李耀宙， 王澤武

(1. 太原工業(yè)學(xué)院 環(huán)境與安全工程系， 山西 太原 030008；2. 大連理工大學(xué) 化工機械與安全學(xué)院， 遼寧 大連 116024)

FGM圓筒形薄殼熱屈曲臨界溫度理論解及修正

李耀宙1， 王澤武2

(1. 太原工業(yè)學(xué)院 環(huán)境與安全工程系， 山西 太原 030008；2. 大連理工大學(xué) 化工機械與安全學(xué)院， 遼寧 大連 116024)

針對現(xiàn)有功能梯度材料(FGM)圓筒形薄殼熱屈曲臨界溫度不一致的問題， 基于Donnell方程導(dǎo)出功能梯度材料圓筒形薄殼熱屈曲臨界溫升理論解， 然后通過有限元方法得到功能梯度材料圓筒形薄殼熱屈曲數(shù)值解， 通過對圓筒形薄殼的不同長徑比l/R， 厚徑比δ/R和半徑R的理論解與數(shù)值解進(jìn)行對比分析， 進(jìn)而提出功能梯度材料圓筒形薄殼熱屈曲臨界溫度修正解. 研究成果將有利于對類似功能梯度材料薄殼結(jié)構(gòu)熱穩(wěn)定性問題進(jìn)行精細(xì)化設(shè)計.

功能梯度材料； 圓柱殼； 熱屈曲； 臨界溫度

0 引 言

功能梯度材料是由韌性較好的金屬和耐高溫的陶瓷兩相材料組成， 這類材料的板殼結(jié)構(gòu)在航天航空、核電和石油化工領(lǐng)域擁有廣泛的應(yīng)用前景. 近年來FGM板殼結(jié)構(gòu)的熱響應(yīng)問題已被深入研究， 同時熱穩(wěn)定性問題也取得一定進(jìn)展， 如在薄板方面， S. Shariat等人[1]基于高階穩(wěn)定性方程研究了功能梯度矩形板熱屈曲問題. A. M. Zenkour[2]基于正弦剪切平板理論推導(dǎo)了功能梯度材料矩形薄板熱屈曲方程. Wu等人[3]基于一階剪切變形理論研究了FGM中厚度板的熱屈曲問題. 朱甚等人[4]基于板的小撓度理論及ANSYS軟件對矩形薄板的脫層熱屈曲進(jìn)行數(shù)值模擬分析. 在圓筒形殼方面， H.Yaghoobi等人[5]研究了材料特性沿軸向梯度變化圓筒形薄殼熱屈曲問題. R.Shahsiah等人[6]基于一階剪切變形理論研究了FGM圓筒形薄殼熱屈曲. Wu等人[7]基于Donnell殼理論研究了FGM圓筒形殼的熱彈性穩(wěn)定性問題. 黃懷緯等人[8]采用能量法推導(dǎo)了功能梯度材料圓柱殼在不同溫度梯度下的熱屈曲公式. 但通過比較文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]可以發(fā)現(xiàn)， 同一FGM圓筒形薄殼結(jié)構(gòu)熱屈曲問題得出的臨界溫度理論解有差異， 這給FGM圓筒形薄殼熱屈曲臨界溫度計算和結(jié)構(gòu)設(shè)計帶來困難. 為此本文借助有限元軟件ANSYS求解得到FGM矩形平板在均勻溫升下的數(shù)值解， 與理論解對比分析， 驗證數(shù)值模型的準(zhǔn)確性. 借助Donnell理論詳細(xì)推導(dǎo)FGM圓筒形薄殼在均勻溫升下的理論解， 與ANSYS得到的模型數(shù)值解對比分析， 提出理論解修正系數(shù)， 最后修正結(jié)果與數(shù)值解一致， 為FGM圓筒形薄殼避免熱屈曲現(xiàn)象提供理論參考依據(jù).

