李淑萍

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

互連耦合網(wǎng)絡(luò)的SIR傳染病模型

李淑萍

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

考慮了包含層內(nèi)接觸和層間接觸的雙層相互連接的耦合網(wǎng)絡(luò)， 研究了基于該網(wǎng)絡(luò)的SIR 傳染病模型. 利用滲流理論和概率生成函數(shù)， 研究了疾病的流行閾值和流行前疾病的平均暴發(fā)規(guī)模， 分析了層內(nèi)傳播和層間傳播對疾病傳播的影響. 通過研究發(fā)現(xiàn)， 層內(nèi)傳播存在， 引發(fā)疾病流行的層間傳染率的臨界值降低和流行規(guī)模增加.

互連耦合網(wǎng)絡(luò)； 滲流； 概率生成函數(shù)； 流行閾值； 平均暴發(fā)規(guī)模

0 引 言

目前， 關(guān)于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對傳染病傳播的影響， 大多局限于單個網(wǎng)絡(luò)， 然而現(xiàn)實世界中往往是多種病毒在單一種群中的傳播或同一病毒分別在不同種群的內(nèi)部和種群之間的傳播. 現(xiàn)實世界中的諸多復(fù)雜系統(tǒng)是由許多不同結(jié)構(gòu)與功能的單個網(wǎng)絡(luò)耦合而成的， 即耦合網(wǎng)絡(luò)， 其中的單個網(wǎng)絡(luò)僅僅是整個網(wǎng)絡(luò)中的一個子網(wǎng)絡(luò). 根據(jù)耦合網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點屬性將耦合網(wǎng)絡(luò)分為兩類， 一類是節(jié)點屬性相同， 邊的屬性不同的多重耦合網(wǎng)絡(luò)； 一類是節(jié)點屬性不同的耦合網(wǎng)絡(luò). 文獻(xiàn)[1-4]給出耦合網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的定義框架及統(tǒng)計刻畫， 并總結(jié)了網(wǎng)絡(luò)屬性對網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)的影響.

伴隨著耦合網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究， 基于耦合網(wǎng)絡(luò)的疾病傳播研究也不斷涌現(xiàn). 針對節(jié)點屬性相同， 邊的屬性不同的多重耦合網(wǎng)絡(luò)， Wu等建立了基于多重網(wǎng)絡(luò)的SIS的平均場模型， 并分析了疾病的流行閾值， 給出了多重網(wǎng)絡(luò)的一般免疫策略理論[5]. 傳染病的傳播可以映射為網(wǎng)絡(luò)的鍵滲流問題[6-10]， 即疾病可以依一定的概率沿著網(wǎng)絡(luò)中的占用邊(染病接觸邊)而傳播， 疾病傳播的平均暴發(fā)規(guī)模則是從初始的染病節(jié)點出發(fā)， 沿著占用邊能到達(dá)的網(wǎng)絡(luò)的連通規(guī)模. 利用鍵滲流理論， Hackett等提出了多重網(wǎng)絡(luò)的鍵滲流分析方法， 并利用該方法得到巨連通組成部分的規(guī)模和占用概率的臨界值. 結(jié)果表明， 在層間相關(guān)和不相關(guān)的多重網(wǎng)絡(luò)中， 多重網(wǎng)絡(luò)和其單部投影網(wǎng)絡(luò)的滲流閾值都是相同的； 進(jìn)一步地， 當(dāng)多重網(wǎng)絡(luò)的度分布都是poisson分布時， 多重網(wǎng)絡(luò)和其單部投影網(wǎng)絡(luò)滲流的巨連通組成規(guī)模也是相同的[11]. 基于多重耦合網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度， Dickison等給出了兩類耦合網(wǎng)絡(luò)： 強(qiáng)耦合網(wǎng)絡(luò)和弱耦合網(wǎng)絡(luò)， 研究了兩類耦合網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播， 發(fā)現(xiàn)了兩種不同的傳播機(jī)制. 在強(qiáng)耦合系統(tǒng)中， 系統(tǒng)的兩個子網(wǎng)絡(luò)之間的相互連接增強(qiáng)了疾病的傳播， 流行總是在整個耦合系統(tǒng)中發(fā)生， 在弱耦合網(wǎng)絡(luò)中， 當(dāng)傳染強(qiáng)度小于臨界值時， 疾病只在一個子網(wǎng)內(nèi)部流行， 在整個耦合網(wǎng)絡(luò)不會流行[12]. Funk等考慮到多種病原體在多重網(wǎng)絡(luò)中的傳染病傳播， 研究了帶有任意聯(lián)合度分布、 任意重疊數(shù)量和免疫強(qiáng)度的重疊網(wǎng)絡(luò)中， 兩種不同菌株傳播的邊滲流之間的相互作用. 發(fā)現(xiàn)如果兩個網(wǎng)絡(luò)的度是正相關(guān)， 那么第一種菌株的暴發(fā)對第二個網(wǎng)絡(luò)中的另一種菌株的暴發(fā)具有免疫作用， 并且， 如果兩個網(wǎng)絡(luò)的度分布的異質(zhì)性越強(qiáng)， 保護(hù)作用越強(qiáng). 另一方面， 如果度分布是不相關(guān)或者負(fù)相關(guān)， 度分布的異質(zhì)性增強(qiáng)會使得第二種疾病的傳播更為困難[13]. 考慮到重疊網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點重疊比例對疾病傳播的影響， Buono等給出了一類節(jié)點重疊比例為q的部分重疊的重疊網(wǎng)絡(luò)， 利用分支過程研究了重疊網(wǎng)絡(luò)上的SIR疾病傳播過程. 發(fā)現(xiàn)隨著重疊比例q的增加， 整個系統(tǒng)的傳播閾值減小[14].

