF(1822-1900)給出的,他是法國(guó)數(shù)學(xué)家,巴黎科學(xué)院院士.分析力學(xué)中有Bertrand問(wèn)題.Jourdain原理,牛青萍稱(chēng)為Bertrand原理.

3 Routh的《剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)》

3.1 Routh的著作《剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)》第二部分第177頁(yè),解下述問(wèn)題：繞一鉛垂軸旋轉(zhuǎn)的重球在任意形狀曲面頂點(diǎn)處于平衡.給一輕擾作小振動(dòng),試求運(yùn)動(dòng).他將“用不定乘子λ和μ修正的Lagrange運(yùn)動(dòng)方程”表示為[3]:

其中,

L1=0,L2=0

為約束方程.

3.2 Routh用字母q表示坐標(biāo),未提“廣義坐標(biāo)”.這個(gè)版本是第六版的美國(guó)版,第一版是1860年,第六版是1905年.q′表示q對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).

3.3 “修正的Lagrange方程”,實(shí)際上是非完整系統(tǒng)的帶乘子的方程,也稱(chēng)為Routh方程.

3.4 Routh EJ(1831-1907),漢譯勞恩,羅斯,英國(guó)力學(xué)家.他在剛體動(dòng)力學(xué),分析力學(xué),運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性等方面貢獻(xiàn)很大.

4 Appell的《理性力學(xué)》

4.1 Appell巨著《理性力學(xué)》第六版第二卷俄譯本《理論力學(xué)》第268頁(yè)寫(xiě)道：“參數(shù)q1,q2,…,qk可稱(chēng)為完整系統(tǒng)的坐標(biāo).”[4,5]

4.2 Appell將參數(shù)q稱(chēng)為完整系統(tǒng)的坐標(biāo),是因?yàn)橛蛇@些參數(shù)可完全描述完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng).

4.3 Appell P(1855-1930),漢譯阿佩爾,法國(guó)數(shù)學(xué)家,力學(xué)家.他的五卷《理性力學(xué)》非常有名,其中第二卷有他導(dǎo)出的適應(yīng)于完整和非常完整系統(tǒng)的普遍方程,即Appell方程.他的第一卷和第二卷也是分析力學(xué)的名著之一,有關(guān)評(píng)價(jià)見(jiàn)文獻(xiàn)[6].

5 Chaplygin的《非完整系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究》

5.3 Чаплыгин СА(1869-1942),漢譯恰普雷金,查浦雷金,英譯Chaplygin,俄國(guó)、蘇聯(lián)力學(xué)家.他在文獻(xiàn)[7-8]中的4篇論文中都是非完整力學(xué)的奠基性成果.有關(guān)評(píng)議見(jiàn)文獻(xiàn)[9].

6 Suslov的《理論力學(xué)》

6.1 Suslov在他《理論力學(xué)》第321頁(yè)寫(xiě)道：“qσ(σ=1,2,…,s)不同于笛卡兒坐標(biāo),稱(chēng)為廣義坐標(biāo),或曲線坐標(biāo).”[10]

6.2 在書(shū)的校者前言中,Bukhgolts和Goltzman寫(xiě)道：

“敖德薩大學(xué)已故教授Suslov GK的《分析力學(xué)基礎(chǔ)》,本版稱(chēng)為《理論力學(xué)》,它是這個(gè)鄰域的很完全,很系統(tǒng)的教材,….”[10]

6.3 Suslov的《分析力學(xué)基礎(chǔ)》初版于1911年～1921年.

6.4 Суслов ГК(1857-1932),漢譯蘇斯洛夫,英譯Suslov,俄國(guó)、蘇聯(lián)力學(xué)家.他的《理論力學(xué)》也是分析力學(xué)名著之一,有關(guān)評(píng)價(jià)見(jiàn)文獻(xiàn)[6].

