張少林

【摘要】本文由最短距離問題出發(fā)，分析其蘊含的思想、方法，并引出數(shù)學(xué)抽象方法的概念、原則、分類.

【關(guān)鍵詞】最短距離；抽象；基本原則；分類

什么是數(shù)學(xué)？不同年齡層次的人，對這個問題的回答是不同的，他們的回答，可能僅僅是從某一個側(cè)面來進行的，即從學(xué)習(xí)的過程、表現(xiàn)的情況、數(shù)學(xué)的應(yīng)用等這些形式來說明的.就其本質(zhì)來說.數(shù)學(xué)實際上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象，只有通過抽象才能得到抽象的東西.數(shù)學(xué)無論是在內(nèi)容上還是方法上都呈現(xiàn)出極其高度的抽象性.數(shù)學(xué)的抽象有四個基本特征：無物質(zhì)性，層次性，抽象過程要憑借分析或直覺，不僅有概念的抽象還有方法的抽象.用數(shù)學(xué)方法思考事物時，往往只考慮其量的特征、形的特征.下面以最短距離淺談數(shù)學(xué)的抽象問題.

一、最短路線問題

在日常生活、工作中，經(jīng)常會遇到有關(guān)行程路線的問題.比如，郵遞員送信，要穿遍所有街道，為了縮短時間，需要選擇一條最短的路線；旅行者希望尋求最佳路線，以求能夠走最近的路而到達目的地；等等.這樣的問題，就是我們所要研究學(xué)習(xí)的“最短路線問題”.

例如，我們僅從郵遞員投送信件為例來說說一筆畫的原理.

一名郵遞員投送信件的路線如圖所示，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局.問：走什么樣的路線最合理？全程要走多少千米？

分析：選擇最短的路線最合理.那么，什么路線最短呢？一筆畫路線應(yīng)該是最短的.郵遞員從郵局出發(fā)，還要回到郵局，按一筆畫問題，就是從偶點出發(fā)，回到偶點.因此，要能一筆把路線畫出來，必須途徑的各點全是偶點.但是圖中有8個奇點，顯然郵遞員走遍所有街道而又不走重復(fù)的路是不可能的.要使郵遞員從郵局出發(fā)，仍回到郵局，必須把8個奇點都變成偶點，就是要考慮應(yīng)在哪些街道上重復(fù)走，也就是相當于在圖上添哪些線段，能使奇點變成偶點.如果有不同的添法，就還要考慮哪一種添法能使總路程最短.

為使8個奇點變成偶點，我們可以用下圖的4種方法走重復(fù)的路線.

圖中的虛線即重復(fù)走的路線.

重復(fù)走的路線最短，總路程就最短.從上面的計算不難找出最合理的路線了.

那么，一筆畫的原理是什么呢？

對于這個問題，我們要追溯到歐拉研究“七橋問題”上來.歐拉運用了三步抽象：（1）把地圖抽象成“點線圖”；（2）把問題抽象成“一筆畫問題”；（3）把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方式的敘述.歐拉通過對該問題進行分析研究，最終證實“七橋問題的走法根本不存在”.同時，他發(fā)表了“一筆畫定理”，即一個圖形要能一筆畫完成，必須符合兩個條件：（1）圖形必須是封閉連通的；（2）圖形中的奇點（與奇數(shù)條邊相連的點）個數(shù)為0或2.

歐拉解決這一問題所用的思維方法，就是抽象方法.而上面我們所遇到的最短距離的解決就是充分利用“一筆畫原理”，即從幾何里抽象出來的這一原理.

二、數(shù)學(xué)抽象的概念

數(shù)學(xué)是反映現(xiàn)實世界的，它產(chǎn)生于人類的實際需要.數(shù)學(xué)最初概念原理的建立，是以經(jīng)驗為基礎(chǔ)的長期發(fā)展的結(jié)果.

數(shù)學(xué)抽象是利用抽象的分析方法來獲得數(shù)學(xué)概念、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，建立起數(shù)學(xué)理論的數(shù)學(xué)思維活動，它著眼于客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，以及在結(jié)構(gòu)上與之相關(guān)聯(lián)的形式和關(guān)系.