1 理論分析

本文采用FGM圓筒形薄殼坐標(biāo)系如圖 1 所示.

圖 1 FGM圓筒形薄殼坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 Coordinate system of the FGM thin-wall cylindrical shell

1.1 基本方程

殼體沿X(軸向)，Y(環(huán)向)方向的正應(yīng)變εx，εy和剪應(yīng)變γxy分別表示為

式中：u,v和w分別表示X，Y和Z方向的位移；R表示FGM圓筒形薄殼的半徑.

1.2 FGM圓筒形薄殼熱屈曲理論解

FGM圓筒形薄殼被置于溫升ΔT的環(huán)境下， 則熱效應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系表示為

σx=E(z)[εx+μεy-ΔT(1+μ)α]/(1-μ2),

σy=E(z)[εy+μεx-ΔT(1+μ)α]/(1-μ2),

式中：μ為泊松比；σx和σy分別為沿X和Y軸方向上的正應(yīng)力；τxy為剪應(yīng)力；E(z)表示FGM彈性模量函數(shù)且E(z)=Ec+(Em-Ec)(1/2+z/δ)k=Ec+Emc(1/2+z/δ)k，Ec和Em分別表示陶瓷材質(zhì)和金屬材質(zhì)的彈性模量，k表示FGM的成分梯度因子.

對FGM圓筒形薄殼， 單位長度上的內(nèi)力Nx，Ny，Nxy和內(nèi)力矩Mx，My，Mxy可以表示為

將式(3)代入式(4)， 得

其中

Ω1=Ecδ+Emcδ/(k+1),

Ω2=kEmcδ2/[2(k+1)(k+2)],

Ω3=Ecδ3/12+Emcδ3{1/(k+3)-

同時，φ和?是溫升函數(shù)ΔT引起的內(nèi)力和內(nèi)力矩的附加值.

結(jié)合式(5)和式(6)得， 由于溫升函數(shù)ΔT引起的內(nèi)力和內(nèi)力矩的附加值可以用式(7)表示， 即

將式(2)代入式(5)得

根據(jù)Donnell薄殼簡化準(zhǔn)則[9]， 功能梯度材料的圓筒形薄殼平衡方程可以表示為

將式(8)代入式(9)得

Π11+Π12+Π13=0,

Π21+Π22+Π23=0,

其中

將式(10)中的第一式對x求導(dǎo)， 將式(10)中的第二式對y求導(dǎo)， 再相加代入第三式， 得

現(xiàn)利用臨界平衡方法建立板的穩(wěn)定性方程， 假設(shè)w0和T0為穩(wěn)定狀態(tài)的撓度和溫度初始值， 在式(11)中分別給w和T一個微小的改變， 即w→w0+δw，T→T0+δT， 其中， 它們滿足屈曲前后的平衡狀態(tài). 將w和T代入式(11)減去原來的平衡方程， 略去高階項后得到屈曲方程， 記δw和δφ為w1和T1， 并且對式(11)再次進(jìn)行四階微元化， 則有

假設(shè)FGM圓筒形薄殼在均勻溫升下， 徑向和環(huán)向自由膨脹， 并且初始溫度各處相同， 各處溫度變化ΔT也相同， 得

將式(13)代入式(12)， 得

若FGM圓筒形薄殼邊界條件為簡支， 則位移函數(shù)可寫成

式中：c為任意常數(shù)；m為圓筒形薄殼屈曲時沿X方向的半波數(shù)；n為環(huán)向全波數(shù).

將式(15)代入式(14)， 得

借助Timoshenko外壓屈曲理論推導(dǎo)方法， 為了得到臨界溫升， 將φ取最小值.

