王佳萍 杜成斌 江守燕

(河海大學(xué)工程力學(xué)系，南京211100)

擴(kuò)展有限元與遺傳算法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)缺陷反演分析1)

王佳萍2)杜成斌3)江守燕

(河海大學(xué)工程力學(xué)系，南京211100)

建立擴(kuò)展有限元法與遺傳算法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)缺陷反演分析模型.擴(kuò)展有限元法通過引入不連續(xù)位移模式使得網(wǎng)格剖分無需依賴結(jié)構(gòu)內(nèi)部的不連續(xù)界面.通過改變水平集函數(shù)表征結(jié)構(gòu)缺陷(夾雜)的位置和大小，遺傳算法在每次迭代過程中具有全局和局部搜索能力，通過評估響應(yīng)測點(diǎn)的響應(yīng)量適應(yīng)度值決定是否進(jìn)一步迭代.對帶有單個圓形缺陷(夾雜)和多個缺陷(夾雜)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了反演分析，并就響應(yīng)測點(diǎn)的布置進(jìn)行了討論.結(jié)果表明,建立的反演分析模型能準(zhǔn)確地探測結(jié)構(gòu)存在的單個甚至多個缺陷(夾雜).

反分析，擴(kuò)展有限元法，遺傳算法，響應(yīng)測點(diǎn)，缺陷

擴(kuò)展有限元法[1]是基于單位分解理論[23]對有限元法的擴(kuò)展，擴(kuò)展有限元法能夠就具體問題的需要來選擇特殊的富集函數(shù)構(gòu)建位移場，并通過水平集方法描述不連續(xù)邊界，使得位移場近似函數(shù)的形式可以獨(dú)立于網(wǎng)格的劃分，避免了反分析迭代過程中的網(wǎng)格重剖分，為包含孔洞、夾雜等缺陷的結(jié)構(gòu)仿真模擬提供了新的有效途徑[45].

基于現(xiàn)場實測(實驗)數(shù)據(jù)的反演結(jié)構(gòu)參數(shù)在實際工程評估、工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中越來越得到重視.文獻(xiàn)[6]利用光纖光柵傳感技術(shù)，在現(xiàn)場對大管樁在外載作用下的變形情況進(jìn)行了測試，根據(jù)測試結(jié)果，利用數(shù)值法反分析得到大管樁力學(xué)性能參數(shù).文獻(xiàn)[7]利用測量得到的夯沉量等數(shù)據(jù)，反算地層的變形模量.反分析法是一種缺陷量化法[8]，它是基于有關(guān)的實際測試數(shù)據(jù)，通過建立有效的反演分析模型，在不破壞結(jié)構(gòu)本身的前提下檢測識別出結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷(夾雜)的位置、尺寸和類型等參數(shù)，通常來說包括正分析和目標(biāo)函數(shù)極小化迭代過程兩部分.目標(biāo)函數(shù)的極小化迭代需要運(yùn)用智能優(yōu)化算法，如遺傳算法[8]、人工蜂群算法[9]等.遺傳算法是一類借鑒生物界的進(jìn)化規(guī)律演化而來的隨機(jī)搜索算法，遺傳算法具有良好的全局搜索能力，可以快速地將解空間中的全體解搜索出來而不致陷入局部最優(yōu)解的快速下降陷阱.利用遺傳算法的內(nèi)在并行性，可以有效地進(jìn)行分布式計算，加快求解速度.遺傳算法與擴(kuò)展有限元法的結(jié)合可以有效地減少反演分析的計算工作量.在國外，有人基于擴(kuò)展有限元法和遺傳算法提出了一種裂紋反演識別的數(shù)值方法[10]；另外，還有人結(jié)合擴(kuò)展有限元法和遺傳算法反演識別出線彈性結(jié)構(gòu)內(nèi)各種類型的缺陷，包括直裂紋、圓形孔洞及不規(guī)則形孔洞等[11].在國內(nèi)的相關(guān)研究中[12]，也有人利用擴(kuò)展有限元法和人工蜂群算法反演識別出線彈性結(jié)構(gòu)內(nèi)各種類型的單缺陷(夾雜).

本文結(jié)合擴(kuò)展有限元法和遺傳算法的各自特點(diǎn)，探討研究結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷 (夾雜)反演的新途徑.文中給出了運(yùn)用擴(kuò)展有限元法反演結(jié)構(gòu)內(nèi)部圓形、橢圓形缺陷 (夾雜)時位移模式的構(gòu)建以及水平集函數(shù)的表征.闡述了遺傳算法的運(yùn)行方案以及基于擴(kuò)展有限元法和遺傳算法的結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷(夾雜)的反演分析流程.最后通過算例驗證建立的反演分析模型能夠準(zhǔn)確檢測出結(jié)構(gòu)內(nèi)部單個(多個)圓形缺陷(夾雜)，并就響應(yīng)測點(diǎn)的布置方案進(jìn)行了分析討論.

