潘 瑋， 靳 禎

(1. 中北大學 信息與通信工程學院， 山西 太原 030051； 2. 山西大學 復(fù)雜系統(tǒng)研究所， 山西 太原 030006)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上兩城市之間疾病傳播的建模與分析

潘 瑋1， 靳 禎2

(1. 中北大學 信息與通信工程學院， 山西 太原 030051； 2. 山西大學 復(fù)雜系統(tǒng)研究所， 山西 太原 030006)

針對兩城市間不同的遷入遷出對于疾病傳播的影響， 建立了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的兩城市疾病傳播SIS (Susceptible-Infected-Susceptible)模型， 證明了無病平衡點的存在性和全局吸引性. 通過數(shù)值模擬和參數(shù)的敏感性分析發(fā)現(xiàn)： 當R0>1時， 在城市之間的往返出行可以將一個城市的局部疫情很快傳到另一個城市； 當R0<1時， 疾病在有移民的遷入和人口遷出的城市更容易滅絕， 而當R0>1時， 疾病在有移民遷入和人口遷出的城市傳播更慢且疾病規(guī)模更??； 進一步得到移民的遷入對疾病傳播的基本再生數(shù)比較敏感， 從而可以通過增加移民遷入的方式達到控制疾病的目的.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)； 疾病傳播模型； 基本再生數(shù)； 敏感性分析

0 引 言

近年來， 伴隨著城市和國家之間交通的日益便捷， 人們的出行變得更頻繁更方便. 然而， 也帶來了諸如SARS[1]， H1N1[2]可以在幾個月內(nèi)從一個國家一個地區(qū)迅速發(fā)展成為全球性流行疫病的問題. 由于出行的便利， 一兩個到過疫情爆發(fā)地旅行的人在返回其居住地后發(fā)病， 進而在其居住地成為傳染源引起疾病的爆發(fā)， 從而成為全球流行的疫病. 這類危害全球公共衛(wèi)生安全的問題也引起了流行病學家和生物數(shù)學家的極大關(guān)注. 在研究傳統(tǒng)的流行病動力學時， 往往只考慮疾病在某一地區(qū)的傳播， 在此基礎(chǔ)上， 疾病傳播動力學已經(jīng)取得大量的成果[3-5]. 藉由網(wǎng)絡(luò)科學在過去20年的迅猛發(fā)展， 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳染病動力學應(yīng)運而生并取得豐碩的研究結(jié)果[6-8].

這里考慮兩個城市之間的疾病傳播， 由于地理位置的相鄰和兩城市之間交通工具的便捷， 城市人口往來頻繁， 且認為可以在當天返回到其居住的城市. 文獻[9]以兩社團網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播為研究對象， 考慮了出生、 死亡等人口統(tǒng)計信息的驅(qū)動作用， 建立了網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)和疾病傳播同時演化的確定性SIS模型， 并給出該復(fù)雜高維系統(tǒng)的理論分析和模擬結(jié)果， 而對于不同城市而言， 由于政治經(jīng)濟地位等各因素導(dǎo)致的差異卻沒有被考慮. 基于兩城市的差異性， 本文考慮人口的遷入和遷出模式不同， 研究該背景下兩城市之間的往返出行對疾病傳播的影響.

1 模型

根據(jù)不同城市的人口遷入遷出的差異性， 假設(shè)城市2中人口遷入遷出比較頻繁， 且遷入人口都為易感者； 而城市1中人口遷入遷出并不明顯， 這里不考慮. 兩城市之間往來的人口可以在當天搭乘交通工具返回其居住的城市， 不僅刻畫城市內(nèi)部的疾病傳播， 還刻畫往來人口在另一個城市期間被當?shù)厝静≌邆魅镜那樾? 使用文獻[9]中的變量和參數(shù)符號， 給出以下模型

2 基本再生數(shù)

在流行病學中， 通常研究疾病的基本再生數(shù)R0與1的關(guān)系， 用來判斷一種疾病是否可以流行[10]. 用文獻[11]中的下一代矩陣的方法來計算模型(1)的基本再生數(shù).