7 Marcolongo的《理論力學(xué)》

7.1 Marcolongo 1912年的德文版《理論力學(xué)》第99頁(yè)寫(xiě)道：“…參數(shù)q1,q2,…,qk.這些參數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的普遍(allgemeine)坐標(biāo).”[11]

7.2 這本書(shū)的復(fù)印件是美國(guó)分析力學(xué)專(zhuān)家Papastavridis教授1992年9月寄給梅鳳翔的,是想說(shuō)明所謂Kane方程已在本書(shū)中出現(xiàn).

7.3 德文allgemeine,與張永發(fā)教授討論過(guò),應(yīng)漢譯為普遍的.在文獻(xiàn)[12]§34的標(biāo)題為“第二類(lèi)Lagrange運(yùn)動(dòng)方程.allgemeine(generalisierte)坐標(biāo),….”可見(jiàn),在一些德文書(shū)中allgemeine(普遍的)與generalisierte(廣義的)是通用的.

8 Whittaker的《分析動(dòng)力學(xué)》

8.1 Whittaker在其著作《分析動(dòng)力學(xué)》第33頁(yè)寫(xiě)道：“坐標(biāo)一般用q1,q2,…,qn表示.”[13]

8.2 Whittaker的“動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的坐標(biāo)”,即廣義坐標(biāo),只用了字母q,但未提“廣義”.

8.3 Whittaker ET(1873-1956),漢譯惠特克,他的《分析動(dòng)力學(xué)》很好地總結(jié)了1904年以前經(jīng)典力學(xué)的主要成果.這本書(shū)是分析力學(xué)的名著之一,有關(guān)評(píng)價(jià)見(jiàn)文獻(xiàn)[6].更好的評(píng)價(jià)見(jiàn)文獻(xiàn)[14].

9 Levi-Civita和Amaldi的《理性力學(xué)》

9.1 Levi-Civita和Amaldi的《理性力學(xué)》第一卷的俄譯本第276頁(yè)寫(xiě)道：“任意參數(shù)q1,q2,…,qn稱(chēng)為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)或Lagrange坐標(biāo).”[15,16]

9.2 上述意大利文《理性力學(xué)》于1930年出第二版,1952年被譯成俄文為《理論力學(xué)》.

9.3 Levi-Civita T(1873-1941),漢譯列維-奇維塔,意大利數(shù)學(xué)家,在絕對(duì)微分學(xué),三體問(wèn)題等方面多有貢獻(xiàn).他與Amaldi合著的《理性力學(xué)》也很有名.

10 Hamel的《理論力學(xué)》

10.1 Hamel的德文《理論力學(xué)》第79頁(yè)寫(xiě)道：

“qν稱(chēng)為L(zhǎng)agrange坐標(biāo).”[17]

10.2 Hamel G(1877-1954),漢譯哈梅爾,德國(guó)數(shù)學(xué)家,力學(xué)家,非完整力學(xué)的奠基人之一.他的《理論力學(xué)》相當(dāng)有名.更好的評(píng)價(jià)見(jiàn)文獻(xiàn)[14].

11 Mac Millan的《剛體動(dòng)力學(xué)》

11.1 Mac Millan WD(1871-1948)1936年的英文《剛體動(dòng)力學(xué)》,1951年被譯為俄文.俄文本第294頁(yè)寫(xiě)道：“這些變量稱(chēng)為廣義坐標(biāo) 或Lagrange坐標(biāo).”[18]

11.2 Mac Millan書(shū)中給出的“Lagrange方程對(duì)非完整系統(tǒng)的推廣”就是后人稱(chēng)為Mac-Millan方程的方程.

12 周培源的《理論力學(xué)》

周培源(1902-1993)在其《理論力學(xué)》[19](1952)中寫(xiě)道：“…從牛頓原理的式樣變換到此參數(shù)——或稱(chēng)拉格朗日的廣義坐標(biāo).”

13 結(jié)論

13.1 名稱(chēng)

從Lagrange著作的Bertrand的附錄開(kāi)始用q1,q2,…,qk代替Lagrange的ξ,ψ,φ…；從Bertrand的獨(dú)立新變量到Appell的完整系統(tǒng)的坐標(biāo),再到Suslov的廣義坐標(biāo)；廣義坐標(biāo)的正式提出大約經(jīng)歷了120年.