1 基于擴(kuò)展有限元法的反分析問題的求解思路

反分析法提供了一種量化缺陷的數(shù)值方法，比如確定缺陷尺寸、形狀、方向等.如圖1所示，反分析問題可以描述為在已知外載荷ˉt、外邊界ˉu、結(jié)構(gòu)體D的基礎(chǔ)上，尋找正分析問題所需的孔洞邊界Γc和夾雜邊界Γh.

圖1 含缺陷(夾雜)的結(jié)構(gòu)體

算法上，這個問題可以看成是一系列參數(shù)θi的最優(yōu)估計，這些參數(shù)是用來描述夾雜Γc和孔洞Γh的，參數(shù)模型可通過下列一組向量表示為

式中，n表示待反演的參數(shù)個數(shù).本文著重反演圓形、橢圓形孔洞(夾雜).單個圓形孔洞(夾雜)的反演參數(shù)為

式中，rc是圓的半徑，(xc,yc)是圓心坐標(biāo).

單個橢圓形夾雜(孔洞)的反演參數(shù)為

式中，(xc,yc)是橢圓中心點(diǎn)的坐標(biāo),a是橢圓長半軸,b是橢圓短半軸,β是方位角，即局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的夾角.具體操作如下

尋找 θi∈ Γc(或 θi∈ Γh)使得

式中，n是與缺陷(夾雜)對應(yīng)的參數(shù)個數(shù).目標(biāo)函數(shù)建立在一系列真實響應(yīng)測點(diǎn)值的基礎(chǔ)上，其表達(dá)式為

2 擴(kuò)展有限元法簡介

2.1 位移模式

擴(kuò)展有限元法通過引入非連續(xù)位移模式使得不連續(xù)位移場的描述可以獨(dú)立于網(wǎng)格的劃分，與水平集法的結(jié)合，使得材料內(nèi)部任意復(fù)雜界面的描述成為可能.考慮n維空間中求解域?∈Rn的離散，I為域內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)的集合，I?為所有改進(jìn)結(jié)點(diǎn)的集合，且I??I.常規(guī)擴(kuò)展有限元法位移模式可表示為

式中，ui為常規(guī)有限元結(jié)點(diǎn) i處的位移未知量；Ni(x)為與結(jié)點(diǎn) i對應(yīng)的常規(guī)有限元的插值形函數(shù)；ψi(x)為擴(kuò)展有限元法的改進(jìn)函數(shù)；ai為結(jié)點(diǎn)i的改進(jìn)位移未知量；為單位分解函數(shù)，其形式可以和Ni(x)相同，也可以不同，文中取兩者相同，需滿足下列關(guān)系

對于被孔洞邊界切割的單元，單元的結(jié)點(diǎn)可以通過函數(shù) V(x)進(jìn)行改進(jìn)，若結(jié)點(diǎn)位于孔洞內(nèi)，V(x)=0，否則V(x)=1.對于被夾雜邊界切割的單元，這些單元的結(jié)點(diǎn)可以通過修正改進(jìn)函數(shù)ψi(x)進(jìn)行改進(jìn)[2]

式中，φi為結(jié)點(diǎn)的水平集，Ni(x)為常規(guī)有限元的插值形函數(shù).上式表達(dá)的改進(jìn)函數(shù)在混合單元處，ψi(x)=0，即擴(kuò)展有限元方法的位移模式中改進(jìn)項消失，因此，它規(guī)避了常規(guī)單元與改進(jìn)單元之間的協(xié)調(diào)問題.

2.2 水平集法

結(jié)構(gòu)內(nèi)部不規(guī)則的孔洞 (夾雜)在反演分析時可采用規(guī)則的圓形或橢圓形孔洞 (夾雜)進(jìn)行最佳擬合.圓形孔洞(夾雜)的水平集函數(shù)可以表示為[2]

式中，xc為圓形界面的圓心坐標(biāo)；rc為圓形界面的半徑.對于含多個圓形界面的二維求解域，水平集函數(shù)可以表示為

橢圓形孔洞(夾雜)的水平集函數(shù)可以表示為[2]

式中，(xc,yc)表示橢圓的中心坐標(biāo),a表示橢圓的長半軸,b表示橢圓的短半軸,β表示橢圓的方向角，以逆時針為正，β ∈[?π,π].

由于擴(kuò)展有限元方法不需要按照材料的界面來劃分網(wǎng)格，因此，在求解單元勁度矩陣和載荷列陣時需采用分區(qū)域積分法進(jìn)行求解.具體不連續(xù)單元的數(shù)值積分的處理方法見文獻(xiàn)[12].