即得

當(dāng)在均勻溫升條件下， 由式(7)得

其中

由式(18)和式(19)， 臨界溫升可以表示為

1.3 FGM矩形平板熱屈曲理論解

當(dāng)FGM矩形平板只承受均勻熱載荷作用時， 得平板的平衡方程為

由于均勻溫升引起的FGM矩形平板內(nèi)力可表示為

將式(23)代入式(22)， 得

當(dāng)FGM矩形平板的邊界為簡支約束時， 得邊界條件為

式中：a，b為平板長和寬；m,n為板屈曲時沿X，Y方向的半波數(shù)；c為任意常數(shù).

將式(7)和式(25)代入式(24)， 整理得

對于FGM平板的熱屈曲問題， 當(dāng)m=n=1時， 此時的臨界溫升可以表示為

2 數(shù)值分析與結(jié)果討論

2.1 FGM矩形平板熱屈曲數(shù)值分析

為了檢驗FGM圓筒形薄殼有限元數(shù)值解的準(zhǔn)確性， 先建立一個FGM矩形平板數(shù)值模型. 選用ANSYS軟件Shell281高階單元， 進(jìn)行網(wǎng)格劃分， 并在平板四邊施加簡支邊界條件， 即約束平板的X，Y和Z方向位移以及MX，MY，MZ方向彎矩， 同時施加1 ℃的整體溫升載荷， 進(jìn)行特征值求解分析. 若不考慮溫度變化對材料力學(xué)性能的影響， 金屬材質(zhì)彈性模量Em=201 GPa， 熱膨脹系數(shù)αm=12.9×10-6/℃， 陶瓷材質(zhì)彈性模量Ec=380 GPa， 熱膨脹系數(shù)αc=7.4×10-6/℃， 泊松比μ=0.3[10].

分別取矩形平板的厚度δ為1， 2， …， 6 mm， 平板長度a=100 mm， 寬度b=100 mm， FGM成分梯度因子k取0.5和1. 圖 2 顯示了不同k時平板熱屈曲臨界溫升變化曲線， 圖中點劃線為式(27)的理論解， 實線為數(shù)值解. 由圖 2 可以看出， 隨著FGM平板厚度的增加， 臨界溫升逐漸增加， 且理論解與數(shù)值解基本吻合， 最大誤差約為7.3%， 表明利用ANSYS有限元數(shù)值方法獲得熱屈曲理論解有較高的準(zhǔn)確性.

圖 2 FGM矩形平板隨δ變化的臨界溫升曲線Fig.2 Critical temperature rise of FGM rectangular plate under different δ

2.2 FGM圓筒形薄殼熱屈曲行為分析

與FGM平板數(shù)值模型相似， 選用Shell281高階單元對FGM圓筒形薄殼網(wǎng)格劃分， 在模型上、下兩端施加簡支邊界條件， 同時施加1℃的整體溫升載荷， 材料參數(shù)與平板一致.

首先， 取FGM圓筒形薄殼半徑R=500 mm， 厚徑比δ/R=0.01， 長度l分別為500， 1 000， …， 3 000 mm. 圖 3 顯示了不同長度下FGM圓筒形薄殼熱屈曲的臨界溫升變化曲線， 圖中實線為式(21)理論解， 點劃線為數(shù)值解.

圖 3 FGM圓筒形薄殼隨l/R變化臨界溫升曲線Fig.3 Critical temperature rise of FGM thin-wall cylindrical shell under different l/R

其次， 取FGM圓筒形薄殼長度l=1 000 mm， 半徑R=500 mm， 厚徑比δ/R分別為0.002， 0.004， …， 0.016變化. 圖 4 顯示了在不同厚徑比下FGM圓筒形薄殼熱屈曲的臨界溫升變化曲線， 圖中實線為式(21)理論解， 點劃線為數(shù)值解. 類似取FGM圓筒形薄殼長度l=1 000 mm， 壁厚δ=5 mm， 半徑R分別為200， 400， …， 1 200 mm. 圖 5 顯示了不同半徑下FGM圓筒形薄殼熱屈曲的臨界溫升變化曲線， 圖中的實線為式(21)理論解， 點劃線為數(shù)值解.