廣義坐標(biāo)的稱(chēng)謂有:

1)完整系統(tǒng)的坐標(biāo)(Appell)

2)Lagrange的坐標(biāo)(Hamel,Levi-Civita和Amaldi,Mac Millan)

3)普遍坐標(biāo)(Marcolongo)

4)曲線坐標(biāo)(Suslov)

5)廣義坐標(biāo)(Suslov,Levi-Civita和Amaldi,Mac Millan)

6)Lagrange的廣義坐標(biāo)(周培源)

13.2 定義

1)描述一個(gè)完整系統(tǒng)的獨(dú)立參數(shù)[20].

2)描述完整系統(tǒng)位形的獨(dú)立參數(shù)[21].

3)確定系統(tǒng)可能位置的參數(shù)的最小數(shù)目稱(chēng)為獨(dú)立廣義坐標(biāo)數(shù)[22].

4)凡是能夠確定系統(tǒng)位置的、適當(dāng)選取的獨(dú)立變量,稱(chēng)為廣義坐標(biāo)[23].

13.3 意義

1)當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)受有約束時(shí),由直角坐標(biāo)過(guò)渡到廣義坐標(biāo)是特別方便的,而且也是十分必要的.引進(jìn)廣義坐標(biāo),是分析力學(xué)的一大特色,而Lagrange方程就是建立在廣義坐標(biāo)上的.

2)武際可的《力學(xué)史》有如下論述[24]：

“按照當(dāng)時(shí)已有的力學(xué)知識(shí),要分析稍許復(fù)雜的機(jī)構(gòu),例如一個(gè)有五級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),也還是無(wú)能為力的.如果拿這個(gè)問(wèn)題去請(qǐng)教牛頓,牛頓只會(huì)處理自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),不會(huì)處理剛體運(yùn)動(dòng),何況還是帶約束的呢.而轉(zhuǎn)去請(qǐng)教歐拉呢？他不得不將整個(gè)系統(tǒng)化歸為五個(gè)‘隔離體’,即五個(gè)剛體,分別列出五個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)方程,而不同剛體之間又有作用力和反作用力的耦合,所以得面對(duì)數(shù)十個(gè)方程聯(lián)立的微分方程組.這樣處理問(wèn)題實(shí)在太復(fù)雜了.”

“拉格朗日自有他的高招,他將這個(gè)系統(tǒng)化為一個(gè)廣義坐標(biāo)的系統(tǒng),因?yàn)槲鍌€(gè)輪子的系統(tǒng)只要一個(gè)參量便可描述它的狀態(tài).例如,隨便以其中一個(gè)輪子的轉(zhuǎn)角為參量,這個(gè)參量知道了,整個(gè)齒輪系統(tǒng)的狀態(tài)也便知道了.然后再計(jì)算當(dāng)系統(tǒng)動(dòng)起來(lái)后系統(tǒng)的動(dòng)能.這時(shí)便可列出一個(gè)廣義坐標(biāo)滿足的二階方程,這是何等的簡(jiǎn)便??！”

3)有了廣義坐標(biāo),對(duì)完整力學(xué)系統(tǒng)已足夠用.有時(shí)根據(jù)需要,可引進(jìn)多余坐標(biāo).而對(duì)非完整系統(tǒng),尚需由廣義坐標(biāo)發(fā)展到準(zhǔn)坐標(biāo).對(duì)Hamilton系統(tǒng)需引進(jìn)正則變量以及作用一角變量[25].