3 遺傳算法

遺傳算法的基本原理是根據(jù)它們對環(huán)境的適應(yīng)能力來決定生長趨勢的，適應(yīng)度強(qiáng)弱是通過計算適應(yīng)度函數(shù)的值來判別的，這個值稱為適應(yīng)度值.適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)成與目標(biāo)函數(shù)有著密切的關(guān)系，文中的適應(yīng)度函數(shù)是目標(biāo)函數(shù)的倒數(shù).

遺傳算法實施的基本步驟如下：

(1)隨機(jī)生成 N 個初始參數(shù)，即可行解矩陣[θ1,θ2,···,θN]T，某個隨機(jī)可行解參數(shù)為

式中，j 取值 {1,2,···,N}；i取值 {1,2,···,n}，為n維解向量的某個分量；是(0,1)之間的隨機(jī)生成數(shù)；和為隨機(jī)可行解參數(shù)的下限值和上限值.

(2)對N個初始參數(shù)模型進(jìn)行適應(yīng)度值計算.適應(yīng)度函數(shù)f(θ)與目標(biāo)函數(shù)O(θ)的關(guān)系為

遺傳算法的具體執(zhí)行過程分為兩個階段.首先考慮從初始模型到中間模型的建立.在選擇階段之前，計算出所有現(xiàn)有參數(shù)模型的其中 fi表示第i個參數(shù)模型的適應(yīng)度值，表示所有參數(shù)模型的平均適應(yīng)度值.根據(jù)比值的整數(shù)部分確定這個參數(shù)模型在中間模型中要復(fù)制的份數(shù).其次,中間模型的選擇階段完成以后，進(jìn)行重組和隨機(jī)突變.

4 數(shù)值算例

4.1 單個圓形夾雜在不同響應(yīng)測點(diǎn)布置下的反演分析

如圖 2所示為含單個圓形夾雜的正方形板(L=2m)，板一邊受約束以消除剛體位移，一邊受水平向拉伸載荷P=1.0MPa的作用.圖3所示為其有限元網(wǎng)格圖，單元數(shù)為9283，結(jié)點(diǎn)數(shù)為9440.用擴(kuò)展有限元方法計算時，方形板被離散成39×39的均勻網(wǎng)格(圖4所示)，本例是彈性薄板，假設(shè)板處于平面應(yīng)力狀態(tài).材料種類有2種：基體和夾雜.基體的彈性模量為E=22GPa，泊松比ν=0.167；夾雜的彈性模量為E=55GPa，泊松比ν=0.3.首先，需要驗證文中建立的反演分析法是否能正確反映真實的缺陷 (夾雜)信息，于是對方案①進(jìn)行了分析.通過分析響應(yīng)測點(diǎn)所測得的位移響應(yīng)，反演得到結(jié)構(gòu)內(nèi)部的缺陷信息，結(jié)果見表 1.到 25次迭代為止，已基本可反演出參數(shù)值.

圖2 單側(cè)受拉板的計算簡圖

圖3 有限元計算模型

如圖4所示，建立了5種響應(yīng)測點(diǎn)的分布方案①、②、③、④、⑤，通過Fortran程序的反演分析，尋找到最優(yōu)的響應(yīng)測點(diǎn)布置方案，使得夾雜信息更快更準(zhǔn)確地收斂.

圖4 響應(yīng)測點(diǎn)的布置方案

反演分析中結(jié)構(gòu)的響應(yīng)值在文中均通過商業(yè)有限元軟件ABAQUS計算獲取.

本例的所有結(jié)果均是在適應(yīng)度值為105量級以上得到的.算例中，圓形夾雜有3個待反演的參數(shù)，分別是圓的半徑rc和圓心坐標(biāo)(xc,yc)，如表1所示.待反演參數(shù)的限值為rc∈[0.05,0.4]，xc∈[0.2,1.8]，yc∈[0.2,1.8].反演分析時，任意生成N=200組初始參數(shù)模型，最大迭代次數(shù)Niter=500.方案①的響應(yīng)測點(diǎn)采用了全局布置法，考慮到方形板左邊受約束，在實際情況中的響應(yīng)測點(diǎn)既不好布置也可能對適應(yīng)度值的反映不靈敏.于是，結(jié)構(gòu)左邊并未布置響應(yīng)測點(diǎn)，迭代結(jié)果如表1.

表1 圓形夾雜的反演結(jié)果

方案②、③、④未采取全局布置法，而是采用了對稱分布，分別是 8、6、4個響應(yīng)測點(diǎn)的對稱分布.從表1的反演結(jié)果可以看出，這三種布置方案的迭代效果都不錯，但是響應(yīng)測點(diǎn)布置得越多相對來說反演的速度也越快，需要的迭代次數(shù)越少.方案⑤的收斂效果較差，與真實值有一定差距.前4種響應(yīng)測點(diǎn)分布方案里①、②最優(yōu)，②的反演過程見圖5.

