郭翔鷹 劉大猛 張偉

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院, 北京 100124)

引言

壓電纖維復(fù)合材料(Macro Fiber Composite)是近幾年興起的一種新型壓電復(fù)合材料,在振動(dòng)控制、變形控制和顫振抑制等方面都有廣泛的應(yīng)用[1]. 壓電纖維復(fù)合材料是由壓電纖維粘貼于各種板殼結(jié)構(gòu)表面復(fù)合而成的一種新型材料,它將壓電纖維和電極以一定的方式排列在高分子聚合物的夾層中,如圖1：(1)為壓電纖維層,(2)為十指交叉型電極絲,(3)為環(huán)氧聚合物. 它有壽命長(zhǎng)、厚度薄、重量輕、韌性大和驅(qū)動(dòng)力大等優(yōu)點(diǎn)[2].

壓電纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)同時(shí)具有驅(qū)動(dòng)和傳感的性能特點(diǎn),這引起了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的極大興趣,對(duì)壓電纖維材料結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了大量研究.Panda等[3]研究了幾何大變形下壓電纖維增強(qiáng)復(fù)合材料功能梯度層合板的非線性動(dòng)力學(xué)特性. Xia等[4]基于高階剪切變形板理論和大變形理論,分析了熱環(huán)境下,表面粘結(jié)壓電纖維增強(qiáng)復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器的功能梯度材料板的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng). Thinh等[5]研究了粘結(jié)有壓電驅(qū)動(dòng)器和傳感器貼片的玻璃纖維/聚酯復(fù)合材料板的撓曲變形和振動(dòng)響應(yīng)控制. Sohn等[6]利用Donnell的殼理論和拉格朗日方程得到了帶有壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器的智能材料殼結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制方程,并分析了殼體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性. Shiyekar等[7]基于高階剪切變形理論,給出了雙穩(wěn)態(tài)情況下,壓電纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的解析解. Mareishi等[8]基于歐拉-伯努利梁理論和幾何非線性理論,研究了在機(jī)械、熱和電載荷共同作用下,表面粘合壓電纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合梁的力學(xué)特性. 李敏等[9]研究了壓電驅(qū)動(dòng)器控制翼面變形方面的靜動(dòng)態(tài)特性. Rafee等[10]基于一階剪切變形板理論和幾何大變形理論,研究了表面粘合壓電驅(qū)動(dòng)器的碳納米管/纖維/聚合物復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)的非線性自由振動(dòng)響應(yīng).

圖1 MFC結(jié)構(gòu)組成Fig. 1 Composition of MFC structure

學(xué)者們對(duì)壓電材料在振動(dòng)控制和結(jié)構(gòu)優(yōu)化等方面的應(yīng)用也做了大量的研究.Sodano等[11]研究了可充氣壓電纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制和結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)狀況監(jiān)測(cè),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明將壓電纖維復(fù)合材料作為傳感器和致動(dòng)器可以抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng). 李允等[12]采用有限元方法研究了1-3型壓電纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)性能的影響. Ray等[13]利用壓電纖維增強(qiáng)復(fù)合材料做阻尼層,研究了約束層和壓電纖維取向?qū)?fù)合材料層合薄殼振動(dòng)的影響. Choi等[14]討論了用壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器來抑制旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁梁的振動(dòng)響應(yīng).侯志偉等[2]研究了壓電纖維復(fù)合材料的傳感和驅(qū)動(dòng)性能,并將其應(yīng)用于梁的頻響辨識(shí)和尾翼結(jié)構(gòu)的減振,以及通過試驗(yàn)表明壓電纖維復(fù)合材料有優(yōu)良的傳感和驅(qū)動(dòng)元性能. 趙國(guó)旗等[15]有限元方法探討了對(duì)叉指式壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化.