考慮到耦合網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點屬性不同， 2002年， Newman利用滲流理論研究了基于二部圖的疾病傳播的SIR模型[6]， 文獻(xiàn)[6]中僅考慮了疾病在不同性別人群之間的傳播， 而忽略了疾病在相同性別人群之間的傳播. 將文獻(xiàn)[6]中的二部圖看作一個雙層網(wǎng)絡(luò)， 文獻(xiàn)[6]僅考慮了疾病的層間傳播， 而忽略了疾病的層內(nèi)傳播. 文獻(xiàn)[15]中盡管用推廣的Miller模型討論了互聯(lián)耦合網(wǎng)絡(luò)的SIR模型， 比較了各個子網(wǎng)與整個網(wǎng)絡(luò)的再生數(shù)的大小關(guān)系， 并沒有找到再生數(shù)之間的明確關(guān)系. 為此， 本文將利用滲流理論， 進(jìn)一步地研究基于圖 1 的雙層互聯(lián)耦合網(wǎng)絡(luò)的疾病傳播的SIR模型， 將網(wǎng)絡(luò)中的一層記為m層， 另一層記為f層. 假定網(wǎng)絡(luò)中的每個個體都具有雙度指標(biāo)， 其中， 一個度表示節(jié)點的自身所屬層內(nèi)的度； 另一個度表示節(jié)點的層間的度.

圖 1 雙層互聯(lián)耦合網(wǎng)絡(luò)Fig.1 Double-layer coupling network

1 互聯(lián)耦合網(wǎng)絡(luò)及概率生成函數(shù)

式中：pm,qm分別是只有m層接觸或只有f層接觸的m層節(jié)點占本層所有節(jié)點的比例， 1-pm-qm為既有m層接觸又有f層接觸的m層節(jié)點占本層所有節(jié)點的比例， 相應(yīng)地有，pf，qf分別是只有f層接觸或只有m層接觸的f層節(jié)點占本層所有節(jié)點的比例， 1-pf-qf為既有m層接觸又有f層接觸的f層節(jié)點占本層所有節(jié)點的比例，ζ為Riemann zeta函數(shù).

