☉湖北省武漢市第二中學(xué) 朱九如

多元函數(shù)最值問題求解策略續(xù)

☉湖北省武漢市第二中學(xué) 朱九如

文1中提出了求解多元函數(shù)最值問題的10種方法，舉例給出了其中的7種方法，讀后深受啟發(fā)，本文舉例給出另外的幾種求解方法.

一、減元法

根據(jù)轉(zhuǎn)化與化歸思想的理論，嘗試將多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元函數(shù)來處理，可通過換元、不等式放縮技巧、題中條件等式等途徑實現(xiàn).

1.通過換元減元

例1 設(shè)x，y∈R+，x+y=c，c為常數(shù)且c∈（0，2］，求u=）的最小值.

解析：

例2 設(shè)a，b∈R，a2+2b2=6，則a+b的最小值是________.

解析：因為a，b∈R，a2+2b2=6，所以令則，所以a+b的最小值是-3.

評注：換元法是指通過引入一個或幾個新的變量，來替換原來的某些變量（或代數(shù)式），使問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法.在解題中，常常使用的換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目形式靈活選擇換元的方法，以便將復(fù)雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)最值問題.在使用換元法時，要特別注意換元后新元的取值范圍.

2.通過放縮減元

解析：于是當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

評注：本題利用三角函數(shù)中正、余弦值的有界性，選取適當(dāng)?shù)牟坏仁竭M(jìn)行放縮使得問題得以解決.

3.利用條件減元

例4設(shè)x，y為實數(shù)，已知5x2+4y2=10x，則4（x2+y2）的最大值為_________.

解析：已知5x2+4y2=10x，可得4y2=10x-5x2≥0，所以0≤x≤2.

所以4（x2+y2）=10x-x2=25-（5-x）2≤25-32=16?x2+y2≤4.

評注：本題根據(jù)題中的關(guān)系式將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元函數(shù)，利用配方法將問題解決.本題中消去變量y比較方便，不過要注意變量x的取值范圍.

二、判別式法

如果通過代換及題中關(guān)系等式可得到一個關(guān)于某個變量的一元二次方程，則利用二次方程有解判別式非負(fù)可以將問題解決.

例5已知a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是________.

解析：將c=-（a+b）代入a2+b2+c2=1，得2b2+2ab+2a2-1=0.此關(guān)于b的方程有實數(shù)解，則Δ=（2a）2-8（2a2-1）≥0，整理得即，所以a的最大值是

評注：將兩個已知條件中的a消去，整理成關(guān)于b的一元二次方程，由于方程有實數(shù)解，判別式恒大于或等于0，得到關(guān)于a的不等式，求解后即得a的最大值.

三、分類討論法

例6 若實數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是_______.

圖1

解析：x2+y2≤1表示圓x2+y2=1及其內(nèi)部，易得直線6-x-3y與圓相離，故|6-x-3y|=6-x-3y，當(dāng)2x+y-2≥0時，|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，如圖1所示，可行域為小的弓形內(nèi)部，目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4，可知，當(dāng)時，zmin=3. 當(dāng)2x+y-2＜0時，|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域為大的弓形內(nèi)部，目標(biāo)函數(shù)z=8-3x-4y，同理可知，當(dāng)時，z=3.綜上所述，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最min小值是3.

評注：本題根據(jù)可行域是圓及其內(nèi)部的特點，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系的判定，首先可以將目標(biāo)函數(shù)中的兩個絕對值號去掉一個，再利用分類討論的數(shù)學(xué)思想去掉一個絕對值號，利用線性規(guī)劃知識求解.

例7（2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽）設(shè)a、b、c是正整數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實根的絕對值均小于，求a+b+c的最小值.

解析：設(shè)方程的兩個實根為x1、x2，由韋達(dá)定理知x1＜0，x2＜0.

（1）當(dāng)b=7時，由4a≤4ac≤b2及a≥11，知a=11或12，c=1.

由于方程11x2+7x+1=0有根不合題意；方程12x2+7x+1=0的兩根為，也不合題意.

（2）當(dāng)b=8時，由4ac≤b2=64及a≥11，知a=11，12，13，14，15，16，c=1.

而f（15）=0，因此，a只能為16. 此時，a+b+c=25，而16x2+8x+1=0的兩根為滿足題意.

若a+b+c＜25，則只能是a=14，b=9，c=1.此時，方程14x2+9x+1=0的兩根為，不合題意.故a+b+c≥25.

綜上，a+b+c的最小值為25.

評注：對于離散型條件最值，求解時常常對離散變量進(jìn)行分類討論，采用窮舉的方法確定最值.

1.范東暉.分類例談多元函數(shù)最值問題求解策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（10）.