楊新愛， 鄧明明

(1. 山西工程職業(yè)技術(shù)學院 計算機工程系， 山西 太原030009；2. 中北大學 經(jīng)濟管理學院， 山西 太原 030051)

以興安盟為例的布病傳播及風險分析

楊新愛1， 鄧明明2

(1. 山西工程職業(yè)技術(shù)學院 計算機工程系， 山西 太原030009；2. 中北大學 經(jīng)濟管理學院， 山西 太原 030051)

針對興安盟地區(qū)人間病例呈周期性， 且各斑塊間存在羊群調(diào)運和細菌傳播的現(xiàn)象， 建立了一類周期斑塊動力學模型. 對模型進行了理論分析， 包括基本再生數(shù)以及無病周期解的穩(wěn)定性； 通過對人間病例的數(shù)據(jù)擬合， 反推出羊群布病陽性率； 結(jié)合ArcGIS給出布病風險分布圖， 對防控措施進行了評估. 結(jié)果表明： 提高免疫覆蓋率、 控制旗縣間的羊群調(diào)運可有效抑制布病傳播.

布?。?動力學模型； 周期性； 羊群調(diào)運； ArcGIS

布病在我國50年代開始流行和高發(fā)， 之后開始下降. 然而， 隨著我國畜牧業(yè)的發(fā)展， 自20世紀90年代起， 布病人間發(fā)病病例數(shù)呈現(xiàn)增長的趨勢， 尤其是21世紀， 布病發(fā)病數(shù)呈現(xiàn)指數(shù)增長[1]. 布病作為人畜共患病， 目前主要在我國畜牧業(yè)發(fā)達的幾個區(qū)域流行， 主要傳播以羊群布病為主， 人間布病主要由患病的羊群傳染， 環(huán)境中的布魯氏菌也是易感人群的另一種傳播方式. 布病的傳播嚴重危害人民的正常生活和生產(chǎn)發(fā)展， 需要找到根除或控制布病的措施.

布病的研究已有很多工作. 其中， 統(tǒng)計學者運用統(tǒng)計方法建立統(tǒng)計學模型， 得到一些結(jié)果[2-3]. 近年來， 侯強、 李明濤等[4-8]通過對內(nèi)蒙古進行實地考察， 結(jié)合實際數(shù)據(jù)研究了牛羊公用牧場的混合交叉?zhèn)魅静疾∧Ｐ停?人群-羊群交叉?zhèn)魅静疾∧Ｐ停?以及分階段的羊群布病傳播模型. 這些研究都為布病的防控提供了理論依據(jù)， 但在動物疫病的防控過程中， 不同區(qū)域的羊群調(diào)運和細菌傳播也增大了布病傳播的風險. 因此， 針對斑塊之間的風險因素， 研究布病的流行規(guī)律、 防控措施， 以及對防控措施進行風險評估， 也是一項迫在眉睫的任務.

興安盟人間病例呈周期性， 且地理位置上呈自東向西傳播規(guī)律. 為探索興安盟地區(qū)布病在各斑塊的傳播規(guī)律， 并有效控制布病的流行， 本文建立了帶周期的斑塊布病動力學模型， 對模型進行動力學分析和數(shù)值模擬， 并結(jié)合ArcGIS給出了興安盟羊群布病陽性率等級分布圖.

1 動力學模型的建立

興安盟人間布病主要由患布病的羊群傳染， 而環(huán)境中的布魯氏菌也可以傳染易感人群. 因此， 模型所考慮的種群包括羊群(N)、 人群(N1)、 環(huán)境中的細菌(W). 將羊群(N)分為四個狀態(tài)： 易感者狀態(tài)S， 病菌攜帶者狀態(tài)I， 病菌陽性狀態(tài)C和免疫狀態(tài)R， 將人群(N1)分為三個狀態(tài)： 易感狀態(tài)U， 患病急性狀態(tài)V， 患病慢性狀態(tài)D.