為了利用滲流理論研究網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播， 有必要給出網(wǎng)絡(luò)聯(lián)合度分布的概率生成函數(shù). 定義m層節(jié)點的聯(lián)合度分布的概率生成函數(shù)為

基于此生成函數(shù)及式(1)和式(2)， 可以知道m(xù)層節(jié)點周圍平均m層鄰居數(shù)和平均f層鄰居數(shù)

〈i〉m=

〈j〉m=

類似地， 沿任意一條f-m邊到達(dá)的m層節(jié)點的余度分布的生成函數(shù)為

對于f層節(jié)點， 相應(yīng)地有聯(lián)合度分布的生成函數(shù)

f層節(jié)點的平均m層鄰居數(shù)和平均f層鄰居數(shù)為

沿任意一條m-f邊到達(dá)的f層節(jié)點的余度分布的生成函數(shù)為

沿任意一條f-f邊到達(dá)的f層節(jié)點的余度分布的生成函數(shù)為

2 互聯(lián)耦合網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播

下面考慮疾病在網(wǎng)絡(luò)上的傳播. 假設(shè)一個疾病從網(wǎng)絡(luò)中的某一個節(jié)點開始傳播. 因為網(wǎng)絡(luò)中有同層接觸和異層接觸， 相應(yīng)地存在疾病的層內(nèi)傳播和層間傳播. 層內(nèi)傳播： 染病m層節(jié)點通過同層接觸傳染易感m層節(jié)點， 染病f層節(jié)點通過同層接觸傳染易感f層節(jié)點； 層間傳播： 染病m層節(jié)點通過異層接觸傳染易感f層節(jié)點， 染病f層節(jié)點通過異層接觸傳染易感m層節(jié)點. 綜上， 一共有四種傳染方式. 因此， 假設(shè)單位時間內(nèi)， 在上述四類接觸過程中， 平均每次接觸并傳染的概率分別為：Tmm，Tmf，Tff，Tfm. 假設(shè)染病節(jié)點治愈后永久免疫， 不再參與疾病的傳播， 即網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點一共有三種狀態(tài)，S態(tài)，I態(tài)和R態(tài). 由于染病節(jié)點不會再返回到易感節(jié)點， 網(wǎng)絡(luò)中的每條邊至多發(fā)生一次疾病的傳播， 所以,可以利用滲流理論來研究網(wǎng)絡(luò)上疾病的傳播. 為了研究的方便， 令Tmf=Tfm=T.

2.1 疾病傳播網(wǎng)絡(luò)的概率生成函數(shù)

為了解決這個滲流問題， 需要知道網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點周圍的占用邊的分布， 為此修正上一節(jié)中的概率生成函數(shù). 對于一個有i個m層鄰居和j個f層鄰居的m層節(jié)點， 假設(shè)分別有a條m-m邊和b條m-f邊被占用， 那么層節(jié)點的占用邊分布的生成函數(shù)

Gm(1+(x-1)Tmm,1+(y-1)T),

gmm(x,y;Tmm,T)=

Gmm(1+(x-1)Tmm,1+(y-1)T),

沿任意一條f-m邊到達(dá)m層節(jié)點的剩余占用邊分布的生成函數(shù)

gfm(x,y;Tmm,T)=

Gfm(1+(x-1)Tmm,1+(y-1)T).

類似地， 對于f層節(jié)點相應(yīng)地有占用邊的分布的生成函數(shù)

gf(x,y;T,Tff)=

Gf(1+(x-1)T,1+(y-1)Tff),

及沿任意一條m-f邊到達(dá)f層節(jié)點的剩余占用邊分布的生成函數(shù)

gmf(x,y;T,Tff)=

Gmf(1+(x-1)T,1+(y-1)Tff).

沿任意一條f-f邊到達(dá)f層節(jié)點的剩余占用邊分布的生成函數(shù)

gff(x,y;T,Tff)=

Gff(1+(x-1)T,1+(y-1)Tff).

為了研究疾病的暴發(fā)規(guī)模， 需要給出上述生成函數(shù)的一些性質(zhì)