1 Lagrange J L. Oeuvres TomeⅪ. Mécanique analytique. Quatrième éd, Vol 1. Paris: Jacques Gabay, 2006

2 Моисеев Н Д. Очерки развития механики. Москва: ИМУ, 1961

3 Routh E J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. PartⅡ, New York: Dover Publ. Inc., 1955

4 Appell P. Traité de mécanique rationnelle. TⅡ, Sixième éd. Paris: Gauthier-Villars, 1953

5 Аппель П. Теоретическая механика. ТⅡ.Москва: ГИФМЛ, 1960

6 梅鳳翔. 關(guān)于分析力學(xué)的三本名著. 力學(xué)與實(shí)踐, 2014,36(1):84～87 (Mei F X. Three classics about analytical mechanics.MechanicsinEngineering, 2014,36(1):84～87 (in Chinese))

7 Чаплыгин СА. Исследования по динамике неголоно мных систем. Москва: Гостехтеоретииздат, 1949

8 查普雷金С А. 非全定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究. 張燮譯. 北京：科學(xué)出版社, 1956 (Chaplygin S A. The dynamics study of nonholonomic systems. Translated by Xie Zhang. Beijing: Science Press, 1956 (in Chinese))

9 劉信力,梅鳳翔. 《非全定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究》的評(píng)議. 力學(xué)與實(shí)踐, 2014,36(4):376～378 (Liu X L, Mei F X. Comments on the dynamics study of nonholonomic systems.MechanicsinEngineering, 2014,36(4):376～378 (in Chinese))

10 Суслов ГК. Теоретическая механика. Москва: Гостех издат, 1946

11 Marcolongo R. Theoretische mechanik. Leipzig and berlin: Druck and Verlag von BG Teubner, 1912

12 Budó A. Theoretische mechanik. Berlin: Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1976

13 Whittaker E T. A Treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies. Fourth Ed. Cambridge: Cambridge University. Press, 1952

14 陳立群. 分析力學(xué)的3部經(jīng)典著作及其作者. 力學(xué)與實(shí)踐, 2010,32(5):113～116 (Chen L Q. Three classics of analytical mechanics and their authors.MechanicsinEngineering, 2010,32(5):113～116 (in Chinese))

15 Levi-Civita T, Amaldi U. Lezioni di meccanica razionale. Vol Primo, Bologna, 1930

16 Леви-Чивита Т, Амальди У. Курс теоетической механики. Часть Первая, Москва: ИЛ, 1952

17 Hamel G. Theoretische mechanik. Berlin: Springer-Verlag, 1949

18 Мак-Миллан НД . Динамика твердого тела. Москва: ИЛ, 1951

19 周培源. 理論力學(xué). 北京: 人民教育出版社, 1952 (Zhou P Y. Theoretical mechanics. Beijing: People′s Education Press, 1952 (in Chinese))

20 中國(guó)大百科全書(shū)編輯委員會(huì). 中國(guó)大百科全書(shū)·力學(xué). 北京: 中國(guó)大百科全書(shū)出版社, 1985 (The editorial board of encyclopedia of China. Encyclopedia of China: mechanics. Beijing: Encyclopedia of China Publishing House, 1985 (in Chinese))

21 力學(xué)詞典編輯部. 力學(xué)詞典. 北京: 中國(guó)大百科全書(shū)出版社, 1990 (The editorial office of mechanics dictionary. Mechanics dictionary. Beijing: Encyclopedia of China Publishing House, 1990 (in Chinese))

22 馬爾契夫А П. 理論力學(xué). 李俊峰譯. 北京: 高等教育出版社, 2006 (Markeyev A P. Theoretical mechanics. Translated by Junfeng Li. Beijing: Higher Education Press, 2006 (in Chinese))

23 梅鳳翔. 分析力學(xué),上卷. 北京: 北京理工大學(xué)出版社, 2013 (Mei F X. Analytical mechanics, volume A. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2013 (in Chinese))

24 武際可. 力學(xué)史. 重慶: 重慶出版社, 2000 (Wu J K. History of mechanics. Chongqing: Chongqing Press, 2000 (in Chinese))

25 梅鳳翔. 分析力學(xué)由廣義坐標(biāo)到作用—角變量. 力學(xué)與實(shí)踐, 2000,22(3):55～57 (Mei F X. Analytical mechanics from generalized coordinates to action—angle-variables.MechanicsinEngineering, 2000,22(3):55～57 (in Chinese))