圖5 方案②夾雜的反演過程

4.2 多夾雜在特定響應(yīng)測點(diǎn)布置下的反演分析

如圖6所示為含3個圓形夾雜的單側(cè)受拉方形板，圓形夾雜的位置未知，模型尺寸和外部條件同上例.從算例1得出，響應(yīng)測點(diǎn)的布置方案①、②最優(yōu)，這里采用方案①.

圖6 含3個圓形夾雜的單側(cè)受拉板的計算簡圖

本例中，共有9個待反演的參數(shù)，每個圓形夾雜有3個待反演參數(shù)，分別是圓的半徑rc和圓心坐標(biāo)(xc,yc).待反演參數(shù)的限值均為rc∈[0.05,0.4]，xc∈[0.2,1.8]，yc∈[0.2,1.8].反演分析時，任意生成N=200組初始參數(shù)模型，最大迭代次數(shù)Niter=500.注意，本例中的水平集需要用含多個圓形界面的水平集函數(shù)表示(式(10)).

表2為結(jié)構(gòu)含 3個圓形夾雜情況下的反演結(jié)果，前期的迭代效率較慢，到167次迭代達(dá)到最優(yōu)解.

表2 結(jié)構(gòu)含三個圓形夾雜情況下的反演結(jié)果

如圖7所示，給出了3個圓形夾雜的反演過程.相比于單缺陷的反演，因迭代參數(shù)的增多，迭代收斂速度相對較慢.

圖7 三個圓形夾雜的反演過程

5 結(jié)論

本文結(jié)合擴(kuò)展有限元方法和遺傳算法反演結(jié)構(gòu)內(nèi)部未知的單個圓形和多個圓形缺陷(夾雜)的位置及大小.擴(kuò)展有限元方法有效避免了常規(guī)有限元網(wǎng)格的重剖分，大大減少了計算量；遺傳算法提供了一種快速搜索的方法，它能夠在每一次的迭代過程中同時用到全局和局部搜索，這大大增加了找到可行解的概率.此外，文中對結(jié)構(gòu)響應(yīng)測點(diǎn)的布置方案進(jìn)行了研究.算例分析表明：建立的反演分析模型能準(zhǔn)確地探測出結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在的圓形缺陷(夾雜)；響應(yīng)測點(diǎn)的數(shù)目對收斂速率影響很大，測點(diǎn)數(shù)越多，收斂越快.

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12江守燕，杜成斌.基于擴(kuò)展有限元的結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷(夾雜)的反演分析模型.力學(xué)學(xué)報,2015,47(6):1037-1045

THE INVERSE ANALYSIS OF INTERNAL DEFECTS(INCLUSIONS)IN STRUCTURES USING A COMBINED XFEM AND GA METHOD1)

WANG Jiaping2)DU Chengbin3)JIANG Shouyan
(Department of Engineering Mechanics,Hohai University,Nanjing 211100,China)

An inverse analysis model for identifying internal defects(inclusions)in the structure using a combined method of the extended finite element method(XFEM)and the genetic algorithm(GA)is proposed.The discontinuous displacement mode introduced in the displacement function of the XFEM makes it possible to generate a grid independent of the discontinuous interface of the structure.The locations and the size of defects are determined by a modification of the level set function in the study.The GA has a global and local optimization ability in each iteration process.The fitness value of the response determines whether the iteration should continue or not.Two numerical examples including a single circular defect and multiple defects are analyzed,and the locations of the response measuring points in the structure are also discussed.Results indicate that the inversion model presented in the paper can accurately identify the locations and the size of a single defect or multiple defects in the structure.

inverse analysis,extended finite element method,genetic algorithm,response measuring point,defects

O302

A

10.6052/1000-0879-17-176

2017–05–26收到第1稿，2017–09–22 收到修改稿.

1)國家自然科學(xué)基金(51579084,11372098,11132003)和江蘇省水利科技基金(2015030,2016017)資助項目.

2)王佳萍，碩士，主要研究方向為工程結(jié)構(gòu)反分析研究.E-mail：1053506531@qq.com

3)杜成斌，教授，主要研究方向為水工結(jié)構(gòu)中力學(xué)問題研究.E-mail:cbdu@hhu.edu.cn

王佳萍,杜成斌,江守燕.擴(kuò)展有限元與遺傳算法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)缺陷反演分析.力學(xué)與實踐,2017,39(6):591-596

Wang Jiaping,Du Chengbin,Jiang Shouyan.The inverse analysis of internal defects(inclusions)in structures using a combined XFEM and GA method.Mechanics in Engineering,2017,39(6):591-596

(責(zé)任編輯:周冬冬)