圖 4 不同δ/R下FGM圓筒形薄殼的臨界溫升曲線Fig.4 Critical temperature rise of FGM thin-wall cylindrical shell under different δ/R

圖 3 表明隨著長度l的增加， 臨界溫升ΔTcr基本保持不變， 可見模型長度對臨界溫升基本沒有影響； 圖 4 表明隨著厚徑比δ/R的增加， 臨界溫升ΔTcr逐漸增加； 圖 5 表明隨著半徑R的增加， 臨界溫升ΔTcr逐漸減少. 但是， 由圖 3～圖 5 可以看出， 本文推導(dǎo)的FGM圓筒形薄殼熱屈曲理論解與ANSYS計算出的數(shù)值解存在較大誤差， 結(jié)合FGM矩形薄板模型分析的結(jié)果表明， FGM圓筒形薄殼理論解存在一定的不準(zhǔn)確性， 因此， 需要進(jìn)一步分析其中的原因.

圖 5 不同R下FGM圓筒形薄殼的臨界溫升曲線Fig.5 Critical temperature rise of FGM thin-wall cylindrical shell under different R

由圖 6 可以看出， FGM圓筒形薄殼在發(fā)生屈曲變形時， 筒體不僅出現(xiàn)軸向波形， 還出現(xiàn)環(huán)向波形， 同時隨著厚度的變化， 產(chǎn)生的波形也發(fā)生改變， 相對于平板FGM圓筒形薄殼屈曲行為更為復(fù)雜. 在利用ANSYS模擬FGM圓筒形薄殼的軸向熱屈曲時， 無法排除由于環(huán)向屈曲帶來的影響， 因此， 在ANSYS軟件中的得到的熱屈曲特征值是軸向屈曲和環(huán)向屈曲的結(jié)果. 本節(jié)基于Donnell薄殼簡化準(zhǔn)則和Timoshenko屈曲推導(dǎo)方法， 未考慮環(huán)向失穩(wěn)波形對圓筒薄殼屈曲的影響， 因此得到的臨界溫升計算結(jié)果偏保守.

圖 6 不同δ/R下的FGM圓筒形薄殼熱屈曲云圖Fig.6 Thermal buckling of FGM thin-wall cylindrical shell under different δ/R

文獻(xiàn)[11]表明， 基于Timoshenko失穩(wěn)理論， 建立圓筒形薄殼在外壓載荷下的軸向失穩(wěn)理論解與實驗值存在一定的誤差， 工程上通常采用修正系數(shù)的方法來完善理論的結(jié)果. 借用這一思想， 采用大量數(shù)據(jù)計算樣本， 歸納出本節(jié)推導(dǎo)的FGM圓筒形薄殼熱屈曲臨界溫升計算式修正系數(shù)C為1.41， 即式(21)變?yōu)?/p>

為了保證本節(jié)所提出的修正系數(shù)的正確性， 下面通過多參數(shù)對比分析來驗證修正系數(shù)的正確性.

首先， 取FGM圓筒形薄殼半徑R=500 mm， 厚徑比δ/R=0.01， 長度l分別為500， 1 000， …， 3 000 mm， 得到在不同長度下FGM圓筒形薄殼臨界溫升曲線如圖 7 所示， 圖 7 中點劃線表示理論解， 實線表示數(shù)值解， 虛線表示修正后的理論解， 可以看出， 修正后的理論解與數(shù)值解誤差不到2.4%.

圖 7 不同l/R下FGM圓筒形薄殼修正的臨界溫升曲線Fig.7 Modified critical temperature rise of FGM thin-wall cylindrical shell under different l/R

圖 8 不同δ/R下FGM圓筒形薄殼修正的臨界溫升曲線Fig.8 Modified critical temperature rise of FGM thin-wall cylindrical shell under different δ/R

其次， 取FGM圓筒形薄殼半徑R=500 mm， 長度l=1 000 mm， 厚徑比δ/R分別為0.002， 0.004， …， 0.016， 得到在不同厚徑比下FGM圓筒形薄殼臨界溫升曲線如圖 8 所示， 圖 8 中虛線表示理論解， 點劃線表示數(shù)值解， 實線表示修正后的理論解， 可以看出， 修正后的理論解與數(shù)值解誤差不到5%.