gX(1,1;Tmm,T)=GX(1,1)=1,

gXY(1,1;Tmm,T)=GXY(1,1)=1,

(X=m,f;Y=m,f)，

注意到， 當(dāng)x=1,y=1時，GX(1,1)=1，GXY(1,1)=1， 且記

一旦網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合度分布給定， 可以得到

其中，

〈i2〉m=

〈j2〉m=

〈j2〉f=

〈i2〉f=

為了書寫方便， 引入下面記號， 記

2.2 流行閾值和暴發(fā)規(guī)模

利用生成函數(shù)， 可以預(yù)測疾病傳播的平均暴發(fā)規(guī)模. 定義Φm(w;T)(Ψf(w;T))為從網(wǎng)絡(luò)中任意一個m(f)層節(jié)點出發(fā)經(jīng)過占用邊到達(dá)的連通規(guī)模分布的生成函數(shù)， 其中，T=(Tmm,T,Tff). 為了預(yù)測疾病傳播的平均暴發(fā)規(guī)模， 需要知道從任意一條m-m邊出發(fā)經(jīng)過占用邊到達(dá)的連通的規(guī)模. 如果任意選擇一條邊， 那么疾病傳播的可能傳播途徑如圖 2 所示， 可能被選擇的m-m邊沒有發(fā)生疾病傳播(圖中用虛線表示)， 可能選擇的m-m邊發(fā)生疾病傳播(圖中用實線表示)， 但到達(dá)的m層節(jié)點沒有其他的接觸鄰居， 或除了那條被選擇的邊之外， 還有一個其他m(f)層的鄰居傳染， 或除了那條被選擇的邊之外， 還有兩個其他m層鄰居或兩個f層鄰居或一個m層鄰居一個f層鄰居被傳染等等. 如果任意選擇一條f-m邊， 那么疾病的可能傳播途徑如圖 3 所示， 定義Φmm(w;T)為從任一條m-m邊出發(fā)經(jīng)占用邊到達(dá)的連通規(guī)模分布的生成函數(shù)，Φfm(w;T)為從任一條f-m邊出發(fā)經(jīng)占用邊到達(dá)的連通規(guī)模分布的生成函數(shù)，Φmf(w;T)為從任一條m-f邊出發(fā)經(jīng)占用邊到達(dá)的連通規(guī)模分布的生成函數(shù)，Φff(w;T)為從任一條f-f邊出發(fā)經(jīng)占用邊到達(dá)的連通規(guī)模分布的生成函數(shù). 顯然有

Φm(w;T)=wgm(Φmm(w;T),Φmf(w;T);Tmm,T),

Φf(w;T)=wgf(Φfm(w;T),Φff(w;T);T,Tff),

其中，Φmm(w;T)，Φfm(w;T)，Φmf(w;T)，Φff(w;T) 滿足下列方程組

圖 2 從任意選擇一條m-m邊出發(fā)的可能傳播途徑Fig.2 All possible transmission routes emanated from any chosen m-m edge

圖 3 從任意選擇一條f-m邊出發(fā)的可能傳播途徑Fig.3 All possible transmission routes emanated from any chosen f-m edge

對式(7)兩端求導(dǎo)可得

將式(8)寫成下列矩陣形式

AZ=B,

從式(9)可求得

detA=

當(dāng)degA>0時， 方程組(8)有解

].

利用上述解可得到從任意一個m層節(jié)點出發(fā)的疾病傳播的平均暴發(fā)規(guī)模為

從任意一個f層節(jié)點出發(fā)的疾病傳播的平均暴發(fā)規(guī)模為

當(dāng)detA≤0時， 疾病流行.

其中，

進(jìn)一步地， 可以得到層間傳播的流行閾值

如果給定Tmm和Tff， 當(dāng)T>Tc時， 疾病將在整個網(wǎng)絡(luò)中流行.

從式(10)中可得

2) 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)取值為下列幾種特殊情況時， 有

①qm=qf=1

網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點僅有異層接觸， 原來的網(wǎng)絡(luò)變成了一個二部圖網(wǎng)絡(luò)， 所以， 〈i2〉m=〈i〉m=〈j2〉f=〈j〉f=〈ij〉m=〈ij〉f=0， 疾病流行的條件為

此時的閾值條件與文獻(xiàn)[1]中的疾病流行條件相同.

②pm=pf=1

網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點都只有同層接觸時， 原來的網(wǎng)絡(luò)變成了兩個不連通的子網(wǎng)絡(luò)：m層節(jié)點構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)和f層節(jié)點構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò). 疾病在兩個網(wǎng)絡(luò)中的傳播是相互獨立的. 疾病在兩個網(wǎng)絡(luò)中流行的條件分別為