研究壓電纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)特性的文獻(xiàn)較多,主要分析了壓電材料在振動(dòng)控制和結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面的作用,大多數(shù)文獻(xiàn)都是對(duì)薄板或者薄殼進(jìn)行了研究,分析表明壓電纖維材料對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)有一定的影響,而對(duì)于壓電材料對(duì)中厚度板殼動(dòng)力學(xué)行為的分析很少. 本文主要研究了一個(gè)1-3型壓電纖維復(fù)合材料[16]的中厚度殼,分析了外激勵(lì)的變化和壓電系數(shù)的變化對(duì)殼體的非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響.

1 壓電纖維復(fù)合材料層合殼的動(dòng)力學(xué)方程

本文考慮一個(gè)正交對(duì)稱鋪設(shè)的1-3型壓電纖維復(fù)合材料中等厚度的雙曲殼,如圖2所示模型,一邊為固支邊,其余三邊自由,其在xy面上的投影是一個(gè)矩形,長(zhǎng)為a,寬為b. 曲率半徑分別為R1,R2,在γ軸方向的厚度為h.殼內(nèi)的任一點(diǎn)在曲線坐標(biāo)系內(nèi)的位移分別為u,v,w,橫向載荷的大小為q=fcos(Ωt).

圖2 層合殼模型Fig. 2 Model of laminated shell

采用Reddy的三階剪切變形板殼理論,位移場(chǎng)可表示為:

(1a)

(1b)

w=w0

(1c)

其中u,v,w表示殼體沿著α,β,γ三個(gè)曲線坐標(biāo)軸方向的位移.

采用von Karman的非線性幾何關(guān)系可得到應(yīng)變和位移的關(guān)系式如下:

(2)

壓電纖維復(fù)合材料本構(gòu)關(guān)系的一般形式可以表示如下:

σp=Cpqεq-ekpEk

(3a)

Di=eiqεq+kikEk

(3b)

其中Ek表示電場(chǎng)強(qiáng)度,ekp表示壓電常數(shù).

1-3型壓電纖維復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為:

(4)

曲線坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為dx=a1dα, dy=a2dβ, dz=dγ. 利用以上關(guān)系式可在Hamilton原理中直接進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換.應(yīng)用Hamilton原理建立結(jié)構(gòu)的非線性運(yùn)動(dòng)控制方程. Hamilton原理可以表示如下:

(5)

將方程(1)、(2)、(4)代入到(6),并展開成廣義位移形式的非線性動(dòng)力學(xué)方程:

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

(6e)

懸臂殼的邊界條件為:

(7a)

(7b)

y=0：u0=v0=w0=φ1=φ2=0

(7c)

(7d)

(7e)

結(jié)構(gòu)的剛度系統(tǒng)可以表示為:

(Aij,Bij,Dij,Eij,Fij,Hij)

(i,j=1,2,6)

(Aij,Dij,Fij)=

(8a)

(8b)

2 Galerkin離散

將動(dòng)力學(xué)方程無量綱化后,可得到結(jié)構(gòu)無量綱形式的動(dòng)力學(xué)方程. 通過Galerkin方法將系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)控制方程離散,根據(jù)邊界條件選取如下模態(tài)形式:

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

w0=w1(t)X1(x)Y1(y)+w2(t)X2(x)Y2(y)

(9e)

其中,

Xi(x)=sinλix-sinhλix+αi(coshλix-cosλix)

(10a)

Y1(y)=1

(10b)

(10c)

cosλiacoshλia+1=0

(10d)

cosμjbcoshμjb-1=0

(10e)

(10f)

由于所建立的中厚度復(fù)合材料殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型中,橫向振動(dòng)比其他兩個(gè)方向的振動(dòng)要大很多,所以本文重點(diǎn)研究結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)特性,將離散后的方程簡(jiǎn)化得到兩自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程如下:

α14w1cosΩ2t++α15w2cosΩ2t=α16fcosΩ1t

(11a)

α24w1cosΩ2t+α25w2cosΩ2t=α26fcosΩ1t

(11b)

其中,μ為阻尼系數(shù),α14,α15,α24,α25為壓電系數(shù).