V12=V21=(0)n×n,

V22=

根據(jù)下一代矩陣的方法， 基本再生數(shù)為FV-1的譜半徑， 即R0∶=ρ(FV-1). 在具體參數(shù)下， 用數(shù)值計算給出基本再生數(shù)的數(shù)值解.

3 平衡點及穩(wěn)定性分析

由模型(1)得到兩城市中的人口規(guī)模N1(t),N2(t)滿足

對式(1)中前兩個方程相加， 后兩個方程相加得

可以把式(4)中第二個方程寫成

dN2=JN2+R,

其中

N2=(N2,1,…,N2,n)′,

R=(σ2,1A2,…,σ2,nA2)″,

于是模型(1)的極限系統(tǒng)可以寫成

(5)

式(5)有唯一的無病平衡點

E0=

并且有如下的定理，

定理2 在方程組(5)中， 當R0<1時， 無病平衡點E0是全局吸引的.

γI2,k-(k+2)μ2I2,k+μ2(k+1)I2,k+1+

另外， 由M=F-V可以很容易算出M矩陣.

再令

因為R0<1， 則有s(M)<0， 而當ε>0時，s(M+εM1)是連續(xù)的， 那么取一個足夠小的ε>0， 讓s(M+εM1)<0. 這樣當t→∞時， 極限系統(tǒng)

(k+2)μ2I2,k+μ2(k+1)I2,k+1+

4 數(shù)值模擬

用四階龍格庫塔迭代法， 也就是MATLAB中的ode45求出模型(1)的數(shù)值解. 圖 1 和圖 2 分別給出R0<1和R0>1時， 不同初值條件下兩城市中的染病者規(guī)模. 其中城市2中的新移民被分配到各人群的概率σ2,k服從λ=40的泊松分布.A2=5 000，μ2=0.006，γ=0.02. 圖 1 中的參數(shù)取值為τ1=τ2=0.000 1，λ1=0.000 4，λ2=0.001 2， 且R0=0.338 8<1. 其中圖 1(a) 的初值條件為I1,40(0)=100，S1,k(0)=S2,k(0)=10 000， 圖 1(b) 的初值條件為I2,40(0)=100，S1,k(0)=S2,k(0)=10 000. 從圖 1 可以看出， 城市之間的人口出行和當天返回使得其中一個城市的局部疫情很快傳到另一個城市， 但由于R0<1， 疾病在城市1 和城市2中最終都消失.

圖 1 R0<1時兩城市中的染病者規(guī)模Fig.1 The infected number at R0<1

圖 2 的參數(shù)取值為τ1=τ2=0.000 4，λ1=λ2=0.004 8， 基本再生數(shù)R0=1.384 2>1. 其中圖 2(a) 的初值為I1,40(0)=100，S1,k(0)=S2,k(0)=10 000， 圖 2(b) 的初值為I2,40(0)=100，S1,k(0)=S2,k(0)=10 000.

圖 2 R0>1時兩城市中的染病者規(guī)模Fig.2 The infected number at R0>1

由圖2可以看出， 由于R0>1， 疾病在兩城市中都將持續(xù)， 成為地方病. 城市之間的人口往返使得疾病從一個城市的局部發(fā)病很快就傳到另一個城市， 且在另一個城市引發(fā)更多疫情， 從右下角的小圖可以看出， 盡管假設(shè)兩城市內(nèi)部的傳染率相同， 以及從一個城市訪問另一個城市的人口在當?shù)乇粋魅镜母怕室彩窍嗤模?但疾病在城市1中的傳播速度比城市2中快， 也就是說， 城市2中的新移民遷入和人口的遷出減慢了疾病的傳播， 并且城市1中最終導(dǎo)致的發(fā)生率明顯高于城市2.

