☉江蘇省沭陽高級中學(xué) 錢文奇
例談高中解題的幾種策略
☉江蘇省沭陽高級中學(xué) 錢文奇
數(shù)學(xué)解題的教與學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容,數(shù)學(xué)解題能力是學(xué)生數(shù)學(xué)的核心能力,也是數(shù)學(xué)教學(xué)的著重點.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,解題是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要部分,也是很多學(xué)生困惑的地方.因為學(xué)生總感覺聽懂了,題卻解不出來.下面筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)歷,談?wù)劯咧薪忸}的幾種策略,以期拋磚引玉.
在求解數(shù)學(xué)問題的過程中,有些題目條件設(shè)置得很隱蔽,若不能很好挖掘使用,就很難正確解出結(jié)果.這就要求我們在解題中有意識地注意挖掘隱含條件,充分利用好所給的條件解題.
不少數(shù)學(xué)問題往往會在數(shù)學(xué)概念上設(shè)置障礙,若學(xué)生對概念理解不深刻,就很難觀察到其中隱含的障礙.因此要解決好這類問題,必須對概念深入理解.
例1 已知l1:2x+my-2=0,l2:mx+2y-1=0,并且l1⊥l2,則m=______.
錯解:有些同學(xué)認(rèn)為l1⊥l2,則有k1·k2=-1,而由無解.
上述學(xué)生解錯的原因就在于對線線垂直概念的不理解.結(jié)論“l(fā)1⊥l2,則k1·k2=-1”的前提的兩條直線的斜率都存在.因此需要對斜率不存在的情況進(jìn)行討論.
正解:若m=0,顯然l1⊥l2;若m≠0,則由l1⊥l2,得k1·k2=-1,而由矛盾,m不存在.于是m=0.
有的問題若按照常規(guī)思路來解決,則往往過程繁雜,無法解出.這時就需要轉(zhuǎn)換思維,充分利用條件,有效解決問題.
例2設(shè)集合A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144},問是否存在實數(shù)a,b,使下列條件同時成立?(1)A∩B≠?;(2)(a,b)∈C.
錯解:由條件(1)
在x∈Z時有解,消去y,得
由條件(2)(a,b)∈C,得
此題中常規(guī)思路就是將x視為變量,(a,b)視為常量,于是把①式視為關(guān)于x的一元二次方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x有整數(shù)解的問題,按照此思路,大多數(shù)同學(xué)束手無策,望而卻步,無法正確解出結(jié)果.不妨轉(zhuǎn)換思維角度,將(a,b)視為變量,把x視為常量,則可以將原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓面在整數(shù)范圍內(nèi)是否有公共點的問題.于是由d=得(x2-3)2≤0,從而只有顯然與x∈Z矛盾,故滿足條件的a,b不存在.
正解:由于(1)A∩B≠?;(2)(a,b)∈C同時成立,有解且a2+b2≤144,
即3x2-ax+15-b=0有解且a2+b2≤144,
則Δ=a2-12(15-b)=a2+12b-180≥0,且a2+b2≤144,
即180-12b≤a2≤144-b2,
故180-12b≤144-b2?b2-12b+36≤0,即(b-6)2≤0,
因此存在a,b滿足條件.
在高中數(shù)學(xué)解題中,常常會有以下情景:遵循課本上所教講的概念、公式、方法等,但是用著用著就會突然出現(xiàn)頭腦里一片空白的情況.再去翻閱資料,會有一些提示,按照提示,問題就很容易解決,但是我們當(dāng)時就是無法想出這個提示,即無法跨越這個思維的高度,也就是思維在這個點出現(xiàn)了斷層.下面通過一道題談?wù)勅绾慰缭竭@種思維斷層處的障礙.
例3設(shè)函數(shù)曲線y=(fx)在點(1,(f1))處的切線方程為y=e(x-1)+2.
(1)求a,b;
(2)證明:(fx)>1.
解:(1)函數(shù)(fx)的定義域為(
由題意得(f1)=2,f(′1)=e,故a=1,b=2.
設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g(′x)=1+lnx,所以當(dāng))時,g(′x)<0,
故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在[1,+∞)上單調(diào)遞減,從而h(x)在(0,+∞)上的最大值為
綜上所述,當(dāng)x>0時,g(x)>h(x),即(fx)>1.
學(xué)生拿到此題,都能想到用求導(dǎo)解決,但是很多學(xué)生在把(fx)>1轉(zhuǎn)化為再變形成,再構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)數(shù)得令g(′x)=0,到這步后大多數(shù)學(xué)生無法解出,就是想不到將lnx與ex分離,即所謂出現(xiàn)了思維斷層.在平時的教學(xué)中,應(yīng)該要時刻警惕概念教學(xué)中的“滑過現(xiàn)象”,在解題中不斷積累獲取信息的能力,重視解題過程的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生不斷積累解題經(jīng)驗,加強教學(xué)反思,提高學(xué)生的解題能力.
解題過程中,學(xué)生較大限度地發(fā)揮了自身的數(shù)學(xué)水平,解題后老師及時了解學(xué)生的主要解題思路和解題阻滯點,在解法基礎(chǔ)上設(shè)計好優(yōu)化方案,挖掘出試題的本質(zhì)特征,優(yōu)化學(xué)生的解題方法,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.
例4設(shè)函數(shù)(fx)=x|x-a|+b,a,b∈R.
(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)(fx),x∈[1,2]的值域;
(2)對于給定的實數(shù)a(a≥2),存在實數(shù)b,對于任意實數(shù)x∈[1,2],都有不等式|(fx)|≤1恒成立,求實數(shù)a
2的取值范圍.
針對第(2)問,學(xué)生作業(yè)中的解法如下:
解法1:由于,故由閉區(qū)間上二次函數(shù)的性質(zhì)
圖1
解法2:由于,故命題“存在實數(shù)b對于任意實數(shù)x∈[1,2],都有不等式|(fx)恒成立”等價于“當(dāng)
由于二次函數(shù)最值必在x=1,2,a處取到,據(jù)此展開2討論
故a的取值范圍為2≤a≤3或3<a≤4,即2≤a≤4.
圖2
圖3
這兩種解法,可操作性強,但是運算量大,解題過程復(fù)雜,學(xué)生真正解出的很少.因此解題后可以引導(dǎo)學(xué)生對這兩種解法進(jìn)行優(yōu)化.
解法1的優(yōu)化:
同理利用不等式運算性質(zhì)消去b,由④⑥可得2≤a≤6;由⑤⑥可得2≤a≤4,取三者交集得2≤a≤4.
故a的取值范圍為2≤a≤4.
運用必要條件先縮小參數(shù)范圍,減少了分類討論的情況,大大簡化了原解法.
由此可見,題后反思是學(xué)生所思和所想的自然延伸,跟隨思維的發(fā)展進(jìn)程,師生不斷進(jìn)行提煉和優(yōu)化,這種由表及里、由粗到細(xì),伸展不同方向的觸角的解題分析方法,對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是大有裨益的.