圖 1 布病感染流程圖Fig.1 Transmission diagram on the dynamical transmission of brucellosis

將興安盟地區(qū)按縣界線劃分， 布病在羊群、 人群之間， 六個旗縣之間的傳播流程圖見圖 1. 由流程圖(圖1)， 建立如下周期斑塊動力學模型(1)， 所涉及的變量和參數(shù)意義見表 1. 其中，Ai(t)，ki(t)，di(t)，pi(t)，δi(t)均為周期函數(shù).

其中，

表 1 模型(1)中有關參數(shù)的說明Tab.1 Description of parameters in model (1)

2 模型的動力學分析

因為周期斑塊動力學模型(1)中的前5個方程獨立， 只需通過前5個方程(系統(tǒng)(3))來研究模型(1)的動力學性態(tài).

引理1 系統(tǒng)(3)的正向不變集為

證明首先， 引入兩個記號. 假設g(t)是一個周期為ω的周期函數(shù)

將系統(tǒng)(3)的前4個方程相加， 可得

因此，

進而，

證畢.

2.1 基本再生數(shù)

疾病的基本再生數(shù)是疾病最主要的特征量之一， 用文獻[10]的方法計算周期流行病的基本再生數(shù). 首先， 令系統(tǒng)(3)右邊為0， 且Ii=Ci=Ri=Wi=0, 得

將式(4)展開為

再利用文獻[10]方法， 計算系統(tǒng)(3)的基本再生數(shù).

現(xiàn)只需考慮Ii,Ci,Wi， 在無病平衡點處分別對Ii,Ci,Wi求偏導， 得

其中，

考慮系統(tǒng)

當t≥s,Y(s,s)=I,

其中，I為3×3單位矩陣.

于是， 周期系統(tǒng)(3)的基本再生數(shù)為

R0=ρ(L).

2.2 無病周期解的全局穩(wěn)定性

由輔助系統(tǒng)和比較定理[9]， 證明系統(tǒng)無病周期解E0的全局穩(wěn)定性.

首先， 考慮輔助系統(tǒng)

其雅可比矩陣為

定理1 當R0<1時， 無病周期解E0在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明只需證明E0的全局吸引性.

當R0<1， 可得[11]ρ(ΦF-V(ω))<1， 對于充分小的ε，ρ(ΦF-V+M(ω))<1， 其中

顯然，

1≤i≤n.

因為輔助系統(tǒng)(5)的正平衡點S0全局穩(wěn)定. 則得， 對于ε， 存在T， 使得t>T時，S(t)≤S0+ε， 其中，S(t)=(S1(t),S2(t),S3(t),S4(t),S5(t),S6(t)). 于是， 可得如下系統(tǒng)

1≤i≤6,

利用比較定理[9]， 可得

((Ii(t),Ci(t),Wi(t))→(0,0,0),t→∞,

i=1,2,…,6.

再利用漸近自治系統(tǒng)理論[12]， 可得

((Si(t),Ii(t),Ci(t),Ri(t),Wi(t))→

所以， 當R0<1時， 無病周期解E0是全局吸引的. 因此， 當R0<1時， 系統(tǒng)(3)的無病周期解全局漸近穩(wěn)定.

證畢.

3 模型的合理性驗證

圖 2 為興安盟地區(qū)各旗縣人間布病發(fā)病數(shù)據(jù)與動力學模型(1)的擬合曲線圖. 由圖2可知： 扎賚特旗、 前旗和烏蘭浩特地區(qū)的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果較好. 由圖2(a) 和圖2(b)可以看出， 12月份扎賚特旗和科爾沁右翼前旗的數(shù)據(jù)點比其它月份都高； 由圖2(d),圖2(e)和圖2(f)可以看出， 科爾沁右翼中旗發(fā)病數(shù)在2011年第3季度明顯突增， 隨后一個月突然降低， 突泉縣和阿爾山市也出現(xiàn)同樣的現(xiàn)象， 且無較好周期現(xiàn)象， 具體原因尚且不明， 可將這些特殊的數(shù)據(jù)點視為奇異點. 綜上， 說明模型(1)具有一定的合理性， 可以利用模型(1)來預測疾病流行趨勢， 并對疾病防控措施進行評估.