3 攝動(dòng)分析

采用多尺度法對(duì)偏微分方程進(jìn)行攝動(dòng)分析,引入小參數(shù)ε,并設(shè)方程的解為:

w1=w10(T0,T1)+εw11(T0,T1)+…

(12a)

w2=w20(T0,T1)+εw21(T0,T1)+…

(12b)

其中,T0=t,T1=εt.

微分算子為:

(13a)

(13b)

本文分析系統(tǒng)主參數(shù)共振和1∶1內(nèi)共振的情況,建立相應(yīng)的關(guān)系如下:

Ω1=Ω2=1

(14)

其中,σ1、σ2是調(diào)諧參數(shù).

將方程(12)、(13)和(14)代入方程(11),令方程兩邊ε同階項(xiàng)系數(shù)相等,則得微分方程如下:

ε0階:

(15a)

(15b)

ε1階:

α15w20cosΩ2t+α16fcosΩ1t

(16a)

α25w20cosΩ2t+α26fcosΩ1t

(16b)

設(shè)方程(15)有如下形式的解:

(17a)

(17b)

將方程(17)代入到方程(16)中得到系統(tǒng)1∶1內(nèi)共振情況下極坐標(biāo)形式的平均方程為:

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

4 數(shù)值模擬

本節(jié)將通過數(shù)值模擬方法研究復(fù)合材料殼結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)行為,研究壓電系數(shù)及外激勵(lì)幅值對(duì)殼體振動(dòng)響應(yīng)的影響. 選定一組初始參數(shù)為μ=0.4,α11=29.2,α12=-6.7,α13=10.7,α14=1.0,α15=1.0,α16=25.3,α21=27.7,α22=5.2,α23=27.0,α24=1.0,α25=1.0,α26=6.9,x1=1.6,x2=0.3,x3=1.9,x1=0.9. 方程(18)與(11)的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系,根據(jù)方程(18),改變壓電系數(shù)α14,分別取0.5,1.0,1.5可以得到幅頻響應(yīng)曲線,如圖3所示,橫軸表示失諧參數(shù),縱軸表示第一階和第二階振幅. 從圖中可以看出,增大壓電參數(shù),會(huì)使得系統(tǒng)的剛度變小.

固定上述的參數(shù)值和初始條件,研究外激勵(lì)幅值的變化對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響以及壓電系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的調(diào)節(jié)作用,根據(jù)方程(11),改變外激勵(lì)f的幅值,研究系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)隨外激勵(lì)幅值的變化情況,當(dāng)幅值從300變化到2000的過程中,得到殼體橫向位移的分叉圖,如圖4所示. 從分叉圖中分析可得,系統(tǒng)分別在400、700、1550附近出現(xiàn)了周期運(yùn)動(dòng),而在其他的區(qū)域都為混沌運(yùn)動(dòng). 圖5給出了外激勵(lì)幅值為850時(shí)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)形態(tài).

圖3 幅頻響應(yīng)曲線Fig. 3 Amplitude frequency response curves

圖4 分叉圖Fig. 4 Bifurcation diagram

圖5 混沌運(yùn)動(dòng)Fig. 5 Chaotic motion

圖6 分叉圖Fig. 6 Bifurcation diagram

根據(jù)以上分析結(jié)果發(fā)現(xiàn),外激勵(lì)的幅值對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響較大,在此基礎(chǔ)上,通過改變結(jié)構(gòu)的壓電參數(shù)來調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng),實(shí)現(xiàn)壓電參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的抑制. 根據(jù)圖5中的參數(shù)取值,取定激勵(lì)f的幅值為850,只改變壓電系數(shù)α25的大小,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)α25從0增加到6的過程中,系統(tǒng)出現(xiàn)了不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖6所示,從分叉圖中看出通過改變壓電系數(shù)可改變系統(tǒng)的非線性振動(dòng)響應(yīng). 當(dāng)α25從0增加為4.5,系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng),具體的形態(tài)如圖7所示.