例如，古代的人類在從對周圍事物的觀察中發(fā)現(xiàn)，一頭羊、一棵樹、一塊石、一個人等單個事物具有一個共性，即它們都能與一個手指建立對應(yīng)，這區(qū)別于多個事物組成的群體，從中抽象出數(shù)1的概念.在這個過程中，人們撇開羊、樹、石頭和人在形態(tài)、重量和其他方面的差異，只考慮它們的數(shù)量特點.

又如，在對各種平面圖形的觀察中，人們發(fā)現(xiàn)形形色色三角形具有這樣的特征——由三條直線段首尾相接形成的封閉圖形，并以此區(qū)別于其他圖形，由此抽象出三角形的概念.在這過程中，人們撇開各邊的長度、具體形狀的差異，只考慮其基本幾何特征：（1）基本因素是三條直線段；（2）組成方式是首尾相接；（3）表現(xiàn)形式是封閉圖形.

三、數(shù)學(xué)抽象的基本原則

據(jù)現(xiàn)代流行的觀點，數(shù)學(xué)的研究的對象是一種模式，“數(shù)學(xué)就是對模式的研究”.而這種模式是邏輯建構(gòu)的結(jié)果，是從現(xiàn)實原型或其他模式抽象出來的.因此，模式建構(gòu)形式化原則被認為是數(shù)學(xué)抽象的基本原則.這種原則體現(xiàn)在數(shù)學(xué)對象具有以下特點：理想化、模式化、精確化、自由化、形式化.

（一）理想化

就其那些具有明顯原型的數(shù)學(xué)對象而言，數(shù)學(xué)抽象是在純粹理想狀態(tài)下，對事物進行必要的簡化和完善的加工處理，撇開事物的具體內(nèi)容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的、共同的、本質(zhì)的屬性，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念（對象）.如，幾何中的點是沒有長度、寬度的，線是沒有寬度和厚度的，面是沒有厚度的.它們在現(xiàn)實中不存在，但由于它們具有現(xiàn)實中各種點、線、面的共有屬性，因而，更能深刻、正確、完全地反映客觀原型的本質(zhì).

（二）模式化

通過數(shù)學(xué)抽象形成的數(shù)學(xué)概念或理論具有比數(shù)學(xué)原型更為普遍的意義，他們所反映的已不是一個特殊的事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物在量的方面的共同特性.從而，數(shù)學(xué)的研究對象事實上是一種模式.

如，Ax+By+C=0是二元一次方程的模式.它是由許多具體的二元一次方程抽象出其共性和本質(zhì)的特點而形成的數(shù)學(xué)對象，是二元一次方程這個概念的精確描述.

（三）精確化

由于把數(shù)學(xué)對象置于理想化狀態(tài)，且借助純粹數(shù)學(xué)語言來描述，因此，可以對數(shù)學(xué)概念、結(jié)果等做精確的描述.例如，瞬時速度、加速度、積分的概念都是通過極限來描述，才達到精確且嚴密的地步.

（四）自由化

人們不僅可以直接通過現(xiàn)實原型去抽象并構(gòu)造出具有明顯直觀意義的數(shù)學(xué)模型，而且可以通過思維的“自由想象”構(gòu)造出可能與任何現(xiàn)實世界的事物沒有直接關(guān)聯(lián)甚至有悖常理的數(shù)學(xué)模式.這通常是建立在已有數(shù)學(xué)模式上的再抽象.endprint

（五）形式化

模式的研究完全脫離現(xiàn)實原型處于“純粹形式”的狀態(tài)下來研究.正像計算機下棋一樣，它只按規(guī)則運作，根本不管“車”“馬”“炮”分別表示什么實際意義.

如，理想元素的引入.當人們已習(xí)慣把幾何中的理想化的點、線、面、體當成普遍的研究對象后，經(jīng)過再次抽象，可引入非常普通的理想點——“無窮遠點”的概念，把這個平面上原來不存在的點附加給平面，就可以得出這樣的結(jié)果：平面上任意兩條直線必交于一點，當它們不平行時，交于普通的點；當它們平行時，就交于理想點.顯然，無窮遠點是為了把平面上兩條直線相交與平行的情形統(tǒng)一起來而進行的抽象，它更不直觀.