另外， 可以從擬合結(jié)果反推出的模型(1)參數(shù)值. 進而結(jié)合布病在人間的發(fā)病數(shù)據(jù)， 來反推興安盟各旗縣的羊群布病陽性數(shù)據(jù)， 見圖3. 同時， 為了結(jié)果更加直觀明顯， 本文應用ARCGIS軟件繪出了羊群布病陽性率分布圖， 見圖4. 由圖3和圖4可得， 2011年和2012年興安盟六個旗縣羊群布病的陽性率. 2011年陽性率由高到底依次為： 前旗(約8%)、 扎賚特旗(約7%)、 烏蘭浩特市(約7%)、 突泉縣(約5%)、 中旗(約4%)， 阿爾山(1.2%). 對比2012年， 羊群陽性率下降最快和最慢的分別為前旗和烏蘭浩特.

圖 3 2011～2012興安盟各旗縣的羊群實際陽性率時間序列圖Fig.3 The actual positive rate of sheep brucellosis in six counties from 2011 to 2012

圖 4 2011～2012興安盟各旗縣羊群陽性率GIS分布圖Fig.4 The GIS distribution graph about actual positive rate of sheep brucellosis from 2011 to 2012

4 風險分析

據(jù)調(diào)查所知， 興安盟各旗縣之間存在羊群的調(diào)運， 羊群調(diào)運究竟會給布魯病的傳播帶來何種影響， 由于調(diào)運數(shù)據(jù)的缺失， 為了探討這一問題， 這里僅從理論上做相關分析. 在保持其他參數(shù)不變的前提下， 假設興安盟地區(qū)除扎賚特旗的其余五個旗縣都為健康羊群， 僅扎賚特旗有3只攜帶布病細菌的羊. 由圖5(a)發(fā)現(xiàn)， 目前的免疫覆蓋率為40%， 5年內(nèi)， 布病僅在阿爾山未流行. 綜上可知， 布病流行初期， 布病的傳播與斑塊間的羊群調(diào)運有不可分離的關系. 由圖5(b)知， 若將免疫覆蓋率增加為90%， 布病在10年內(nèi)僅在初期發(fā)病斑塊內(nèi)流行. 換句話說， 將免疫覆蓋率力度提高到現(xiàn)在的90%， 便可以為無病區(qū)域的安全提供保障.

圖 5 存在羊群調(diào)運時， 不同免疫覆蓋率下各旗縣的羊群布病陽性率時間序列圖Fig.5 The time evolution about positive rate of sheep brucellosis under sheep movement with the different coverage rate of immunity

根據(jù)興安盟羊群調(diào)運的實際背景， 繪制圖 3 各旗縣羊群存在調(diào)運時的羊群布病陽性率變化曲線圖. 為探討控制調(diào)運是否會對布病傳播的控制起作用， 繪制了圖6 各旗縣控制羊群調(diào)運時的羊群布病陽性率變化曲線圖. 對比圖3和圖6， 可以發(fā)現(xiàn)： 當布病在各旗縣均已流行時， 控制調(diào)運對控制布病傳播沒有作用.

圖 6 控制羊群調(diào)運時， 2011～2012興安盟各旗縣的羊群布病陽性率時間序列圖Fig.6 The positive rate of sheep brucellosis in six counties from 2011 to 2012, when control the movement of sheep

5 結(jié) 論

本文建立了周期斑塊布病動力學模型， 模型考慮了出生、 出欄、 免疫、 排菌、 檢測的周期性以及各旗縣間的調(diào)運， 并運用實際數(shù)據(jù)對模型進行擬合， 實際數(shù)據(jù)與模型解的擬合結(jié)果較好. 另外， 利用模型和興安盟六個旗縣人間布病新發(fā)病例數(shù)據(jù)， 反推出各旗縣羊群的實際陽性率. 進一步結(jié)合ArcGIS給出興安盟羊群布病等級分布圖， 對防控措施進行評估， 可知： 提高免疫覆蓋率有利于布病的防控； 在布病傳播初期， 控制旗縣之間的羊群調(diào)運可有效控制布病傳播， 當布病已在各旗縣均已流行時， 再控制調(diào)運不會對控制布病起作用.

[1] Pappas G, Papadimitriou P. Challenges in Brucella bacteraemia[J]. Int. J. Antimicrob Agents, 2007, 30(S1)： 29-31.