圖7 周期運(yùn)動(dòng)Fig. 7 Periodic motion

為了更好地說明壓電參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的調(diào)節(jié)作用,再選取下面一組數(shù)據(jù)μ=0.6,α11=-5.3,α12=8.9,α13=26.4,α14=1.0,α15=1.0,α16=19.3,α21=-10.4,α22=7.4,α23=-22.4,α24=1.0,α25=1.0,α26=14.1,x1=2.6,x2=1.3,x3=4.5,x1=5.1. 如圖8所示,當(dāng)激勵(lì)幅值從3增大到20的過程中,系統(tǒng)出現(xiàn)了先周期運(yùn)動(dòng)后混動(dòng)運(yùn)動(dòng). 如圖9和圖10給出了外激勵(lì)幅值為5和12時(shí),系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的具體形態(tài).

圖8 分叉圖Fig. 8 Bifurcation diagram

圖9 周期運(yùn)動(dòng)Fig. 9 The periodic motion

圖10 混沌運(yùn)動(dòng)Fig. 10 The chaotic motion

保持上述參數(shù)不變,取定外激勵(lì)f的幅值為12,只改變?chǔ)?5的大小,系統(tǒng)同樣出現(xiàn)了先混沌再周期再到混沌的運(yùn)動(dòng)形式. 從分叉圖11中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)α25從1.0改變?yōu)?.0,結(jié)構(gòu)原來的混沌運(yùn)動(dòng)將轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng),從而抑制了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng),圖12給出了調(diào)節(jié)后周期運(yùn)動(dòng)的具體形態(tài). 通過上述兩組不同的參數(shù)模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),壓電纖維可以起到調(diào)節(jié)和抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的特性.

圖11 分叉圖Fig. 11 Bifurcation diagram

圖12 周期運(yùn)動(dòng)Fig. 12 The periodic motion

5 結(jié)論

本文利用Reddy的高階剪切理論、von Karman大變形理論和Hamilton原理建立了壓電纖維復(fù)合材料層合殼在橫向激勵(lì)作用下的非線性偏微分運(yùn)動(dòng)控制方程,運(yùn)用Galerkin方法離散得到了結(jié)構(gòu)常微分形式的運(yùn)動(dòng)控制方程,攝動(dòng)分析得到了系統(tǒng)極坐標(biāo)形式的平均方程,并用數(shù)值方法研究了壓電纖維復(fù)合材料層合殼結(jié)構(gòu)在不同參數(shù)作用下的非線性動(dòng)力學(xué)行為.

數(shù)值結(jié)果得到了結(jié)構(gòu)在橫向激勵(lì)作用下幅頻響應(yīng)曲線以及位移的分叉圖、相圖、波形圖和龐加萊圖,在確定幾何和材料參數(shù)的情況下,外激勵(lì)的變化和壓電系數(shù)的變化會(huì)引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的變化,出現(xiàn)從混沌到周期再到混沌的運(yùn)動(dòng),通過改變壓電系數(shù)可以抑制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng). 在確定外激勵(lì)幅值的情況下,改變壓電系數(shù),會(huì)改變系統(tǒng)的剛度,進(jìn)而會(huì)改變系統(tǒng)的固有頻率,因此壓電效應(yīng)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生影響. 所以,通過調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)橫向激勵(lì)幅值和壓電系數(shù)可以控制壓電纖維復(fù)合材料層合殼結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)響應(yīng).

