☉湖北省宜昌市第一中學 鄭璇玥

復合函數(shù)求導方法的探究與應用

☉湖北省宜昌市第一中學 鄭璇玥

復合函數(shù)求導在導數(shù)的運算中扮演者重要的角色，在平常的學習中，求導并不意味著對初等函數(shù)的求導.但是能否對初等函數(shù)進行精確求解，決定著是否能對復合函數(shù)進行正確的求解.因為不論是在高等數(shù)學還是目前的高中數(shù)學中的復合函數(shù)求導，不僅有基本初等函數(shù)的四則運算，還包括基本初等函數(shù)的復合.所以復合函數(shù)的分解與求解步驟是學習的重點.

一、復合函數(shù)的認識

一般地，對于兩個函數(shù)y=f（u）和u=g（x），如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f（u）和u=g（x）的復合函數(shù)，記為y=f［g（x）］.其中x成為自變量，u為中間變量，y為因變量.不是任何函數(shù)都能復合成一個復合函數(shù)，只有當u=g（x）的值域含于y=f（u）的定義域時，二者才能合成一個復合函數(shù).［1］

由此我們可以知道，復合函數(shù)運算的對象雖然是變量y關(guān)于變量x的函數(shù)關(guān)系，但是其實早已不是僅對x進行簡單的運算，而是需要關(guān)系到含有x的中間變量的運算上.所以對復合函數(shù)中含有x的式子的理解顯得尤為重要.

二、復合函數(shù)的求解

1.圖式表示法

為了方便理解復合函數(shù)的求導方法，需要明確函數(shù)結(jié)構(gòu)內(nèi)部變量間的關(guān)系，在此可以先利用畫圖來幫助理解.“樹形圖”如圖1所示.［2］

圖1

從圖中可以清晰的看到，自變量、因變量、中間變量的分工情況及函數(shù)的從屬關(guān)系.出現(xiàn)在“樹形圖”中樹枝末端的變量為自變量.如圖1所示，樹枝末端變量只有一個，那就是t，則t是自變量，z是t的一元函數(shù).

2.復合函數(shù)的求導法則

相比高中課本中的求導法則，引入偏導數(shù)與微分的概念更加便于理解復合函數(shù)求導的步驟與方法.

如果函數(shù)u=φ（t），v=Φ（t）都在點t處可導，函數(shù)z=（fu，v）在對應點（u，v）具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則復合函數(shù)z=［fφ（t），φ（t）］在點t可導，且

其中z=［fφ（t），Φ（t）］僅是t的一元函數(shù)，則這里的稱為全導數(shù).［3］

結(jié)合圖1，可以看到z經(jīng)過t的線路有兩個，即路徑”z—u—t”和路徑”z—v—t”與等式①對應，即

三、復合函數(shù)求導中易出現(xiàn)的問題

由于對初等函數(shù)求導的基礎(chǔ)知識掌握不牢固，經(jīng)常會出現(xiàn)各種問題，在此對幾種典型的錯誤進行歸納.

例1設(shè)求y′x.［4］

錯解：

錯解分析：本題的錯誤原因是基本初等函數(shù)掌握并不牢固，致使常數(shù)求導（d2）′=0，（lna）′=0錯誤的使用了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導公式.

正解：③

例2設(shè)，求y′x.［5］

錯 解 ：

錯題分析：復合函數(shù)的復合過程應為y=lgu，u=

正解

明顯在錯解中忽略了其中一步，致使求導出錯.求解復合函數(shù)的導數(shù)，關(guān)鍵要弄清復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)或者簡單函數(shù)復合而成，按照復合次序從外向內(nèi)進行求導.所以注意復合函數(shù)的分層并且牢記“公式是基礎(chǔ)，分層是關(guān)鍵”才是解題的關(guān)鍵.

四、復合函數(shù)的常用解題技巧

根據(jù)等式①，首先要清楚地分析復合函數(shù)的關(guān)系，找出要求導的復合函數(shù)是由哪幾個初等函數(shù)組成的，然后再設(shè)置恰當?shù)闹虚g變量，把它分解成一些基本的初等函數(shù)的復合，最后由最外層開始，先使用法則，后使用導數(shù)的基本公式，由表及里一層一層求導，切記千萬不可忘記里層的求導.根據(jù)以上的解題步驟，下面介紹一些求導的常用技巧.

1.冪指函數(shù)求解方法

例3求復合函數(shù)的導函數(shù).［6］

解析：第一步，先對函數(shù)兩邊取對數(shù)，從而得到lny=

對數(shù)求導法則對一些冪函數(shù)，特別是乘積形式函數(shù)這類復雜的復合函數(shù)的求導顯得十分便捷.在求解時對函數(shù)式兩邊取對數(shù)，然后對此對數(shù)式兩邊同時對x求導，但要注意在解題時，（fx）≠0時，而不是因為這一類復合函數(shù)求解十分煩瑣，所以對這些式子需要進行化簡、移項，確保得到最簡潔、最精確的答案.

2.反序求導法復合函數(shù)的導數(shù)

反序求導法，其實是一種對復合函數(shù)從里到外一次求導的方法，它和上述的求導方法有相似性，但是其實質(zhì)卻有不同.反序求導法具有以下三個要點：第一，求導次序和求復合函數(shù)值的次序一致，方便上手，有助于對此方法的掌握和運用；第二，從里到外求導，避免了求導不徹底的問題；第三，形式上便于書寫.

求導形式：通常由函數(shù)y=（fu），u=φ（x）構(gòu)成的復合函數(shù)y=［fφ（x）］的導數(shù)時，是應用復合函數(shù)求導法則y′x=f′（uu）·φ（′x），從外到內(nèi)求導；而反序求導則是y′x=φ（′x）·f′（uu），從里到外進行求導.下面進行舉例說明：

例4求復合函數(shù)y=e-2x的導數(shù).

解析：設(shè)y=eu，u=-2x，與反序求導法則相對應：y′x=φ（′x）·f′（uu），由內(nèi)向外進行求導.u′=-2，y′=eu.

分析求導后進行數(shù)據(jù)整理后得到結(jié)果為y′=u′·（eu）′=-2e-2x.

五、總結(jié)

復合函數(shù)存在不同的種類，只有準確地把握函數(shù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的關(guān)系，才能有效地解決復合函數(shù)的求導問題.本文通過對復合函數(shù)的錯題分析，同時也介紹相關(guān)的求解技巧.然而，復合函數(shù)的求解技巧遠不止本文所列舉的這些，由于篇幅有限，本文不再贅述.總之，熟練地掌握初等函數(shù)的求導法則，為求解復合函數(shù)打下牢固的基礎(chǔ)，勤加練習才能減少出錯的概率.

1.高一數(shù)學必修1［M］.北京：人民教育出版社，2015.

2.張曉妮.多元復合函數(shù)的求導方法研究［J］.科技教育，2016.

3.同濟大學數(shù)學系編.高等數(shù)學下冊［M］.北京：高等教育出版社，2013（4）.

4.張樹林.一元復合函數(shù)求導法則及常見錯誤剖析［J］.科技視界，2015.

5.張月華.復合函數(shù)求導探析［J］.漯河職業(yè)技術(shù)學院學報，2011（2）.

6.毛濤.復合函數(shù)求導方法和技巧［D］.陜西理工學院，2015.