[2] 呂愛軍, 李槿年, 余為一．布魯氏菌病感染預測模型的建立與精度比[J]．中國動物檢疫, 2000, 17(10)： 21-22.

Lu Aijun, Li Jinnian, Yu Weiyi. Establishment of Brucellosis infection rate forcasting models and their accuracy comparison[J].China Animal Health Inspection, 2000, 17(10)： 21-22. (in Chinese)

[3] 李仲來, 呂景生, 趙永利， 等．數(shù)學模型在全國布魯氏菌病監(jiān)測點疫情預測的應用[J]．中國地方病防治雜志, 2000, 15(5)： 273-275.

Li Zhonglai, Lu Jingsheng, Zhao Yongli, et al. Application of mathematical models to forecast for inspection district of Brucellosis in China[J]. Chinese Journal of Control of Endemic Disenaces, 2000, 15(5)： 273-275. (in Chinese)

[4] Hou Qiang, Sun Xiangdong, Zhang Juan, et al. Modeling the transmission dynamics of sheep brucellosis in Inner Mongolia Autonomous Region, China[J]. Mathematical Biosciences, 2013, 242(1)： 51-58.

[5] Li Mingtao, Sun Guiquan, Jin Zhen, et al. Transmission dynamics of a multi-group brucellosis model with mixed cross infection in public farm[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 237(5)： 582-594.

[6] Li Mingtao, Jin Zhen, Sun Guiquan, et al. Modeling direct and indirect disease transmission using multi-group model[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2017, 446 (2)： 1292-1309.

[7] Li Mingtao, Sun Guiquan, Zhang Wenyi, et al. Model-based evaluation of strategies to control brucellosis in China[J]. International journal of environmental research and public health. 2017, 14(3), 295.

[8] Li Mingtao, Sun Guiquan, Zhang Juan, et al. Transmission dynamics and control for a Brucellosis Model in Hinggan League of Inner Mongolia[J]. China. Mathematical Bioscience and Engineering, 2014, 11 (5)： 1115-1137.

[9] Li Li. Monthly periodic outbreak of hemorrhagic fever with renal syndrome in China[J]. Journal of Biological Systems, 2016, 24(4): 519-533.

[10] Wang Wendi, Zhao Xiaoqiang. Threshold dynamics for compartmental epidemic models in periodic environments[J]. Dynam Differential Equations, 2008, 20(3)： 699-717.

[11] Zhang Fang, Zhao Xiaoqiang. A periodic epidemic model in a patchy environment [J]. J Math Anal Appl, 2007, 325： 496-516.

[12] Thieme H R. Convergence results and a Poincar′e-Bendixson trichotomy for asymptotically automous differential equations[J]. Journal Mathematical Biology, 1992(30)： 755-763.

TheSpreadandRiskAnalysisofBrucellosisTakingHingganLeagueasanExample

YANG Xin-ai1, DENG Ming-ming2

(1. Dept. of Computer Engineering, Shanxi Engineering Vocational College, Taiyuan 030009, China;2. School of Economics and Management, North University of China, Taiyuan 030051, China)

Brucellosis in Hinggan League presents characteristics of seasonal human cases and sheep migration, bacteria diffusion between regions. Based on this, a periodic sub-regional paths dynamic spreading model was established. Dynamic characteristic of the model was analyzed, it include the solution of transmission threshold and the proof about global stability of the disease-free periodic solution. Besides, the rationality of the model was confirmed by data fitting about human cases, the positive rate of sheep brucellosis was simultaneously obtained. Finally, with the help of geographic information system (ArcGIS), risk charts of Hinggan League sheep brucellosis were shown, and precaution and control measures were assessed. The simulation results illustrate that increasing the immunization coverage rate and controlling the sheep transportation between plaques can effectively restrain brucellosis spread.

Brucellosis; dynamical model; periodicity; sheep migration; geographic information system (ArcGIS)

1673-3193(2017)05-0536-08

2017-06-11

山西省軟科學基金項目(2017041016-1)

楊新愛(1963-)， 女， 副教授， 碩士， 主要從事計算機應用的教學與研究.

O175

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.006