③pm+qm=1,pf+qf=1

3 模擬與敏感性分析

圖 4 流行閾值曲面Fig.4 The surface of epidemic thresholds

下面考慮傳染率對平均暴發(fā)規(guī)模的影響. 為了分別研究Tmm，Tff和T對平均暴發(fā)規(guī)模的影響， 需要固定兩個參數(shù)而讓另一個參數(shù)變化. 首先， 固定層內(nèi)傳染概率， 考慮層間傳染概率的影響. 從圖 4 中的臨界值曲面上取參數(shù)值， 分別取兩組層內(nèi)傳染概率Tmm=0.186，Tff=0.876 和Tmm=0.028，Tff=0.24， 從圖 5(a) 可以看到， 在層間傳染概率T到達(dá)臨界值時， 平均暴發(fā)規(guī)模非常小. 如果取Tmm=0.186，T=0.354 5 和Tmm=0.028，T=0.362 7， 從圖5(b)可以看到， 當(dāng)Tff到達(dá)臨界值時， 平均暴發(fā)規(guī)模最大能達(dá)到8×103. 如果取T=0.354 5,Tff=0.876 和T=0.362 7,Tff=0.24, 當(dāng)Tmm到達(dá)臨界值時， 平均暴發(fā)規(guī)模都超過了104. 比較圖 5 中的圖形， 發(fā)現(xiàn)Tmm和Tff對疾病的暴發(fā)規(guī)模影響較大， 尤其是m層層內(nèi)傳播影響更大.

因此， 為了消除或減小疾病流行風(fēng)險， 應(yīng)當(dāng)控制層間傳播的傳染率， 使之小于臨界值Tc， 當(dāng)未達(dá)到流行之前， 減小層內(nèi)傳播的傳染率Tmm和Tff， 可有效控制疾病的染病規(guī)模.

圖 5 疾病的平均暴發(fā)規(guī)模Fig.5 Average outbreak size of diseases

4 結(jié) 論

通過將雙層接觸網(wǎng)絡(luò)拆分為層內(nèi)接觸網(wǎng)絡(luò)和層間接觸網(wǎng)絡(luò)， 假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點都具有兩個度， 分別表示給定節(jié)點在各個層內(nèi)的鄰居數(shù)， 利用滲流理論， 得到了網(wǎng)絡(luò)上SIR模型的傳染病的流行閾值曲面(即疾病流行時， 層內(nèi)流行閾值和層間流行閾值滿足的條件)， 并研究了不同傳染率對疾病傳播的平均暴發(fā)規(guī)模的影響. 與文獻(xiàn)[6]中的結(jié)論相比， 發(fā)現(xiàn)當(dāng)僅考慮層間傳播而忽略層內(nèi)傳播時， 引起疾病流行的層間傳染概率臨界值被高估. 說明層內(nèi)傳播存在， 引發(fā)疾病流行的層間傳染率的臨界值降低， 疾病在整個雙層耦合網(wǎng)絡(luò)中流行的風(fēng)險增加. 另外， 由于層內(nèi)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不同，m層層內(nèi)傳播的臨界值容易達(dá)到， 故m層層內(nèi)傳播比f層層內(nèi)傳播引發(fā)疾病流行的風(fēng)險要大. 疾病未達(dá)到流行時， 控制層內(nèi)傳播的傳染率， 可有效控制疾病的平均暴發(fā)規(guī)模.

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SIRInfectiousDiseaseModelonInterconnectedCouplingNetworks

LI Shu-ping

(School of Science, North University of China,Taiyuan 030051, China)

Referring to different transmission probabilities of intra-layer contacts and inter-layer contacts, an infectious model on interconnected networks with intra-layer and inter-layer contact patterns was proposed. With the framework of probability generation function, the surface of the critical value could accurately be obtained, which helped to evaluate whether the disease would be epidemic or not, and the average size of infection when there was no epidemic. Interestingly, it is unveiled that, compared with the case of purely inter-layer contact, the outbreak threshold of inter-layer transmission is overestimated in the bipartite network and inter-layer transmission plays a determinate role in activating the larger-scale infection. In addition, it is shown that intra-layer transmission is the major risk of increasing the number of disease incidences before the formal outbreak of diseases.

interconnected coupling network; percolation; probability generating function; epidemic threshold; average outbreak size

1673-3193(2017)05-0505-08

2016-11-15

山西省應(yīng)用基礎(chǔ)研究面上青年基金項目(201601D021015)

李淑萍(1979-)， 女， 講師， 博士， 主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和動力系統(tǒng)的研究.

O211.65

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.001