5 敏感性分析及控制策略

通過基本再生數(shù)R0對于各參數(shù)的敏感性分析， 提出疫情控制和應(yīng)對策略.

圖 3 分別給出了基本再生數(shù)R0與城市之間的傳染率λ1,λ2和城市2中的人口遷入遷出參數(shù)A2,μ2的關(guān)系. 圖 3(a) 的參數(shù)取值：τ1=τ2=0.000 2， 從圖中可以看出， 分別改變城市之間的傳染率λ1,λ2對于基本再生數(shù)的敏感性顯然小于同時對λ1和λ2進行改變. 圖 3(b) 中的參數(shù)為：τ1=τ2=0.000 4且λ1=λ2=0.004 8， 這時， 城市2 中的新移民遷入A2對于基本再生數(shù)R0非常敏感， 但遷出率μ2對于R0不敏感. 而且， 增加城市2中的新移民遷入數(shù)， 可以減小基本再生數(shù)， 進而阻礙疾病的傳播， 達到控制疫情的目的.

圖 3 R0與各參數(shù)的相互關(guān)系Fig.3 The influence of the combined parameters on R0

城市之間的短期出行使得一個城市的局部疫情快速地傳播到另一個城市， 對于兩個城市的情形， 當這兩個城市之間彼此都有前往對方城市的短期出行時， 疾病的基本再生數(shù)的增加比單一地從一個城市前往另一個城市時要快. 那么， 當一個城市有局部疫情時， 通過控制外來短期出行訪問的人數(shù)， 同時控制當?shù)厝巳ネ渌麤]有疫情的城市的短期出行， 可以更加有效地控制疾病的傳播. 另一方面， 對于有移民遷入和人口遷出的大城市來講， 增加新移民的遷入， 反而可以有效地控制疾病的傳播.

6 結(jié) 論

本文考慮人口遷入遷出模式不同的兩個城市， 由于地理位置的相鄰和交通條件的便利存在頻繁的當天往返， 并基于遷移模式的差異性， 建立復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上兩城市之間疾病傳播模型. 證明了無病平衡點的存在性和全局吸引性. 通過數(shù)值模擬， 觀察到兩城市之間的往返出行可以將一個城市內(nèi)部的局部疫情很快傳播到另一個城市. 當基本再生數(shù)R0<1時， 城市2中的移民遷入和人口遷出加快了疾病的滅絕； 當R0>1時， 城市2中的移民遷入和人口遷出不僅減慢了疾病的爆發(fā)， 而且降低了染病規(guī)模. 而通過敏感性分析， 得出城市2中的移民遷入對基本再生數(shù)R0很敏感， 進一步得出了增加城市的移民遷入可以減小基本再生數(shù)， 從而阻礙疾病的傳播.

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ModelingandAnalyzingtheDiseasePropagationBetweenTwoCitiesonComplexNetworks

PAN Wei1, JIN Zhen2

(1. School of Information and Communication Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China；2. Complex Systems Research Center, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

In order to find out the effect of different patterns of immigrations and emigrations on the spread of diseases, a susceptible-infected-susceptible (SIS) model of the disease spread between two cities on complex networks was proposed. The existence of the disease free equilibrium was proved and it is globally attractive. Numerical simulations and sensitivity analysis were performed. IfR0>1, it is observed that the short-time traveling between two cities can quickly spread the disease from one city to another. The disease is easier to die out in the city with immigration and emigration ifR0<1, and the disease spread is slower in the city with immigration and emigration ifR0>1. Moreover, the immigration is sensitive to the basic reproductive number, and the disease can be controlled by means of increasing the immigration.

complex networks; disease spread model; basic reproduction number; sensitivity analysis

1673-3193(2017)05-0518-06

2017-06-05

國家自然科學基金資助項目(11331009)

潘 瑋(1986-)， 女， 博士生， 主要從事信號與處理方面的研究.

O157

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.05.003