1李敏,陳偉民,賈麗杰. 壓電纖維復(fù)合材料鋪層用于翼面設(shè)計(jì)的驅(qū)動(dòng)特性與剛度影響. 航空學(xué)報(bào), 2010,31(2):418～425 (Li M, Chen W M, Jia L J. Drive characteristics and stiffness influence with piezoelectric fiber composite actuators on airfoil surface.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica, 2010,31(2):418～425 (in Chinese))

2侯志偉,陳仁文,徐志偉等. 壓電纖維復(fù)合材料在結(jié)構(gòu)減振中的應(yīng)用. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2010,30(1):51～54 (Hou Z W, Chen R W, Xu Z W,et al. Application of macro-fiber composite to structural vibration suppression.JournalofVibration,Measurement&Diagnosis, 2010,30(1):51～54(in Chinese))

3Panda S, Ray M C. Active control of geometrically nonlinear vibrations of functionally graded laminated composite plates using piezoelectric fiber reinforced composites.JournalofSoundandVibration, 2009,325:186～205

4Xia X K, Shen H S. Nonlinear vibration and dynamic response of FGM plates with piezoelectric fiber reinforced composite actuators.CompositeStructures, 2009,90:254～262.

5Thinh T, Ngoc L K. Static behavior and vibration control of piezoelectric cantilever composite plates and comparison with experiments.ComputationalMaterialsScience, 2010,49:S276～S280

6Sohn J W, Choi S B, Kim H S. Vibration control of smart hull structure with optimally placed piezoelectric composite actuators.InternationalJournalofMechanicalSciences, 2011,53:647～659

7Shiyekar S M, Kant T. Higher order shear deformation effects on analysis of laminates with piezoelectric fiber reinforced composite actuators.CompositeStructures, 2011,93:3252～3261

8Mareishi S, Rafiee M, He X Q, et al. Nonlinear free vibration post buckling and nonlinear static deflection of piezoelectric fiber-reinforced laminated composite beams.Composites:PartB, 2014,59:123～132

9李敏,陳偉民,賈麗杰. 壓電驅(qū)動(dòng)器的氣動(dòng)彈性應(yīng)用. 航空學(xué)報(bào), 2009,30:2301～2310 (Li M, Chen W M, Jia L J. Application of piezoelectric actuators to aircraft aeroelastic performance enhancement.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica, 2009,30:2301～2310 (in Chinese))

10 Rafiee M, Liu X F, He X Q, et al. Geometrically nonlinear free vibration of shear deformable piezoelectric carbon nanotube/fiber/polymer multi-scale laminated composite plates.JournalofSoundandVibration, 2014,333:3236～3251

11 Sodano H, Park A G, Inman D J. An investigation into the performance of macro-fiber composites for sensing and structural vibration applications.MechanicalSystemsandSignalProcessing, 2004,18:683～697

12 李允,沈星,王寧. 1-3型壓電纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)性能的影響. 材料導(dǎo)報(bào), 2008,22(12):89～99 (Li Y, Shen X, Wang N. Influence of structure parameters of l-3 piezoelectric fiber composites on actuation capability.MaterialsReview, 2008,22(12):89～99 (in Chinese))

13 Panda S, Ray M C. Active control of laminated cylindrical shells using piezoelectric fiber reinforced composites.CompositesScienceandTechnology, 2005,65:1226～1236

14 Choi S C, Park J S, Kim J H. Active damping of rotating composite thin-walled beams using MFC actuators and PVDF sensors.CompositeStructures, 2006,76:362～374

15 趙國(guó)旗,韓偉,駱英. 指式壓電纖維復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化. 陶瓷學(xué)報(bào), 2013,34(4):467～471 (Zhao G Q, Han W, Luo Y. Structure optimization of IDE piezoelectric fiber composites actuators.JournalofCeramics, 2013,34(4):467～471 (in Chinese))

16 趙壽根,程偉. 1-3型壓電復(fù)合材料及其研究進(jìn)展. 力學(xué)進(jìn)展, 2002,32(1):57～68 (Zhao S G, Cheng W. 1-3type piezoelectric fiber composites and their research progress.AdvancesinMechanics, 2002,32(1):57～68(in Chinese))