最后， 取FGM圓筒形薄殼壁厚δ=5 mm， 長度l=1 000 mm， 半徑R分別為200， 400， …， 1 200 mm， 得到在不同半徑下圓筒形薄殼臨界溫升曲線如圖 9 所示， 圖 9 中虛線表示理論解， 點劃線表示數(shù)值解， 實線表示修正后的理論解， 且修正解與數(shù)值解誤差不到1.5%， 可以看出， 修正后的理論解與數(shù)值解較為吻合， 這樣就建立了FGM圓筒形薄殼結(jié)構(gòu)熱屈曲臨界溫升的精確解.

通過圖 7～圖 9 的對比發(fā)現(xiàn)， FGM圓筒形薄殼的臨界溫升對筒體壁厚比較敏感， 因此在工程設(shè)計時， 要在保證安全和經(jīng)濟(jì)的前提下， 盡量減小壁厚， 并且FGM圓筒形薄殼臨界溫升隨著冪指數(shù)k的增加而增加. 同時， 圖 7 表明， 簡支條件下FGM圓筒形薄殼臨界溫升與長度幾乎無關(guān)， 這和Timoshenko軸向失穩(wěn)問題的結(jié)論比較一致.

圖 9 不同R下FGM圓筒形薄殼修正的臨界溫升曲線Fig.9 Modified critical temperature rise of FGM thin-wall cylindrical shell under different R

3 結(jié) 論

目前， FGM平板結(jié)構(gòu)在溫升載荷下熱屈曲臨界溫度理論解與數(shù)值解均比較完備， 也很統(tǒng)一. 但FGM圓筒形薄殼結(jié)構(gòu)熱屈曲臨界溫度理論解存在不唯一性， 且與數(shù)值解存在較大誤差. 本文在FGM平板熱屈曲問題分析基礎(chǔ)上， 推導(dǎo)了FGM圓筒形薄殼結(jié)構(gòu)在均勻溫升載荷下熱屈曲的臨界溫度理論解， 并基于有限元數(shù)值方法對理論解進(jìn)行了修正， 從而給出了FGM軸對稱薄殼結(jié)構(gòu)熱屈曲臨界溫度的精確解， 這將為今后類似薄殼結(jié)構(gòu)工程設(shè)計提供一定的參考依據(jù).

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TheoreticalSolutionandItsCorrectionofThermalBucklingCriticalTemperatureforFGMCylindricalThin-Shell

LI Yao-zhou1， WANG Ze-wu2

(1. Dept. of Environmental and Safety Engineering， Taiyuan Institute of Technology， Taiyuan 030008， China；2. School of Chemical Machinery and Safety, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

For solving the inconsistence problem among existing theoretical solutions of the critical temperature for FGM cylindrical thin-shell, the theoretical solution of critical temperature was deduced for a FGM cylindrical thin-shell subjected to a uniform temperature rise based on Donnell equation. And then the numerical solutions of the FGM cylindrical shell were constructed separately. Lastly, by comparing analysis between the theoretical solution and numerical solution of cylindrical thin-shell under differentl/R,δ/RandR, the exact solution was obtained by introducing a modified coefficient. The results benefit to scientifically design related FGM thin-shell structures.

FGM； cylindrical shell； thermal buckling； critical temperature

1673-3193(2017)05-0561-07

2016-11-03

李耀宙(1988-)， 男， 助教， 碩士， 主要從事過程裝備強度、穩(wěn)定性分析和安全評估的研究.

O343.9

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.010