張宏

摘要：函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，也是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，如何讓應(yīng)用技術(shù)型大學(xué)學(xué)生掌握函數(shù)極限的求解，并用函數(shù)極限的思想理解導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的部分應(yīng)用，都是值得考慮的問題，本文試圖通過極限計(jì)算的前后呼應(yīng)讓同學(xué)們加深對(duì)函數(shù)極限的理解。

關(guān)鍵詞：極限；高等數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)

一、 引言

理工科的學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以函數(shù)極限為基礎(chǔ)，函數(shù)極限是以變量變化趨勢(shì)作為研究對(duì)象。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)正是由此開始，實(shí)現(xiàn)從中學(xué)常量數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)到大學(xué)變量數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變。由于數(shù)學(xué)思想的轉(zhuǎn)變，所以函數(shù)極限成為了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

為了讓學(xué)生可以更好的理解函數(shù)極限的概念、掌握函數(shù)極限的求法，下面從例子limx→0（ex-1）/x理解極限定義，學(xué)習(xí)極限計(jì)算方法，極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等。

二、 定義的理解

函數(shù)的極限與自變量變化過程有關(guān)，與函數(shù)在定點(diǎn)是否有定義無關(guān)。

例如：極限limx→0（ex-1）/x，該函數(shù)在點(diǎn)x=0無定義，但卻有變化趨勢(shì)，為以通過函數(shù)圖形輔助同學(xué)們理解。

三、 極限求法

函數(shù)極限的計(jì)算方法有定義、夾逼原理、四則運(yùn)算、應(yīng)用重要極限、等價(jià)無窮小替代、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的定義、洛必達(dá)法則、泰勒公式、定積分定義等多種方法。本文列舉部分重要的求極限limx→0（ex-1）/x。

（一） 應(yīng)用重要極限、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)方法

令ex-1=t，則x=ln（1+t），當(dāng)x→0時(shí)，t→0

因此limx→0（ex-1）/x=limt→0（eln（1+t）-1）/ln（1+t）=limt→0t/ln（1+t）

又∵limt→0ln（1+t）/t=limt→0ln（1+t）1/t=lnlimt→0（1+t）1/t=lne=1

∴l(xiāng)imx→0（ex-1）/x=1。

（二） 應(yīng)用等價(jià)無窮小的方法

由于ex-1～x，所以limx→0（ex-1）/x=limx→0x/x=1。

（三） 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義方法。

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求解極限的過程中，借助圖形演示，不但有利于學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，而且有利于學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)極限的掌握，達(dá)到“溫故而知新、知新而固舊”的教學(xué)目的，同時(shí)也使得同學(xué)們理解高等數(shù)學(xué)的各部分是有機(jī)整體。

令f（x）=ex，則f′（0）=limx→0（ex-1）/x=1。

（四） 應(yīng)用洛必達(dá)法則方法

limx→0（ex-1）/x=limx→0ex/1=1。

（五） 應(yīng)用泰勒公式方法

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的另一個(gè)難點(diǎn)，在這一部分學(xué)習(xí)時(shí)，通過圖形演示可以讓同學(xué)們直觀的看到函數(shù)的逼近，加深對(duì)泰勒公式的理解。

由于ex=1+x+x2/2！+…+xn/n！+o（xn），見圖3。特別的，當(dāng)n=1時(shí)，ex=1+x+o（x）

所以limx→0（ex-1）/x=limx→0（1+x+o（x）-1）/x=limx→0[1+o（x）/x]=1

四、 致謝

感謝天津中德應(yīng)用技術(shù)大學(xué)教研項(xiàng)目：應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)課程建設(shè)探索（zdkt2015-019）的支持。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李志榮，白靜.高職實(shí)用數(shù)學(xué)[M].科學(xué)出版社，2013.

[2] 王庚.論極限教學(xué)的解決方案[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20（3），55-57.

[3] 楊戩，馮影影.高等數(shù)學(xué)[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，2014.

[4] 劉習(xí)賢，華柳斌.高等數(shù)學(xué)[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，2009.

[5] 李伶.應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2013.endprint