四、數(shù)學(xué)抽象的分類

（一）弱抽象與強抽象

弱抽象是指由原型[被抽象的對象，可以是現(xiàn)實原型或已有的數(shù)學(xué)模式（型），特別是概念等]中選取某些特征或側(cè)面，從中抽取共性，得到比原型更為普遍，更為一般的新模式，并使前者成為后者的特例.

例如，由現(xiàn)實原型的特征出發(fā)去構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，事實上就是一個弱抽象的過程.此外，常見的是從已有的概念出發(fā)，減弱其中某一屬性的限制，就得到比原來更為廣泛的概念.這是通過縮小原概念來建立新概念的抽象方法.

又如，在解析幾何中，人們從平移變換、轉(zhuǎn)軸變換中分別去除一部分特殊屬性，抽象出其共性——正交性，得出正交變換的概念，使得平移與轉(zhuǎn)軸都是正交變換的一個特例.

強抽象是指通過引入新特征來強化原型的數(shù)學(xué)抽象，使獲得的新模型是原型的特例.例如，從函數(shù)的一般性定義出發(fā)，引入連續(xù)性的新概念，然后把具有連續(xù)性特征的函數(shù)定義為“連續(xù)函數(shù)”.那么連續(xù)函數(shù)這一新概念就是原型——“函數(shù)”的一個特例.

由此可知，弱抽象與強抽象是緊密關(guān)聯(lián)的，其思維方向正好相反.恰當?shù)乩萌醭橄?，可以將有的概念和理論推廣成為更一般的概念和理論；利用強抽象，可以加強對數(shù)學(xué)對象的研究的深度.

（二）理想化抽象

理想化抽象指根據(jù)數(shù)學(xué)研究的需要，人為地構(gòu)造出一些理想化的對象的思維過程.所謂理想化的對象其實是對現(xiàn)實對象的一種更高層次的抽象.

比如，在幾何中，點、線、面、無窮遠點、無窮遠線，都是理想化抽象的結(jié)果，現(xiàn)實生活中，一般是不去講點、線、面和射影幾何中的無窮遠點、無窮遠線這些基本概念的.

又如，在代數(shù)中，虛數(shù)、復(fù)數(shù)同樣也是理想化抽象產(chǎn)生的.對于虛數(shù)，數(shù)學(xué)家在進行計算的過程中，發(fā)現(xiàn)一類數(shù)，如，在開平方的時候，無法進行時怎么辦？無法解釋，與原先的理論產(chǎn)生一定的沖突，這時候，數(shù)學(xué)家就引進了一個虛數(shù)單位，進一步產(chǎn)生了虛數(shù)的概念，進而產(chǎn)生了復(fù)數(shù)的概念.

（三）等價抽象

從一類對象（具體的或抽象的個體）中抽象出其中的某種共同屬性的抽象方法.

如，設(shè)A是一個非空集合，A×A={（x，y）|x，y∈A}，若B是A×A的子集，則稱A上的一個關(guān)系；而A上滿足如下條件的關(guān)系B稱為一種等價關(guān)系：

1.對稱性：若（x，y）∈B，則（y，x）∈B；

2.傳遞性：若（x，y）∈B且（y，z）∈B，則（x，z）∈B；

3.自反性：對所有x∈B都有（x，x）∈B.

我們現(xiàn)在根據(jù)等價關(guān)系B把所考察的一類對象（數(shù)學(xué)中的一個集A）分割成若干個子集（稱為等價子集）使得每一個子集中任何兩個元素都互相等價，而不屬于同一個等價子集的元素之間不等價.然后，把每個等價子集看成一個新元素，這些新元素全體應(yīng)構(gòu)成一個新的集合A.那么，集合A就是按等價關(guān)系從A中生成出來的新的研究對象.這樣一個生成過程實質(zhì)上是一種抽象，就稱為等價抽象或等置抽象.由于A的每個元素是A的一個等價子集，所以A是比A具有更高抽象程度的集合.

【參考文獻】

[1]顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.

[2]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2013.endprint